Kurzzusammenfassung wichtiger mathematischer Formeln

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1 Enführung n de theoretsche Physk II, Sommersemester 205 mrtn.ecksten@mpsd.cfel.de Kurusmmenfssung wchtger mthemtscher Formeln Krummlnge Koordntensysteme m R n Ene dfferenerbre, umkehrbr endeutge Abbldung K : V u R n R n (u,..., u n ) r(u,..., u n ) () defnert en krummlnges Koordntensystem m R n (oder ener Telmenge). De Vektoren ê = r(u,..., u n ), h = r(u,..., u n ), =,...n. (2) h u u defneren ene normerte Bss des Tngentlrumes (Vektoren m Punkt r). Kugelkoordnten (R 3 ): (r, ϑ, ϕ) r(r, ϑ, ϕ) = r sn(ϑ) cos(ϕ)ê x + r sn(ϑ) sn(ϕ)ê y + r cos(ϑ)ê. (3) für r (0, ), ϑ (0, π), ϕ [0, 2π) ê r = sn(ϑ) cos(ϕ)ê x + sn(ϑ) sn(ϕ)ê y + cos(ϑ)ê, h r =, (4) ê ϑ = cos(ϑ) cos(ϕ)ê x + cos(ϑ) sn(ϕ)ê y sn(ϑ)ê, h ϑ = r, (5) ê ϕ = sn(ϕ)ê x + cos(ϕ)ê y, h ϕ = r sn(ϑ), (6) De Bssvektoren sn prwese orthogonl und blden en rechtshändges ON System: ê r ê ϑ = ê ϕ, ê ϑ ê ϕ = ê r, ê ϕ ê r = ê ϑ. (7) Zylnderkoordnten (R 3 ): (ρ, ϕ, ) r(r, ϑ, ϕ) = ρ cos(ϕ)ê x + ρ sn(ϕ)ê y + ê. (8) für ρ (0, ), ϕ [0, 2π), (, ). (ρ, ϕ, ) r(r, ϑ, ϕ) = ρ cos(ϕ)ê x + ρ sn(ϕ)ê y + ê. (9) ê ρ = cos(ϕ)ê x + sn(ϕ)ê y, h ρ =, (0) ê ϕ = sn(ϕ)ê x + cos(ϕ)ê y, h ϕ = ρ, () ê = ê h =. (2) De Bssvektoren sn prwese orthogonl und blden en rechtshändges ON System, ê ρ ê ϕ = ê, ê ϕ ê = ê ρ, ê ê ρ = ê ϕ. (3)

2 2 Prmetrserung von Kurven und Flächen m R 3 De enprmetrge Abbldung C : [, b] R R 3 u r(u) (4) defnert ene Kurve m R 3, mt Tngentlvektor r(u) u. De we-prmetrge Abbldung S : S u R 2 R 3 (u, u 2 ) r(u, u 2 ) (5) defnert ene gekrümmte Fläche m R 3. Bss der Tngentlebene m Punkt r(u, u 2 ): Normlenvektor e = r(u, u 2 ) u, e 2 = r(u, u 2 ) u 2 (6) ˆn = e e 2 e e 2 (7) De Fläche hesst orenterbr, wenn ene Whl von ˆn ls stetge Funkton möglch st. (En Gegenbespel st ds Möbusbnd). 3 Integrle über Kurven und Flächen 3. Kurvenntegrle In der Prmerserung Eq. (4) defneren wr ds nfntesmle Lnenelement d s(u) = r(u) du. (8) u Wegntegrl über Vektorfeld (.B. gegen Feld verrchtete Arbet) C d s F ( r) = lm s 0 = b du r(u) u F ( r(u)) = s F ( r ) (9) b d s(u) F ( r(u)). (20) Dbe st der erste Ausdruck de koordntenunbhängge Notton, der wete ene sloppe Schrebwese für de Remnn-Summe, und der drtte und verte de Formel ur Berechnung n der Prmetrserung Eq. (4). Anlog: Wegntegrl über sklres Feld (.B. Länge der Kurve) 2

