Terme und Formeln Komplexe Zahlen

Transkript

1 Terme und Formeln Komplexe Zhlen e ϕ + = 0 Rchrd Feynmn nnnte dese Glechung n senem Notzbuch de bemerkenswerteste Formel der Welt ; ndere nennen se de schönste Formel der Mthemtk. De Eulersche Identtät verengt de beden wchtgsten Konstnten e und π zusmmen mt 0 und n ener Formel. Leonhrd Euler (* 707 n Bsel; 783 n Snkt Petersburg) wr ener der bedeutendsten Mthemtker ller Zeten.

2 . De komplexen Zhlen De Glechung x = 4 st n der Menge der reellen Zhlen ncht lösbr, wel kene reelle Zhl m Qudrt negtv sen knn. Um trotzdem Lösungen zu erhlten, führt mn de Menge der komplexen Zhlen en. Se snd ene Erweterung der reellen Zhlen und wrd mt bezechnet. Mt den komplexen Zhlen knn mn ebenso rechnen we mt den reellen Zhlen. Unglechungen zwschen komplexen Zhlen snd jedoch ncht defnert. Aufgbe : Stelle lle Zhlenmengen, de Du kennst, n enem Mengendgrmm dr. De mgnäre Enhet Unter der mgnären Enhet versteht mn ene Zhl, deren Qudrt st. = De Schrebwese = benützen wr ncht, d se uf folgendes Problem führt: = = = = ( ) ( ) = = Mt wrd nch den Rechengesetzen der reellen Zhlen gerechnet. wrd mmer durch ersetzt, wo mmer es uftrtt. Ebenso st ( ) =. b hesst mgnäre Zhl, wobe de mgnäre Enhet st und b ene reelle Zhl. Gesetze be der Termumformung Addton Multplkton Kommuttvgesetz + b = b+ b = b Assoztvgesetz ( + b) + c= + b+ c= + ( b+ c) ( b ) c= bc = ( bc ) Neutrlelement Inverses Element = = 0+ = + = 0= + ( ) ( ) : = = = Dstrbutvgesetz ( b+ c) = b+ c Terme und Formeln: Komplexe Zhlen Sete (November )

3 Aufgbe : Betrchte folgende Bespele. Überlege, welche Opertonen usgeführt wurden, d.h. gb zu jedem Glechhetszechen n, nch welcher Regel des erlubt st. ) + = + = ( + ) = = b) 4 = ( 4) = 8 c) = 0 d) (3) = (3) (3) = (3 3) ( ) = 9 = 9 ( ) = 9 e) 7 4 = 7 4 = ( 7 4 ) = ( 3 4 ) = 3 4 f) m n = m n = (m n) g) 3 = = ( ) = h) 4 = = ( ) ( ) = ) = = = 3 4 = = j) = = = k) = Aufgbe 3: Ergänze folgende Feststellungen: ) Ds Produkt ener reellen Zhl mt ener mgnären Zhl ergbt ene... Zhl. b) Ds Produkt zweer mgnärer Zhlen ergbt ene... Zhl. c) Ist be enem Bruch genu der Zähler oder genu der Nenner mgnär, so st der Wert des Bruches... d) Der Quotent zweer mgnärer Zhlen ergbt mmer ene... Zhl. Aufgbe 4: Betrchte de Potenzen (von bs 0) der mgnären Enhet, d.h.,, 3,... Ws stellst Du fest? Glt dsselbe uch für de negtven Potenzen? Terme und Formeln: Komplexe Zhlen Sete 3 (November )

