8. Mathematische Begriffe der Thermodynamik. Basel, 2008
|
|
|
- Lukas Kalb
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 8. Mathematsche Begre der Thermodnamk Basel, 2008
2 1. Enührung 8. Mathematsche Begre der Thermodnamk 2. Zustandsunktonen mehrerer Varabeln 3. Totales Derental 4. Homogene Funktonen 5. Mengen-Angaben 6. De emprsche Zustandsglechung Reerenzen: Ergänzendes Materal: Vorlesungsskrpt (2007- K8-1bsK8-9) - P. Atkns, J. de Paula, Atkns Phscal Chemstr, Oord Unv. Press, Oord, 8th ed., 2006, , A2.6-A2.9 und von Further Inormaton 1. - I. Tnoco, K. Sauer, J.C. Wang, J.D. Pugls - Phscal Chemstr, Prncples and applcatons n bologcal scences, Prentce-Hall, New Jerse, 4th ed., 2002, Kaptel 2 to 5
3 8.1 Enührung De Thermodnamk arbetet mt Zustandsunktonen, also Funktonen der Zustandsvarabeln. Zustandsvarabeln, mt denen man den Zustand enes makroskopschen Sstems beschrebt, snd: Temperatur Druck Volumen Mengenangaben Ncht alle Varabeln snd unabhängg > wegen der Estenz ener Zustandsglechung man kann jede Varabel als Funkton der anderen Varabeln ormuleren: (8.1) Zustandsglechung dealer Gase ( T, V ) P RT m V Etensve Grössen haben enen Wert proportonal der Menge Materal (V). Intensve Grössen snd unabhängg von Molzahlen (p, T). m V m Molvolumen R - Gaskonstante
4 8.1.1 Zustandsglechung dealer Gase pv m RT (8.1a) Intensve Form pv nrt (8.1b) Etensve Form De Zustandsglechung dealer Gase hat ene Rehe von Egenschaten, de ür uns von Bedeutung snd: Se st unversell (ncht substanzabhängg), glt also ür jedes Gas (jede Gasmschung). Se st bekannt, oder man geht mmer davon aus, dass ene Zustandsglechung estert (das st we en thermodnamsches Aom). Se st brauchbar trotz Idealserung. Gase snd gut mt hr zu beschreben, besonders be hohen Temperaturen und teen Drucken. Nur wenn Gase kondenseren, recht das Gasgesetz ncht aus. Se st mathematsch sehr enach!
5 8.2 Zustandsunktonen mehrerer Varabeln Zustandsunktonen endeutge, stetge, derenzerbare Funktonen Bespel: U Funkton zweer unabhängger Varabeln T, p (T,p): U U(T, p) nnere Energe U U -U Dchte: ρ ρ(t, p) (8.2) U : De Änderung st nur von den Anangs- und Endzuständen abhängg. P 0 P Zustandsunktonen snd endeutg: ür jede Wahl der unabhänggen Varabeln gbt es genau enen Funktonswert. Varable 2 Varable 1
6 8.2.1.Partelle Abletungen Bespel: Funkton zweer unabhängger Varabeln, (,) Partelle Abletungen (Stegung der Funkton n Rchtung der ncht konstant gehaltenen Koordnate): -partelle Abletung nach be konstantem : lm 0 ( +, ) (, ) (8.3) Schntte parallel zur (,) Ebene Funktonen von und können abgeletet werden.
7 Partelle Abletung - partelle Abletung nach be konstantem : lm 0 (, + ) (, ) (8.4) 0 l δ δ δ δ Bespel: an de Tael Schntte parallel zur (,) Ebene Funktonen von und können abgeletet werden.
8 8.2.2.Höheren partellen Abletungen Entsprechend kann man durch Iteraton weder de höheren partellen Abletungen blden: (8.5) (8.6) Stegung n -Rchtung be konstantem, danach noch enmal Stegung n -Rchtung be konstantem (oder -Rchtung be konstanten - zwe Mal) Satz von Schwartz: Stegung n -Rchtung be konstantem, danach Stegung n -Rchtung be konstantem Stegung n -Rchtung be konstantem, danach Stegung n -Rchtung be konstantem : (8.7) 2 2 Bespel: an de Tael
9 Höheren partellen Abletungen Entsprechend kann man durch Iteraton weder de höheren partellen Abletungen blden: Partelle Abletung Stegung der Funkton n Rchtung der ncht konstant gehaltenen Koordnate. (8.8) (8.9) (8.10) (8.11)
10 Totales Derental von (,): 8.3 Totales Derental (8.12) Bespel: d Höhenuntersched PC bs Hebelplatz Stegung Klngelbergstr./Davdsbodenstr (apro. 0), wenn Weg Stegung Hebelstrasse (apro. 0), wenn Weg Stegung des Davdsrans, wenn Weg Stegung des Rhenländerstr., wenn Weg d PC bs Hebelplatz, je nach Weg d PC bs Hebelplatz, je nach Weg De Änderung st nur von den Anangs- und Endzuständen abhängg. (8.13)
11 Totales Derental Gesamte Änderung des Funktonswerts, wenn de Koordnaten sch um d resp. d ändern: (8.14) Integral über d st unabhängg vom Weg: (8.15) Nur abhängg vom Zustand (her Varabeln, ) > Zustandsunkton Bespel: an de Tael Bemerke: st Smbol ür partelle Abtelung, d wrd ür das totale Derental verwendet.