3 d s F ( r) = lm s F ( r ) = s 0 C b d s(u) F ( r(u)) (Annhme b > ). (2) 3.2 Flächenntegrle: Für de Prmetrserung (5) defneren wr ds nfntesmles Flächenelement ( r(u, u 2 ) d (u, u 2 ) = r(u, u 2 ) ) du du 2. (22) u u 2 Sen Betrg st der nfntesmle Flächennhlt, sene Rchtung de Flächennormle. Flächenntegrle über sklres Feld (.B. Flächennhlt für F ( r) = ) d F ( r) = lm F ( r ) (23) S 0 = d (u, u 2 ) F ( r(u, u 2 )). (24) S u Dbe st weder der erste Ausdruck de koordntenunbhängge Notton, der wete ene sloppe Schrebwese für de Remnnsumme, und der drtte de Formel ur Berechnung n der Prmerserung Eq. (5). Flächenntegrle über Vektorfeld (Flussntegrle) (.B.: Stomfluss durch ene Fläche) d F ( r) = lm F ( r ) (25) S 0 = d (u, u 2 ) F ( r(u, u 2 )). (26) S u Volumenntegrle: Für en krummlnges Koordntensytem m R 3, Eq. () st ds nfntesmles Volumenelement gegeben durch ( r(u, u 2, u 3 ) dv (u, u 2, u 3 ) = r(u, u 2, u 3 ) ) r(u, u 2, u 3 ) du du 2 du 3. (27) u u 2 u 2 In orthogonlen Koordnten glt dv = h h 2 h 3 du du 2 du 3 (vgl. Eq. (2)). Dmt glt dv (r, ϑ, ϕ) = r 2 sn(ϑ)drdϑdϕ n Kugelkoordnten, (28) dv (ρ, ϕ, ) = ρdρdϕd n Zylnderkoordnten. (29) 3

4 4 Abletungen von Vektor- und Sklrfeldern 4. Grdent Für en Sklrfelde F ( r) st grdf ( r) F ( r) en Vektorfeld, dessen Projekton uf enen Rchtungsvektor ˆn (ˆn 2 = ) de Rchtungsbletung ergbt: In llgemenen orthogonlen krummlngen Koordnten glt: F ( r) = ˆn F F ( r + sˆn) F ( r) ( r) = lm. (30) s 0 s =,2,3 ê f ( r), f ( r) = F ( r(u, u 2, u 3 )). (3) h u u In krtesschen Koordnten: F F ( r) = ê x x + ê F y y + ê F. (32) In Kugelkoordnten: F F ( r) = ê r r + ê F ϑ r ϑ + ê F ϕ r sn(ϑ) ϕ. (33) In Zylnderkoordnten: F F ( r) = ê ρ ρ + ê F ϕ ρ ϕ + ê F. (34) 4.2 Dvergen Für en Vektorfeld F ( r) st dvf ( r) F ( r) en Sklrfeld, ds de Quellenstärke von F bestmmt, d.h., den Fluss durch de nch ussen orenterte Oberfläche ( V ) enes nfntesmlen Volumens V, normert durch V : F ( r) = lm V 0 V In llgemenen orthogonlen krummlngen Koordnten glt F ( r) = ( ( ) f h 2 h 3 + h h 2 h 3 u ( V ) d F ( r). (35) u 2 ( f2 h 3 h ) + u 3 ( f3 h h 2 ) ). (36) Her snd f de Komponenten von F n der Bss (2), d.h., F ( r(u, u 2, u 3 )) = =,2,3 f (u, u 2, u 3 )ê. Alle Funktonen f und h können von den Koordnten u bhängen. In krtesschen Koordnten: In Kugelkoordnten: In Zylnderkoordnten: F ( r) = r 2 F ( r) = f x x + f y y + f. (37) ( fr r 2) + r ( fϑ sn(ϑ) ) ( ) + fϕ. (38) r sn(ϑ) ϑ r sn(ϑ) ϕ F ( r) = fρ ρ ρ ρ( ) + ρ f ϕ ϕ + f. (39) 4

