Einführung in die Methode der Finiten Elemente

Transkript

1 Enührung n de Methode der Fnten Elemente Hrro Schmelng Geophys. Semnr Hstore - Ingeneurwssenschten, Strukturmechnk - Mthemtk/Physk: llg. Theore, nwendbr u belebge prtelle Derentlglechungen PDG

2 Mthemtsch/physklscher Anstz der Methode der Fnten Elemente Zel: Gegeben: Gebet G PDG A() 0 n G A: belebger Derentlopertor : u G denerte Funkton Rndbedngung B()0 u C y G C Lösung? Appromtve Lösung h : h n 1 N N N - Formunkton (N (,y,), z.b. enche Polynome) - Koezenten

3 Vorgehen: 1. Theoretsche Formulerung des Problems, Vrtonsnstz 2. Gebet dskretseren 3. Formunktonsnstz, Aulösen nch Koezenten 1. Theoretsche Fomulerung des Problems - Methode der Gewchteten Resduen (später) - Vrtonsnstz: PDG A() 0 Lösung 0 Vrtonsproblem enes Funktonls I() De. Funktonl I(): I M (Funktonenrum) I R Bsp b I ( ) F( ) d F: Derentlopertor

4 Vrtonsprnzp: Fnde 0 mt I( 0 ) I() M 0 st Lsg der Eulerglg (A()0) Eulerglgst de zum Funktonl zugehörge PDG, Zu jedem Funktonl lässt sch ene Eulerglg deneren Problem: Zusmmenhng I() A() 0? Häug: I() gesmte potentelle Energe des Systems (gespecherte Energe mnus n ds System gesteckte Energe) Bespel: Innere Energe m Glechgewcht mt der n ds System gesteckten Energe

5 Vrtonsprnzp: Fnde 0 mt I( 0 ) I() M 0 st Lsg der Eulerglg (A()0) Eulerglgst de zum Funktonl zugehörge PDG, Zu jedem Funktonl lässt sch ene Eulerglg deneren Problem: Zusmmenhng I() A() 0? Häug: I() gesmte potentelle Energe des Systems (gespecherte Energe mnus n ds System gesteckte Energe) Allg.: M unendl. dm. Funktonenrum ekte Lösung des Vrtonsproblems ncht möglch M h endl. dm. Funktonenrum, h beschrebbr durch endl vele Prmeter. Mnmerungsprobem nun: Fnde 0h mt I( 0h ) I( h ) h M h Beste Appromton

6 2. Schrtt: Dskretserung - Dreecke - Verecke - Tetreder - Quder FEMLAB: utomtsche Netzgenererung -Vermedung von zu sptzen Wnkeln, Gtternsotrope -Nummererung der Knoten & Elemente Bndbrete

7 3. Schrtt: Formunktonsnstz Anstz h Häug Polynome 2 2 Häug: e h 3 1 N h e (, y) c1 + c2 + c3 y + ( c4y + c5 + c6 y ) Lokl gültge Koezenten ür Element e - stetgketsbedngungen n Elementrändern müssen erüllt sen (konorme Elemente) 3 1 e e (, y) e Knotenvrblen h ( Knoten,y Knoten ) N e Formunkton, Bssunkton 1 1e () N 1e () N 2e () 1 2

8 In 2D: Qudrtsche Formunktonen 6 Koezenten: 6 Knoten

9 Gesmtnäherung: Ensetzen n Mnmerungsproblem h ek h k k, mt N e j N e 0 n k (, e j y) e e k k k Elementnummer - Knotennummer Allgemen: I dg e k ek F( h) dg F N k, Mnmere I Lneres Glg.system ür ek Aber... We ormuleren wr ds Mnmerungsproblem?

10 Zurück zum Vrtonsnstz...

11 Vrtonsnstz Zel: Fnde zu gegebener PDG A()0 ene ntegrle Drstellung I() (Funktonl), ds en Etremum nnmmt, lls de Lösung st: dc E dg F I C G +,...,,,...,, ) ( G y C F, E : geegnete Derentlopertoren Ersetze durch n h N 1 Vrere I durch Vrton der : I I I I δ δ δ δ 0 : I( 0 ) st Etremum Vrton von I durch Vrton von : δi δ 0 δ I() Achse repräsentert lle Funktonen us M

12 Vrton der belebg, dher müssen Abletungen selbst 0 sen: 0 1 n I I I M n Glechungen n Unbeknnte Rtz-Rylegh Verhren Wchtger Spezlll: I qudrtsch : F mt p, (/ ) p,... mt p 2 1 p p p lner n ür p 2 Lneres Glechungssystem + j j j g K I 0 K j symmetrsch (wchtger Vortel m Verglech zu nderen Verhren)

13 Zusmmenhng I() PDG A()0? dc E dg F I C G +,...,,,...,, ) ( Gegeben: 0 ) ( ) ( + dc B dg A I C G δ δ δ Umormen, Kettenregel, prtelle Integrton, δ usklmmern C u B n G A 0 ) ( 0 ) ( Eulerglechungen Jedes Vrtonsprnzp Eulerglechung Vrtonsprnzp jede PDG Blde δi: 0 + dc E dg F I C G δ δ δ F F F δ δ δ ( )

14 δt usklmmern durch Greens ormel (prtelle Integrton)

15 Prtelle Integrton: b u ' v' d u' v b b u' ' vd

16 Rndbedngungen Ntürlche Rndbedngung: wrd u Rnd C vrert, und stellt sch be Vrton gemäß B() 0 en. Von Neumnn Rndbedngung Erzwungene Rndbedgung. Vorgbe von u Rnd C. Funktonenrum M st engeschränkt: M : M mt (C) C δ 0 u C Drchlet Vrtonsprnzp - PDG äquvlent? Verllgemenerte Lösung der PDG mt wenger strengen Stetgketsbedngungen Bsp: T enml stückwese stetg d.br bem Vrtonsprnzp T zweml stetg d.br be der PDG

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18 Bsher: Funktonl errten. Nun endeutge Zuordnung PDG - Funktonl

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23 Methode der gewchteten Resduen Anwendbr, uch wenn ken Vrtonsprnzp estert! Prnzp: PDG: A() 0 Zel: Appromton h Nun st A( h ) r 0, r Resduum, rr(,y) Zel: r möglchst klen mchen A() h? N Konstruere n Bedngungen, z.b. r( j ) 0, A() A( h ) r 0 j 1,..., n oder r( ) dg G j 0 Allg.: w j r ( ) dg 0 G w j Wchtung

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27 ...Anwendungen mt FEMLAB...