12 8.3.1 Euler Bezehung Euler Bezehung: d d d - Konstant ( 0, 0 ) d Bespel: an de Tael (8.16) 1 1
13 8.3.2 Kettenregel Es glt: (g, h); g g(,) und h h(,): damt st das totale Derental: > Partelle Abletung des totalen Derentals d(g,h) nach be konstantem : g h h h g g + g h h h g g + > Partelle Abletung des totalen Derentals d(g,h) nach be konstantem : (8.18) (8.19) dh h dg g d g h + (8.17)
14 8.4. Homogene Funktonen De Funkton (,,... m ) hesst homogen vom Grade N n den Koordnaten, wenn ür belebge Konstanten λ glt: (λ 1, λ 2,... λ m ) λ N ( 1, 2,... m ) Euler Theorem ür homogene Funktonen: (8.21) (8.20) Bewes: mt Hle der Kettenregel. Denere g λ. Lete de homogene Funkton nach λ ab. (8.22) Für λ 1 > g, und es gbt das Euler Theorem.
15 8.4.1 Mehrkomponenten-Ssteme Intensve Zustandsunktonen snd homogen 0-ten Grades n den Mengenvarablen (λ 0 ): (8.23) Wenn N 0 (8.20) > m 1 0 n Molzahlen (Mengenangaben) snd Zustandsvarabeln neben Temperatur und Druck. Bespel: De Dchte enes Zwekomponenten-Sstems (we bnäre Mschung: ρ(p,t,n 1,n 2 )) st ene homogene Zustandsunkton 0-ten Grades mt den Mengenvarabeln n 1 und n 2. Be konstanten p und T glt: (8.25) j (8.24)
16 Mehrkomponenten-Ssteme Etensve Zustandsunktonen snd 1-ten Grades n den Mengenvarabeln (N 1): (8.26) Wenn N 1 (8.20) > m 1 j (, K, ) 1, 2 m (8.27) Bespel: Das Volumen enes Zwekomponenten-Sstems (we bnäre Mschung: V(p,T,n 1,n 2 )) st ene homogene Zustandsunkton 1-ten Grades mt den Mengenvarabeln n 1 und n 2. Be konstanten p und T glt: (8.28)
17 8.5. Mengen-Angaben Zusammenstellung der verschedenen ür Stomengen verwendeten Begre. Molzahlen n mol Mole der Spezes n Konzentratonen c n / V mol dm -3 V Volumen n Molenbrüche - n 1 n Partaldrücke p,g p N m -2 p Gesamtdruck p p,g Molenbruch der Spezes (Gasase)
18 8.6 De emprsche Zustandsglechung De partelle Abletungen von Zustandsunktonen haben auch ene phskalsche Bedeutung. > mechanschen Koezenten Isobarer Ausdehnungskoezent, α: α 1 V 0 V T p (8.29) Relatve Volumenänderung als Folge ener Temperaturänderung be konstantem Druck. Wenn en Sstem mt Volumen V 0 um T Grad erhtzt wrd, so ändert sch sen Volumen um V alls der Druck konstant gehalten wrd. V αv0 T (8.30) [α] K -1
19 8.6.1 Mechanschen Koezenten Isothermer Kompressonskoezent k: k 1 V 0 V p T (8.31) Relatve Volumenänderung als Folge ener Druckänderung be konstanter Temperatur. Das Mnus -Zechen sorgt daür, dass k > 0, denn be Erhöhung des äusseren Drucks wrd das Volumen des Sstems klener. Wenn en Sstem mt Volumen V 0 um p komprmert wrd, ändert sch sen Volumen um V, alls de Temperatur konstant gehalten wrd. V kv0 p (8.32) [k] Pa -1
20 Mechanschen Koezenten Um wevel nmmt der Druck bem Erhtzen m starren Geäss zu? Isochorer Spannungskoezent, β: β p T De mechanschen Koezenten snd Materalgrössen n Abhänggket von T und P. Grössenordnungen der mechanschen Koezenten V (8.33)
21 Emprsche Zustandsglechung Zustandsglechung: Änderung des Molvolumes V m Reerenzzustandes (T 0, p 0 ): bezüglch enes V m 0, m 1 [ + ( T T ) k ( p )] ( T, p) V α p (8.34) α 0 α(t 0, p 0 ); k 0 k(t 0, p 0 ) De emprsche Zustandsglechung wrd mest ür kondenserte Stoe (Flüssgketen, Festkörper) verwendet, wenn ene theoretsche Zustandsglechung ncht bekannt oder mathematsch unhandlch st. De mechanschen Koezenten snd durch Messung zugänglch (man ndet Tabellen daür).
