4. Krummlinige orthogonale Koordinaten

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1 4 Kummlnge othogonale Koodnaten ückblck Zu uanttatven Efassung äumlche (und etlche) Beüge denen Koodnatensysteme Bshe haben w Katessche Koodnaten betachtet: { } { } { } Bass: e,,, Koodnaten:,,,, y, Vektoen: e (, y, ) y Zahlentpel Zelenvekto Zahlentpel Spaltenvekto (4-) Podukte: Skalapodukt e e δ, a b ab j j ( ) a b : cos ϕ Betag Betag cos des von a von b engeschl Wnkels Vektopodukt e e ε e, a b ε ab e jk k jk j k ( ) a b : sn ϕ Spatpodukt: V a, b, c a b c ( ) ( abc) Abletungen und Integale: Gadent: ϕ( ) e ϕ( ) Wegntegal: Volumenntegale: ϕ det,,, ϕ s( ) s ( ) s s Betag Betag sn des von a von b engeschl Wnkels Volumen des Spatkstalls d s s ds s s s st Wegpaamete d s F s ds s F s u (, v j) dvf ( ) d d j dk f ( ) ( ) (, j) V v u (4-) (4-) wwwkbaeuede Tübngen, den 57

2 In de Physk legen oft Symmeten vo (Tanslatonssymmete, otatonssymmete, Kugelsymmete) Dann kann de echenaufwand fü Abletungen und Integatonen wesentlche nget weden, wenn man geegnete Koodnaten enfüht Zu Bestmmung de echenegeln geht man jedoch mme auf de Katesschen Koodnaten uück Se legen fest, we w äumlche Beüge objektvet haben Zylndekoodnaten Zylndekoodnaten legen enen aumpunkt fest duch senen Abstand u -Achse, den Wnkel wschen Pojekton auf -y-ebene und -Achse und duch sene -Koodnate Abb 4- Zylndekood: + y, y actan [, π], Umkehung: cos, also + y cos + sn y sn, s, y sn und actan cos Vekto: cose + sne + e cos sn y ( ) (4-4) Optmale Bassvektoen fü Zylndekoodnaten: De chtung de Bassvektoen wd festgelegt duch den Tangentalvekto an de Kuve, de sch duch Vaaton de entspechenden Koodnate egbt

3 Defnton: e Nomeung: e e ( ) Othogonale Bass: e e δ j j Fü de n (4-4) defneten Zylndekoodnaten egbt sch so -Koodnaten: e + e + e ( cos ) ( sn ) y cose + sn e, cos e + sn e cos + sn, ( y) cos cos e e + eysn sn ϕ-koodnaten: e + e + e y ( cos ) ( sn ) y sne + cos e, cose + sn e, ( ) y sn sn cos e e + ey cos ( cos) ( sn) -Koodnaten: e e + e + e y e Fü de Abletungen de Bassvektoen glt: e sne + cos e e y e cose sn e e y y (4-5) (4-6) (4-7) (4-8) (4-9) wwwkbaeuede Tübngen, den 57

4 4 Skalapodukte: ( y) ( y) e e e cos + sn cos + sn e e e e sn + cos sn + cos ( y) ( y) e e cos e + sn e sn e + cos e e e e e (4-) Vektopodukte:: ( cos sn ) ( cos sn ) ( cossn sncos) e e e + e e + e e e ( sn cos ) ( sn cos ) ( sncos cossn) e e e + e e + e + e e ( cos sn ) ( sn cos ) ( cos) ( sn) e e e + e e + e + e e e y y y y y y y y y e e sne + cose e sne + cose y y e e e e e e cose + sne cose sne y y e (4-) Begletendes Deben: De Bassvektoen de Zylndekoodnaten (und alle andeen othogonale, kummlnge Koodnaten) blden an jedem aumpunkt en othogonales Koodnatensystem Wenn sch de Punkt (etwa auf ene Bahnkuve) bewegt, wd e von desem 'Deben' begletet Abb 4-

5 5 Bespel: Zetabletung des Otsvektos Otsvekto: cos cos sn sn + e + e Geschwndgket: e e e e ϕe e e + ϕe + e Beschleungung: e e e e e e + + ϕ + ϕ + ϕ + e (4-) + ϕ + ϕ + ϕ ϕ + e e e e e e Amuthal- geschwnd adalgeschwnd Zentfugalbeschleungung ϕ e + ( ϕ + ϕ ) e + e Amuthalbeschleungung adalbeschleungung Totale Dffeentale Dffeental des Otsvektos fü kummlnge Koodnaten: (4-) d wegen d e d e Dffeental enes Skalafeldes dϕ ϕd (4-4) Gadent: Dffeental enes Feldes: dϕ ( ϕ) d ( Invaante, n allen O e e d O d Koodnatensyst, glech ) gesuchte Gadent ϕ ϕ Koeffentenveglech: O (4-5) wwwkbaeuede Tübngen, den 57