4 . Rechnen mt komplexen Zhlen Ene Verknüpfung der Form + b nennt mn komplexe Zhl (Normlform). Wobe der Reltel und b der Imgnärtel der komplexen Zhl z = + b st. Wr schreben: = Re( + b ) und b = Im( + b ) Wrd der Reltel ener komplexen Zhl glech Null ( = 0), so entsteht ene mgnäre Zhl. Wrd der Imgnärtel be der komplexen Zhl glech Null (b = 0), so entsteht ene reelle Zhl. Mn knn sgen, dss de reellen und de mgnären Zhlen Sonderfälle der komplexen Zhlen snd. Bespele z = + 3 (komplexe Zhl) z = (reelle Zhl) z = 3 (mgnäre Zhl) Zwe komplexe Zhlen, de sch nur durch ds Vorzechen hres mgnären Teles unterscheden, hessen konjugert komplexe Zhlen. Ds Zhlenpr z = + b z = b hesst konjugert komplex. Bespel + und snd zuennder konjugert komplexe Zhlen. Mt komplexen Zhlen wrd we mt reellen Zhlen gerechnet. Mn bechte dbe stets, dss = st, und versuche, ds Ergebns weder n de Form ener komplexen Zhl zu brngen. Bespele. Den Reltel und den Imgnärtel ener komplexen Zhl knn mn ncht weter zusmmenfssen.. Mn ddert/subtrhert zwe oder mehr komplexe Zhlen, ndem mn hre Reltele und Imgnärtele getrennt ddert/subtrhert. 3. Komplexe Zhlen werden we reelle Zhlen multplzert. Merke: Ersetze mmer durch. 4. Komplexe Zhlen werden we reelle Zhlen dvdert. Ist der Nenner ene komplexe Zhl, so erwetert mn dese Zhl mt der konjugert komplexen Zhl um ene reelle Zhl m Nenner zu erhlten = (4 + ) + ( 3 ) = = 7 (3 + 4) ( + 3) = = = + 6 = 4 + Terme und Formeln: Komplexe Zhlen Sete 4 (November )

5 Aufgbe 5: Führe folgende Opertonen us, wobe I) z = 3 und II) z = + b: ) Addton: z + z = b) Subtrkton: z z = c) Multplkton: z z = d) Dvson: z z = Aufgbe 6: Ist de Aussge whr oder flsch? ) st ene reelle Zhl b) st ene komplexe Zhl c) 3 st ene rtonle Zhl d) st ene reelle Zhl e) 3 st ene mgnäre Zhl f) π st ene komplexe Zhl Aufgbe 7: Berechne: ) b) ( ) c) 3 d) ( ) 3 e) 8 0 Aufgbe 8: Grundopertonen ) (8 + ) + (7 + 3) b) ( + 0) (5 3) c) ( 3 + ) ( ) d) 8 5 e) 8 5 f) ( 7 )5 g) (8 + )(7 + 3) h) (7 + ) ) 5 : 3 k) ( 5 0) : ( 5) l) ( 40) : (5) m) ( + 5) : ( 6) Aufgbe 9: Berechne mt z = 7 5, z = +, z 3 = 5 +, z 4 = 0 3, z 5 = 8 und z 6 = 8. ) z 5 (z 6 z ) b) z + z c) Re(z + 4z ) d) z (z 4 z 6 ) e) Im(z + 3z 3 ) f) z z 3 z 4 Aufgbe 0: Fnde lle Pre von konjugerten Zhlen n deser Lste: z = 4 +, z = + 4, z 3 = + 4, z 4 = 4 +, z 5 = 4, z 6 = 4, z 7 = 4, z 8 = 4. Aufgbe : Verenfche: ) b) c) 3 5 Aufgbe : Zur Zhl z sollen z, z und z berechnet werden: ) z = 5 b) z = 5 3 c) z = 3 + Aufgbe 3: Berechne für z = 5 +, z = 3 + 5: z ) Re z z c) Im z z Re(z ) b) Re(z ) Im(z ) d) Im(z ) + Re(z ) Terme und Formeln: Komplexe Zhlen Sete 5 (November )

6 Aufgbe 4: Löse de Glechungen n der Grundmenge : ) z = 4 b) z = 4 c) z 4z + 3 = 0 d) z + 3 = 0 e) z + 4z + 5 = 0 f) z + 4z 5 = 0 g) 8z + 5 = 0 Aufgbe 5: Löse n den Grundmengen,,, und. ) (z 5)(z + 5) = 0 b) (z + 3)(z 3) = 0 c) (z )(z + 3)(3z )(z )(z + ) = 0 Aufgbe 6: Es se j ene Zhl, für de 0 j glt. Schrebe den Term (0 + 0) j uf zwe verschedene Arten und zege so, dss en Wderspruch entsteht. Aufgbe 7: Löse ds Glechungssystem: ) 3z + z = 7 + b) z + z + ( + )z 3 = 7 5z 3z = + 8 z + z = 6 5 5z z 3 = 3 7 Häufg werden Summen mthlfe des Summenzechens (Sgm) drgestellt. Zum Bespel: = 0 n= n = k k= 0 Produkte können mt dem Produktzechen (P) geschreben werden. Zum Bespel: = n n= x... = x= 4 Aufgbe 8: Berechne: ) b) c) 3 4 d) 5 n= 0 n= n n Aufgbe 9: Für welche Zhlen z glt: ) z = z b) z = z c) z = z d) z = z e) Re(z) = Re( z ) f) Im(z) = Im( z ) g) Im(z) + Im( z) = 0 Terme und Formeln: Komplexe Zhlen Sete 6 (November )