22 α, k, β - deale Gase Da ür deale Gase de Zustandsglechung bekannt st, können wr dese Grösse algebrasch berechnen: Glechung ür deale Gase (8.1.a): pv m RT Partelle Abletungen: α k p R 1 RT p T p RT RT p 2 1 p (8.37) (8.38) V T m p R p (8.35) β α k p T R V m Vm p T (8.39) RT 2 p (8.36) α, k, β snd kene Konstanten, sondern Funktonen der Zustandsvarabeln.
23 Lernzele - Was snd Zustandsvarablen? Nennen Se mndestens 2 Bespele! - Was st ene Zustandsunkton? Was glt ür Wegntegrale über Zustandsunktonen? - Was besagt der Satz von Schwarz? - Was st ene homogene Funkton vom Grade N? - Nennen Se je en Bespel ener thermodnamschen Grösse vom Grade 0 bzw. 1! - Schreben Se das totale Derental ür V(P,T) an! - Schreben Se das totale Derental ür V(P,T, n 1, n 2 ) an! - Welche Grösse der Thermodnamk von Gemschen entsprcht der Krat n der Mechank? - Welche Grösse der Thermodnamk entsprcht dem Potental n der Mechank? -Welches snd n desem Zusammenhang de wesentlchen Varabeln n Mechank bzw. Thermodnamk? - We st der sobare thermsche Ausdehnungskoezent denert? -We st der sochore Spannungskoezent denert? - We st de sotherme Kompressbltät denert?
Für jeden reinen, ideal kristallisierten Stoff ist die Entropie am absoluten Nullpunkt gleich
Drtter Hauptsatz der Thermodynamk Rückblck auf vorherge Vorlesung Methoden zur Erzeugung tefer Temperaturen: - umgekehrt laufende WKM (Wärmepumpe) - Joule-Thomson Effekt bs 4 K - Verdampfen von flüssgem
Musterlösung zu Übung 4
PCI Thermodynamk G. Jeschke FS 05 Musterlösung zu Übung erson vom 6. Februar 05) Aufgabe a) En Lter flüssges Wasser egt m H O, l ρ H O, l L 998 g L 998 g. ) De Stoffmenge n H O, l) von enem Lter flüssgen
An welche Stichwörter von der letzten Vorlesung können Sie sich noch erinnern?
An welche Stchwörter von der letzten Vorlesung können Se sch noch ernnern? Gasgesetz ür deale Gase pv = nr Gelestete Arbet be sotherme Ausdehnung adabatsche Ausdehnung 2 n Reale Gase p + a 2 ( V nb) =
Grundgedanke der Regressionsanalyse
Grundgedanke der Regressonsanalse Bsher wurden durch Koeffzenten de Stärke von Zusammenhängen beschreben Mt der Regressonsrechnung können für ntervallskalerte Varablen darüber hnaus Modelle geschätzt werden
29 zweite Ableitungen der thermodynamischen Potentiale spezifische Wärme (thermischer response) E = = = T V N V N V N = = κ T.