6 6 Gadent fü Zylndekoodnaten: Gadent: e e e + ϕ + ϕ ϕ ( ) ( ) e + ϕ e + ϕ e (4-6) Bem Gadent weden de Gößenändeungen de Lnenelemente beückschtgt Wähend das Lnenelement n -chtung mme glech goß st, hängt das Lnenelement n -chtung vom Abstand u -Achse ab Abb 4- Abb 4- egt, dass genau de Nomeungsfaktoen de Bassvektoen e de Gößenändeung de Lnenelemente bescheben Dese müssen bem Ableten duch Telen und bem Integeen duch multpleen mt den Nomeungsfaktoen beückschtgt weden: (, + h) (, ) (, ) ϕ ϕ ϕ lm h h (4-7) Volumenntegale Das elementae Volumen, übe das be Vewendung von Katesschen Koodnaten aufsummet wd, wd von den de Bassvektoen e, e, e aufgespannt: y

7 7 De de Bassvektoen spannen ene Volumen (Quade ode allgemene Spatkstall) auf, das de elementae Volumenenhet defnet De Wet von Volumen, de von de andeen Vektoen aufgespannt weden, beeht sch auf dese Voluemenenhet Abb 4-4 Zu Veallgemeneung dedmensonale Volumenelemente dent das Spatpodukt V a b c det a, b, c (4-8) (sehe estes Kaptel) Das elementae Volumen kann entspechend n ene nvaante Fom gebacht weden: (,, ) (,, ) det ( e, ey, e) ddyd det (, y, ) ddyd Spatvolumen: dv e e e V e e e ddyd e e e ddyd y y y Mt de Jacob-Mat: y (, y, ) y y y, und de Jacob-Det: det (, y, ) also: dv ( e,, ey e) dv (, y, ) V (, y, ) ddyd det,, ddyd ( y ) Das nvaante (vom Koodnatensystem unabhängge) Volumenelement st also ode (,, ) det (,, ) (4-9) dv d d d (4-) wwwkbaeuede Tübngen, den 57

8 8 wegen e : ( ) (,, det,, ) dv e e e d d d fü othogonale Basen Fü Koodnatensysteme mt othogonalen Basen st also det ( e, e ), e d dd (4-) dv,, d d d (4-) Abb 4- veanschaulcht das Auftauchen de Nomeungsfaktoen e Volumenelement fü Zylndekoodnaten dv,, d dd d dd (4-) ( ) Bespel: Volumen enes Zylndes mt adus und Höhe h π h dv d dϕ d π h ( h) π h Zyl, (4-4)

9 9 Kugelkoodnaten Kugelkoodnaten: cossnϑ snsn ϑ, ϑ [, π], [, π] cosϑ (4-5) In Kugelkoodnaten wd en aumpunkt bescheben duch senen Abstand um Uspung, duch den Polawnkel θ (Wnkel wschen -Achse (Pol) und Vekto) und den Amutwnkel (Wnkel wschen -Achse und Pojekton des Vektos auf de -y-ebene) Abb 4-5 Bassvektoen: snϑcos snϑsn, (( cos) + ( sn) )( snϑ) + ( cosϑ) cosϑ cosϑcos ϑ ( + ) + snϑ snϑsn csnϑos, (( sn) + ( cos) )( snϑ) snϑ Also cosϑsn, ϑ cos sn cosϑ sn ϑ cos snϑ coscosϑ sn e sn sn, sn cos, ϑ eϑ ϑ e cos cosϑ snϑ (4-6) (4-7) wwwkbaeuede Tübngen, den 57

10 Spatpodukt cossnϑ coscosϑ sn (,, V e eϑ e) det snsnϑ sncosϑ cos cosϑ snϑ ( ϑ) ( ϑ) ( ( cos) ( snϑ) ) ( sn) ( cosϑ) + cos cos + sn sn ( cos) cos cosϑ + cos snϑ + sn snϑ + sn cosϑ ( sn) (4-8) Gadent Bespel: Gadent: e + e e ϑ ϑϕ ϑ + ϕ ( snϑ) (4-9) ( ) e + ϑϕ eϑ + ϕ e snϑ e (4-) e Invaantes Volumenelement: dv,, d dd sn ϑddϑd (4-) ( ϑ ) ϑ snϑ Bespel Volumen ene Kugel mt adus : 4π V sn sn K ϑddϑd d ϑdϑ d K π u cos ϑ, du snϑdϑ π snϑdϑ du π π (4-) Bespel Potental ene Ladung n homogene Vetelung

11 Fall a: Fall b: ( ) Q ϕ ( ) dv dv K( ) K( ) + 4π Q d snϑ d ϑ d 4π cos ϑ + u + + d du d + u + u + d Q Q u Q π ( außehalb ): ( ) ( ) > Q + + Q Q ϕ ( ) d d d Q u < nnehalb : Q ( + ) ( ) + ϕ ( ) d d + ( sehe oben) π π Q Q d d + + ( ) Q Q + ( ) Q Q we Fall a (4-) (4-4) (4-5) wwwkbaeuede Tübngen, den 57