7 3. Grphsche Drstellung der komplexen Zhlen D jede komplexe Zhl z = x + y ls en geordnetes Pr (x y) ufgefsst werden knn, können wr solche Zhlen n ener xy Ebene drstellen. Mn nennt ene solche Ebene Gusssche Zhlenebene oder uch Ebene der komplexen Zhlen. Für de Koordnten des Punktes glt x = Re(z) und y = Im(z). Auf dese Wese entsprcht jeder komplexen Zhl en Punkt der Zhlenebene und umgekehrt jedem Punkt genu ene Zhl. De reellen Zhlen snd dnn Punkte der x Achse, de uch Achse der reellen Zhlen hesst, de mgnären Zhlen Punkte der y-achse (Achse der Imgnärzhlen). De Zhlenebene st ene Erweterung des Begrffes der Zhlengerden, de zur Vernschulchung der reellen Zhlen dente. Aufgrund der Lge der komplexen Zhlen n der Ebene st es ncht möglch, de Zechen < oder > zu gebruchen. Mn knn uch ncht von postven oder negtven komplexen Zhlen sprechen. Oft st es günstger, komplexe Zhlen ls Vektoren der Gussschen Zhlenebene ufzufssen. Jeder komplexen Zhl entsprcht dnn genu der Vektor, der m Nullpunkt begnnt und zum Punkt z führt. Summe Dfferenz z + z z z = z + ( z ) Terme und Formeln: Komplexe Zhlen Sete 7 (November )

8 Den Abstnd des Punktes z vom Nullpunkt können wr dnn mthlfe des Betrges berechnen. Betrg ener komplexen Zhl z = + b : z = + b. Aufgbe 0: Berechne den Betrg der beden komplexen Zhlen z = 5 + und z = 5. Welche Schlussfolgerungen knnst Du drus zehen? Übungen Aufgbe : Zechne de zu den Zhlen gehörenden Punkte und verbnde ufennder folgende Punkte gerdlng. z = +, z = +, z 3 =, z 4 =, Aufgbe : Zechne en belebges Polygon n de Gusssche Zhlenebene und bestmme dnch de Eckpunkte. Aufgbe 3: Stelle de n beschrebender Form gegebene Zhlenmenge grphsch dr: ) {z Re(z) = } b) {z ( Re(z) 5) ( Im(z) 3)} c) {z Re(z) 0} d) {z Im(z) 0} e) {z Re(z) Im(z) 0} f) {z Im(z) } g) {z Re(z) + Im(z) = } h) {z Re(z) Im(z)} Aufgbe 4: Gb von den zugehörgen Zhlenmengen ene beschrebende Form n: ) Prllele zur reellen Achse, de durch den Punkt P(5 + 6) geht. b) Prllele zur mgnären Achse, de durch den Punkt Q( 3 + 5) geht. c) de reelle Achse bzw. de mgnäre Achse. d) Strecke mt den Endpunkten A() und B(4). e) Inneres (ohne Rnd) des Rechteckes P( 8 ) Q( 3 ) R( 3 + 3) S( 8 + 3). f). Qudrnt (ohne Rnd). Aufgbe 5: Gegeben snd de Zhlen z = +, z = + 3, z 3 =, z 4 = 4, z 5 = 3 6 und z 6 = 4. Konstruere n enem Koordntensystem unter Benutzung von Vektoren de folgenden Zhlen und kontrollere nchträglch de Konstruktonsergebnsse durch Rechnung. ) = z 5 + z 6 b) b = z z c) c = 3z 3.5z z 5 d) d = (z 5 + z 3 ) 3(0.5z 4 + z 6 ) Terme und Formeln: Komplexe Zhlen Sete 8 (November )