hermodynamsche resonse -unktonen: 9 zwete Abletungen der thermodynamschen Potentale sezfsche Wärme (thermscher resonse) E C S be konstantem olumen (sochor):,,, be konstantem Druck (sobar): C S Komressbltät
1 Mehrdimensionale Analysis
1 Mehrdmensonale Analyss Bespel: De Gesamtmasse der Erde st ene Funton der Erddchte ρ Erde und des Erdradus r Erde De Gesamtmasse der Erde st dann m Erde = V Erde ρ Erde Das Volumen ener Kugel mt Radus
12. Das Reaktionsgleichgewicht
12. Das Reaktonsglechgewcht - Datenredukton be Berechnungen des Glechgewchts - Reaktonsglechgewcht ener Gasreakton - Chemsches Potental und Aktvtäten - Allgemenes Reaktonsglechgewcht - Temperaturabhänggket
Einführung in die theoretische Physik 1
Enführung n de theoretsche hysk 1 rof. Dr. L. Mathey Denstag 15:45 16:45 und Donnerstag 10:45 12:00 Begnn: 23.10.12 Jungus 9, Hörs 2 Mathey Enführung n de theor. hysk 1 1 Grundhypothese der Thermostatk
nonparametrische Tests werden auch verteilungsfreie Tests genannt, da sie keine spezielle Verteilung der Daten in der Population voraussetzen
arametrsche vs. nonparametrsche Testverfahren Verfahren zur Analyse nomnalskalerten Daten Thomas Schäfer SS 009 1 arametrsche vs. nonparametrsche Testverfahren nonparametrsche Tests werden auch vertelungsfree
Experimentalphysik II (Kip SS 2007)
permentalphsk II (Kp SS 007) Zusatvorlesungen: Z-1 n- und mehrdmensonale Integraton Z- Gradent, Dvergen und Rotaton Z-3 Gaußscher und Stokesscher Integralsat Z-4 Kontnutätsglechung Z-5 lektromagnetsche
Einführung in die Methode der Finiten Elemente
Enührung n de Methode der Fnten Elemente Hrro Schmelng Geophys. Semnr 11. 5. 04 Hstore - Ingeneurwssenschten, Strukturmechnk - Mthemtk/Physk: llg. Theore, nwendbr u belebge prtelle Derentlglechungen PDG
9 Phasengleichgewicht in heterogenen Mehrkomponentensystemen
9 Phasenglechgewcht n heterogenen Mehrkomonentensystemen 9. Gbbs sche Phasenregel α =... ν Phasen =... k Komonenten Y n (α) -Molzahl der Komonente Y n der Phase α. Für jede Phase glt ene Gbbs-Duhem-Margules
18. Vorlesung Sommersemester
8. Vorlesung Sommersemester Der Drehmpuls des starren Körpers Der Drehmpuls des starren Körpers st etwas komplzerter. Wenn weder de Wnkelgeschwndgket um de feste Rotatonsachse st, so wrd mt Hlfe des doppelten
Übungsklausur zur Vorlesung Wahrscheinlichkeit und Regression Lösungen. Übungsklausur Wahrscheinlichkeit und Regression Die Lösungen
Übungsklausur Wahrschenlchket und Regresson De Lösungen. Welche der folgenden Aussagen treffen auf en Zufallsexperment zu? a) En Zufallsexperment st en emprsches Phänomen, das n stochastschen Modellen
2 Zufallsvariable und Verteilungen
Zufallsvarable und Vertelungen 7 Zufallsvarable und Vertelungen Wr wollen uns jetzt mt Zufallsexpermenten beschäftgen, deren Ausgänge durch (reelle) Zahlen beschreben werden können, oder be denen man jedem
4.6 Das Pumping-Lemma für reguläre Sprachen:
Theoretsche Informatk 1 Vorlesungsskrpt vom Fretag, 30 Jun 000 Index: Erstellt von: (Matrkelnummer: 70899) Sete : 46 Das Pumpng-Lemma für reguläre Sprachen 1 Satz W 1 Zugrundelegende Idee des Pumpng-Lemma
Thermodynamik Prof. Dr.-Ing. Peter Hakenesch peter.hakenesch@hm.edu www.lrz-muenchen.de/~hakenesch
Thermodynamk Thermodynamk Prof. Dr.-Ing. Peter Hakenesch peter.hakenesch@hm.edu www.lrz-muenchen.de/~hakenesch Thermodynamk 1 Enletung 2 Grundbegrffe 3 Systembeschrebung 4 Zustandsglechungen 5 Knetsche
Nullstellen Suchen und Optimierung
Nullstellen Suchen und Optmerung Typsche Probleme: De optmale Bahnkurve De Mnmerung des Erwartungswertes ür den Hamltonan Wr möchten ene Funkton mnmeren oder mameren solch en Problem wrd Optmerung genannt!
3. Lineare Algebra (Teil 2)
Mathematk I und II für Ingeneure (FB 8) Verson /704004 Lneare Algebra (Tel ) Parameterdarstellung ener Geraden Im folgenden betrachten wr Geraden m eukldschen Raum n, wobe uns hauptsächlch de Fälle n bzw
9 Komplexe Zahlen ( ) ( ) 9.1 Ziele. 9.2 Warum braucht man komplexe Zahlen? 9.3 Darstellung von komplexen Zahlen. r 2. j 2. j 1.
Mathematk I / Komplexe Zahlen 9 Komplexe Zahlen 9. Zele Am Ende deses Kaptels hast Du ene Grundvorstellung was komplexe Zahlen snd. Du kannst se grafsch darstellen und enfache Berechnungen durchführen.