5 4.3 Rotton Für en Vektorfeld F ( r) st rotf ( r) F ( r) en Vektorfeld, ds de Wrbelstärke von F bestmmt, d.h., de Projekton von F ( r) uf ene Rchtung ˆn bestmmt ds Lnenntegrl um en nfntesmles Flächenelement A senkrecht u ˆn, ˆn ( F ( r)) = lm A 0 d s A F ( r). (40) ( A) De Orenterung des Lnenntegrls st m Gegenuhregersnn um ˆn gewählt. In llgemenen orthogonlen krummlngen Koordnten glt ê ( F ( r)) = ( ( ) ( ) ) f3 h 3 f2 h 2. (4) h 2 h 3 u 2 u 3 De nderen Komponenten erhält mn durch yklsche Vertuschung der Indes, 2, 3. In krtesschen Koordnten: F [ f ( r) = ê x y f ] [ y fx + ê y f ] [ fy + ê x x f ] x. (42) In Kugelkoordnten: F [ ( r) = ê r r sn(ϑ) ϑ (sn(ϑ)f ϕ) f ] ϑ ϕ In Zylnderkoordnten: F ( r) = = ê ρ [ ρ f ϕ 4.4 Zwete Abletungen Für en belebges Sklrfeld glt: Für en belebges Vektorfeld glt: [ + ê ϑ r sn(ϑ) f ] [ ϕ fρ + ê ϕ f ] ρ f r ϕ ] r (rf ϕ) + ê ρ + ê ϕ r [ r (rf ϑ) f ] r. ϑ (43) [ ρ (ρf ϕ) f ] ρ. (44) ϕ F ( r) = 0. (45) ( F ( r)) = 0. (46) 5 Integrlsäte 5. Fundmentlst für Wegntegrle wobe ds Integrl längs ener beleggen Kurve von nch b verlufen knn. b d s F ( r) = F ( b) F ( ), (47) 5.2 St von Guß dv F ( r) = d F ( r), (48) V (V ) wobe V en belebges Volumen st, und (V ) sene nch ussen orenterte Oberfläche. 5

6 5.3 St von Stokes d F ( r) = d F ( r), (49) S (S) wobe S ene usmmenhängende orenterbre Fläche st, und (S) der Rnd von S, mt Orenterung m Gegenuhregersnn um de Normle von S. 6 De Delt-Dstrbuton De Delt-Funkton δ(x) st en Objekt (mthemtsch Dstrbuton ), ds sch unter dem Integrl mt gltten Testfunktonen we ene unendlch oft dfferenerbre Funkton mt den Egenschften δ(x) = 0 für x 0 (50) dx δ(x) = (5) verhält. Se st dmt ncht durch ene stetge Funkton gegeben, ber durch ene Folge ( Drc-Folge ) f σ (x) von gltten Funktonen mt den Egenschften lm f σ(x) = 0 für x 0 (52) σ 0 dxf σ (x) =. (53) lm σ 0 Bespele für Drc-Folgen snd (sehe Grph) oder f σ (x) = f σ (x) = σ x 2 π e σ 2, (54) { 2σ für x [ σ, σ] 0 sonst. (55) (De wete Folge repräsentert genu genommen ncht de Abletungen δ (x), d se ncht dfferenerbr st). 3 s= y 2 s=/2 s=/4 s=/ Anlog defnert mn de mehrdmensonle δ-funkton δ( r): x δ( r) = 0 für r 0 (56) R n dv δ( r) = (57) 6

7 Es gelten dmt folgende Egenschften: Für ene gltte Testfunkton g(x) glt b dx δ(x x 0 )g(x) = { g(x0 ) x 0 (, b) 0 x 0 / [, b], (58) (ncht defnert für x 0 = oder x 0 = b), und δ(x x 0 )g(x) = δ(x x 0 )g(x 0 ). (59) Vrblentrnsformton δ(h(x)) = h (x ) δ(x x ), (60) wobe x de Nullstellen von h(x) snd. Prtelle Integrton ergbt dxg(x) dn δ(x) = ( )n dxn dxδ(x) dn g(x) (6) dxn De δ-funkton knn ls Abletung der de Θ-Funkton Θ(x) = { x > 0 0 x < 0 (62) ufgefsst werden: d Θ(x) = δ(x). (63) dx Dese Glechung knn mn.b. so nterpreteren: Se f σ (x) mt lm σ 0 f σ (x) = Θ(x) ene Folge von gltten Funktonen, dnn repräsentert de Folge f σ(x) de Delt-Funkton. Im R 3 glt 2 r r 0 = 4πδ( r r 0). (64) 7