9 4. Polrform der komplexen Zhlen Bsher hben wr komplexe Zhlen n der Normlform z = + b drgestellt. Ebenso gut st es möglch (und we wr m Weteren sehen werden, sehr snnvoll), z durch r und ϕ festzulegen. Defnton: r (cosϕ + snϕ) hesst Polrdrstellung der komplexen Zhl z. r = z hesst Betrg der komplexen Zhl z. Der Wnkel ϕ, um den z m Gegenuhrzegersnn us der x Achse herusgedreht wrd, hesst Argument der komplexen Zhl z. Mthlfe der Trgonometre knn mn de Normlform n de Polrform und umgekehrt Umrechnungsformeln für z = + b = r (cosϕ + snϕ) umzurechnen: Normlform: = r cosϕ Polrform: b = r snϕ r = + b b tnϕ = Vorscht: Be der Ermttlung von ϕ musst Du uf den Qudrnten chten. Bespel: z = tn ϕ = =. D z m drtten Qudrnten legt, st ϕ = 5 und ncht 45, we der Tschenrechner nzegt. Schrebwese: Häufg schrebt mn für r (cosϕ + snϕ) de Abkürzung r csϕ. Bespel: 3 (cos35 + sn35 ) = 3 cs35. Terme und Formeln: Komplexe Zhlen Sete 9 (November )

10 5. Übungen Aufgbe 6: Verwndle n de Normlform: ) 4cs90 b) 3cs0 c).5cs70 d) cs60 e) 4cs( 0 ) f) cs( 45 ) g) 4cs( π / ) h) 6cs( 3π / 4 ) ) 3 cs39 j) 4 3 cs300 Aufgbe 7: Gb de Polrform n: ) + b) + c) d) e) 3 f) 3 g) 3 h) 3 Aufgbe 8: Gb de Polrform n: ) + 3 b) + 3 c) 6 6 d) Aufgbe 9: Gb de Polrform n: ) 4 + b) 4 + c) + 3 d) 3 e) f) g) 3 h).7.9 Aufgbe 30: z = 3 + 6, z = +, z 3 = ) rg(z z ) b) z + z c) rg(z /z 3 ) d) rg(z z ) Aufgbe 3: Stelle de n beschrebender Form gegebene Zhlenmenge grphsch dr: ) {z z = } b) {z z 5} c) {z rg(z) = 45 } d) {z z = 3 und 80 rg(z) 70 } e) {z z 4 und 60 rg(z) 30 } f) {z rg(z) = 30 und Re(z) } g) {z z und Im(z) } Aufgbe 3: Gb von der zugehörgen Zhlenmenge ene beschrebende Form n: ) Kreslne mt dem Zentrum M(0) und dem Rdus 5. b) Kresbogen mt Zentrum M(0) und den Endpunkten A( 3 + ) und B( + 3). c) Gerde, de durch de Punkte A( ) und B( + ) geht. d) Strecke mt den Endpunkten A( 3 + 3) und B( ). Terme und Formeln: Komplexe Zhlen Sete 0 (November )

11 En gewchtger Vortel der Polrdrstellung komplexer Zhlen besteht drn, dss de Multplkton und de Dvson n deser Drstellung sehr enfch usgeführt werden können: Für z = r csϕ und z = r csϕ gelten folgende Aussgen: Produkt Quotent Potenz z r = cs ϕ ϕ z n = r n cs(n ϕ) z r z z = r r cs(ϕ + ϕ ) ( ) Dese Aussgen können mthlfe der Addtonstheoreme für cos(α ± β) sowe sn(α ± β) bewesen werden. Aufgbe 33: Stelle de Zhlen ls Punkte der Zhlenebene dr (n ): ) z = cs(n 90 ) b) z = cs(n 60 ) c) z = cs(30 + n 0 ) d) z = cs(60 + n 45 ) e) z = cs n n f) z = cs Aufgbe 34: Gb ds Ergebns n Polrform n: ) cs90 cs00 cs0 cs 0 b) (cs7 : cs84 ) cs7 c) (cs5 ) 8 (cs35 )4 d) (cs )5 (cs5 ) e) (cos5 + sn5 ) (cos60 + sn60 ) cos 0 sn 0 f) cos 50 sn 50 Aufgbe 35: Gb zur Zhl z de konjugerte Zhl z und de Gegenzhl z n: ) 4 cs60 b) / 3 cs( 50 ) c) 8 cs00 Aufgbe 36: Verenfche den Term: ) csφ cs( φ) b) csφ : cs( φ) c) csφ + cs ( φ) d) csφ cs( φ) Terme und Formeln: Komplexe Zhlen Sete (November )