14 Exakte Statistik nichtwechselwirkender Teilchen
Woche 4 Exakte Statstk nchtwechselwrkender Telchen 4 Bose-Ensten Statstk Engeführt von Satyendra ath Bose 924) für Photonen von A Ensten für massve Telchen 925) Voraussetzung: Bosonen Telchen mt ganzzahlgen
NSt. Der Wert für: x= +1 liegt, erkennbar an dem zugehörigen Funktionswert, der gesuchten Nullstelle näher.
PV - Hausaugabe Nr. 7.. Berechnen Se eakt und verglechen Se de Werte ür de Nullstelle, de mttels dem Verahren von Newton, der Regula als und ener Mttelung zu erhalten snd von der! Funkton: ( ) Lösungs
11 Chemisches Gleichgewicht
11 Chemsches Glechgewcht 11.1 Chemsche Reaktonen und Enstellung des Glechgewchts Untersucht man den Mechansmus chemscher Reaktonen, so wrd man dese enersets mt enem mkroskopschen oder knetschen Blck auf
2. Nullstellensuche. Eines der ältesten numerischen Probleme stellt die Bestimmung der Nullstellen einer Funktion f(x) = 0 dar.
. Nullstellensuche Enes der ältesten numerschen Probleme stellt de Bestmmung der Nullstellen ener Funkton = dar. =c +c =c +c +c =Σc =c - sn 3 Für ene Gerade st das Problem trval, de Wurzel ener quadratschen
Die Transzendenz der Eulerschen Zahl e
De Transzendenz der Eulerschen Zahl e nach Jean-Paul Delahaye Der n [1, Seten 21-22] skzzerte Bewes der Transzendenz der Eulerschen Zahl e wrd m folgenden ausgeführt. En alternatver Bewes, der auf Ideen
Daten sind in Tabellenform gegeben durch die Eingabe von FORMELN können mit diesen Daten automatisierte Berechnungen durchgeführt werden.
Ene kurze Enführung n EXCEL Daten snd n Tabellenform gegeben durch de Engabe von FORMELN können mt desen Daten automatserte Berechnungen durchgeführt werden. Menüleste Symbolleste Bearbetungszele aktve
-70- Anhang: -Lineare Regression-
-70- Anhang: -Lneare Regressn- Für ene Messgröße y f(x) gelte flgender mathematsche Zusammenhang: y a+ b x () In der Regel läßt sch durch enen Satz vn Messwerten (x, y ) aber kene Gerade zechnen, da de
9 Komplexe Zahlen ( ) ( ) 9.1 Ziele. 9.2 Warum braucht man komplexe Zahlen? 9.3 Darstellung von komplexen Zahlen. r 2. j 2. j 1.
Mathematk I / Komplexe Zahlen 9 Komplexe Zahlen 9. Zele Am Ende deses Kaptels hast Du ene Grundvorstellung was komplexe Zahlen snd. Du kannst se grafsch darstellen und enfache Berechnungen durchführen.
III. Theorie des Haushalts
Pro. Dr. Fredel Bolle Vorlesung "Mkroökonome" WS 008/009 III. Theore des Haushalts 86 Pro. Dr. Fredel Bolle Vorlesung "Mkroökonome" WS 008/009 III. Theore des Haushalts 87 III. Theore des Haushalts Unternehmung
Funktionsgleichungen folgende Funktionsgleichungen aus der Vorlesung erhält. = e
Andere Darstellungsformen für de Ausfall- bzw. Überlebens-Wahrschenlchket der Webull-Vertelung snd we folgt: Ausfallwahrschenlchket: F ( t ) Überlebenswahrschenlchket: ( t ) = R = e e t t Dabe haben de
Analysis I. Vorlesung 17. Logarithmen. R R, x exp x,
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2013/2014 Analyss I Vorlesung 17 Logarthmen Satz 17.1. De reelle Exponentalfunkton R R, x exp x, st stetg und stftet ene Bjekton zwschen R und R +. Bewes. De Stetgket
5. Gruppenübung zur Vorlesung. Höhere Mathematik 1. Wintersemester 2012/2013
O. Alaya, S. Demrel M. Fetzer, B. Krnn M. Wed 5. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematk Wntersemester /3 Dr. M. Künzer Prof. Dr. M. Stroppel Lösungshnwese zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 6. Darstellungen
Klassische Theoretische Physik II (Theorie B) Sommersemester 2016
Karlsruher Insttut für Technologe Insttut für Theore der Kondenserten Matere Klasssche Theoretsche Physk II Theore B Sommersemester 016 Prof. Dr. Alexander Mrln Musterlösung: Blatt 7. PD Dr. Igor Gorny,
Ionenselektive Elektroden (Potentiometrie)
III.4.1 Ionenselektve Elektroden (otentometre) Zelstellung des Versuches Ionenselektve Elektroden gestatten ene verhältnsmäßg enfache und schnelle Bestmmung von Ionenkonzentratonen n verschedenen Meden,
I)1. Kinematik. EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler
I)1. Knematk I) Mechank 1.Knematk (Bewegung) 2. Dynamk on Massenpunkten (Enfluss on Kräften) 3. Starre Körper 4.Deformerbare Meden 5. Schwngungen, Wellen, Akustk I)1. Knematk Bewegungslehre (Zel: Quanttate
3 Elastizitätstheorie
3 Elastztätstheore Für en elastsches Medum nmmt man enen spannungsfreen Referenzzustand an, der n Eulerkoordnaten durch x = Ax, t) gegeben st. Abwechungen werden beschreben durch de Verschebung ux, t)
1. Klausur in "Technischer Thermodynamik I" (WiSe2013/14, ) - VERSION 1 -
UNIVERSITÄT STUTTGART INSTITUT FÜR THERMODYNAMIK UND WÄRMETECHNIK Apl. Professor Dr.-Ing. K. Spndler 1. Klausur n "Technscher Thermodynamk I" (WSe2013/14, 12.12.2013) - VERSION 1 - Name: Fachr.: Matr.-Nr.:
Asymptotische Stochastik (SS 2010) Übungsblatt 1 P X. 0, n.
Insttut für Stochastk PD. Dr. Deter Kadelka Danel Gentner Asymptotsche Stochastk (SS 2) Übungsblatt Aufgabe (Arten von Konvergenz reeller Zufallsvarablen und deren Zusammenhänge) Es seen X,, n N reelle
Nernstscher Verteilungssatz
Insttut für Physkalsche Cheme Grundpraktkum 7. NERNSTSCHER VERTEILUNGSSATZ Stand 03/11/2006 Nernstscher Vertelungssatz 1. Versuchsplatz Komponenten: - Schedetrchter - Büretten - Rührer - Bechergläser 2.
ME II, Prof. Dr. T. Wollmershäuser. Kapitel 2 Das IS-LM-Modell
ME II, Prof. Dr. T. Wollmershäuser Kaptel 2 Das IS-LM-Modell Verson: 26.04.2011 2.1 Der Gütermarkt De gesamte Güternachfrage Z (Verwendung des BIP) lässt sch we folgt darstellen: Z C+ I + G ME II, Prof.
Der starre Körper. 1 Grundlagen. Dominik Fauser. 1.1 Denition. 1.2 Freiheitsgrade
Der starre Körper Domnk Fauser 1 Grundlagen 1.1 Denton Als enen starren Körper bezechnet man en System von Massepunkten m, deren Abstände zuenander konstant snd: r j = r r j. Mest betrachtet man ene sehr
Konkave und Konvexe Funktionen
Konkave und Konvexe Funktonen Auch wenn es n der Wrtschaftstheore mest ncht möglch st, de Form enes funktonalen Zusammenhangs explzt anzugeben, so kann man doch n velen Stuatonen de Klasse der n Frage
Regressionsgerade. x x 1 x 2 x 3... x n y y 1 y 2 y 3... y n
Regressonsgerade x x x x 3... x n y y y y 3... y n Bem Auswerten von Messrehen wrd häufg ene durch theoretsche Überlegungen nahegelegte lneare Bezehung zwschen den x- und y- Werten gesucht, d.h. ene Gerade
4. Musterlösung. Problem 1: Kreuzende Schnitte **
Unverstät Karlsruhe Algorthmentechnk Fakultät für Informatk WS 05/06 ITI Wagner 4. Musterlösung Problem 1: Kreuzende Schntte ** Zwe Schntte (S, V \ S) und (T, V \ T ) n enem Graph G = (V, E) kreuzen sch,
3.3 Lineare Abbildungen und Matrizen
33 LINEARE ABBILDUNGEN UND MATRIZEN 87 33 Lneare Abbldungen und Matrzen Wr wollen jetzt de numersche Behandlung lnearer Abbldungen zwschen Vektorräumen beschreben be der vorgegebene Basen de Hauptrolle
Theoretische Physik II Elektrodynamik Blatt 2
PDDr.S.Mertens M. Hummel Theoretsche Physk II Elektrodynamk Blatt 2 SS 29 8.4.29 1. Rechnen mt Nabla. Zegen Se durch Auswertung n kartesschen Koordnaten de folgende Relaton und werten Se de anderen Relatonen
Bestimmung des Aktivitätskoeffizienten mittels Dampfdruckerniedrigung
Grundraktkum Physkalsche Cheme Versuch 22 Bestmmung des Aktvtätskoeffzenten mttels Damfdruckernedrgung Überarbetetes Versuchsskrt, 27..204 Grundraktkum Physkalsche Cheme, Versuch 22: Aktvtätskoeffzent
Lineare Regression (1) - Einführung I -
Lneare Regresson (1) - Enführung I - Mttels Regressonsanalysen und kompleeren, auf Regressonsanalysen aserenden Verfahren können schenar verschedene, jedoch nenander üerführare Fragen untersucht werden:
4. Energie, Arbeit, Leistung, Impuls
34 35 4. Energe, Arbet, Lestung, Ipuls Zentrale Größen der Physk: Energe E, Enhet Joule ( [J] [N] [kg /s ] Es gbt zwe grundsätzlche Foren on Energe: knetsche Energe: entelle Energe: Arbet, Enhet Joule
Kapitel 5. Symmetrien und Erhaltungsgrößen. 5.1 Symmetrietransformationen
Kaptel 5 Symmetren un Erhaltungsgrößen 5.1 Symmetretransformatonen Betrachte en mechansches System mt en Koornaten q 1,... q f un er Lagrangefunkton L(q 1,... q f, q 1,... q f, t). Nun soll ene Transformaton
Kreisel. koerperfestes KS. z y. raumfestes KS. Starrer Körper: System von Massepunkten m i, deren Abstände r i r j untereinander konstant sind.
Kresel z y koerperfestes KS z y x raumfestes KS x Starrer Körper: System von Massepunkten m, deren Abstände r r j unterenander konstant snd. Der Zustand läßt sch beschreben durch: Poston des Schwerpunktes,
Fallstudie 1 Diskrete Verteilungen Abgabe: Aufgabentext und Lösungen schriftlich bis zum
Abgabe: Aufgabentext und Lösungen schrftlch bs zum 15. 6. 2012 I. Thema: Zehen mt und ohne Zurücklegen Lesen Se sch zunächst folgenden Text durch! Wr haben bsher Stchprobenzehungen aus Grundgesamtheten
Stochastische Prozesse
INSTITUT FÜR STOCHASTIK SS 009 UNIVERSITÄT KARLSRUHE Blatt 4 Prv.-Doz. Dr. D. Kadelka Dpl.-Math. W. Lao Übungen zur Vorlesung Stochastsche Prozesse Musterlösungen Aufgabe 16: (Success Run, Fortsetzung)
Facility Location Games
Faclty Locaton Games Semnar über Algorthmen SS 2006 Klaas Joeppen 1 Abstract Wr haben berets sehr häufg von Nash-Glechgewchten und vor allem von deren Exstenz gesprochen. Das Faclty Locaton Game betet
Beschreibung des Zusammenhangs zweier metrischer Merkmale. Streudiagramme Korrelationskoeffizienten Regression
Beschrebung des Zusammenhangs zweer metrscher Merkmale Streudagramme Korrelatonskoeffzenten Regresson Alter und Gewcht be Kndern bs 36 Monaten Knd Monate Gewcht 9 9 5 8 3 4 7.5 4 3 6 5 3 6 4 3.5 7 35 5
18. Dynamisches Programmieren
8. Dynamsches Programmeren Dynamsche Programmerung we gerge Algorthmen ene Algorthmenmethode, um Optmerungsprobleme zu lösen. We Dvde&Conquer berechnet Dynamsche Programmerung Lösung enes Problems aus
Elemente der Mathematik - Sommer 2016
Elemente der Mathematk - Sommer 2016 Prof Dr Matthas Lesch, Regula Krapf Lösungen Übungsblatt 3 Aufgabe 9 (10 Punkte) Das Horner-Schema st ene Methode zum Auswerten enes Polynoms n a0 x an der Stelle s
Werkstoffmechanik SS11 Baither/Schmitz. 5. Vorlesung
Werkstoffmechank SS11 Bather/Schmtz 5. Vorlesung 0.05.011 4. Mkroskopsche Ursachen der Elastztät 4.1 Energeelastztät wrd bestmmt durch de Wechselwrkungspotentale zwschen den Atomen, oft schon auf der Bass
Stochastische Prozesse
INSTITUT FÜR STOCHASTIK SS 2009 UNIVERSITÄT KARLSRUHE Blatt 2 Prv.-Doz. Dr. D. Kadelka Dpl.-Math. W. Lao Übungen zur Vorlesung Stochastsche Prozesse Musterlösungen Aufgabe 7: (B. Fredmans Urnenmodell)
12 LK Ph / Gr Elektrische Leistung im Wechselstromkreis 1/5 31.01.2007. ω Additionstheorem: 2 sin 2 2
1 K Ph / Gr Elektrsche estng m Wechselstromkres 1/5 3101007 estng m Wechselstromkres a) Ohmscher Wderstand = ˆ ( ω ) ( t) = sn ( ω t) t sn t ˆ ˆ P t = t t = sn ω t Momentane estng 1 cos ( t) ˆ ω = Addtonstheorem:
Bemerkungen zum LCG Rupert Hartung,
mt Bemerkungen zum LCG Rupert Hartung, 24.6.2005 Wr betrachten den Lnear Congruental Generator (LCG) X 0, X 1,..., X,... X +1 = ax + c mod N (1) zur Erzeugung von Pseudozufallszahlen mäÿger Qualtät. De
mit der Anfangsbedingung y(a) = y0
Numersce Lösung von Dfferentalglecungen De n den naturwssenscaftlc-tecnscen Anwendungen auftretenden Dfferentalglecungen snd n den wengsten Fällen eplzt lösbar. Man st desalb auf Näerungsverfaren angewesen.
Polygonalisierung einer Kugel. Verfahren für die Polygonalisierung einer Kugel. Eldar Sultanow, Universität Potsdam, sultanow@gmail.com.
Verfahren für de Polygonalserung ener Kugel Eldar Sultanow, Unverstät Potsdam, sultanow@gmal.com Abstract Ene Kugel kann durch mathematsche Funktonen beschreben werden. Man sprcht n desem Falle von ener
Fachbereich Mathematik Prof. K. Grosse-Brauckmann D. Frisch WS 2007/08 10./ Gruppenübung
Fachberech Mathematk Prof. K. Grosse-Brauckmann D. Frsch WS 27/8./.. 6. Übungsblatt zur Lnearen Algebra für Physker Gruppenübung Aufgabe G7 (Kern, Bld, Rang und Orthogonaltät) Gegeben se ene lneare Abbldung
Abbildung 3.1: Besetzungszahlen eines Fermigases im Grundzustand (a)) und für eine angeregte Konfiguration (b)).
44 n n F F a) b) Abbldung 3.: Besetzungszahlen enes Fermgases m Grundzustand (a)) und für ene angeregte Konfguraton (b)). 3.3 Ferm Drac Statstk In desem Abschntt wollen wr de thermodynamschen Egenschaften
3.2 Die Kennzeichnung von Partikeln 3.2.1 Partikelmerkmale
3. De Kennzechnung von Patkeln 3..1 Patkelmekmale De Kennzechnung von Patkeln efolgt duch bestmmte, an dem Patkel mess bae und deses endeutg beschebende physka lsche Gößen (z.b. Masse, Volumen, chaaktestsche
Weitere NP-vollständige Probleme
Wetere NP-vollständge Probleme Prosemnar Theoretsche Informatk Marten Tlgner December 10, 2014 Wr haben letzte Woche gesehen, dass 3SAT NP-vollständg st. Heute werden wr für enge wetere Probleme n NP zegen,
Versuch: Aktivitätskoeffizient
Versuch: Aktvtätskoeffzent Von den thermodynamschen Potentalen für Mehrkomponenten st de free Enthalpe G = G ( T, p, n ) n der Pras besonders wchtg ( T $= thermodynamsche Temperatur, p $= Druck, n $= de
6. Übung zur Linearen Algebra II
Unverstät Würzburg Mathematsches Insttut Prof. Dr. Peter Müller Dr. Peter Fleschmann SS 2006 30.05.2006 6. Übung zur Lnearen Algebra II Abgabe: Bs Mttwoch, 14.06.2006, 11:00 Uhr n de Brefkästen vor der
MOD-01 LAGRANGE FORMALISMUS -- TEIL 1
MOD- LAGRAGE FORMALISMUS -- EIL. Zustandsfunktonen Defnton -: Zustandsfunkton Ene Zustandsfunkton W( () t, t) = W(, t) bzw. W ( ) st jede belebge skalare Funkton der Zustandsgrößen () t und der Zet t,
Physik A VL11 ( )
Physk A VL11 (0.11.01) Dynamk der Rotatonsbewegung I Kresbewegung und Kräfte Drehmoment und räghetsmoment Kresbewegung und Kräfte en Massepunkt (Schwerpunkt) führt nur ene ranslatonsbewegung aus ausgedehnte
Klasse : Name1 : Name 2 : Datum : Nachweis des Hookeschen Gesetzes und Bestimmung der Federkonstanten
Versuch r. 1: achwes des Hook schen Gesetzes und Bestmmung der Federkonstanten achwes des Hookeschen Gesetzes und Bestmmung der Federkonstanten Klasse : ame1 : ame 2 : Versuchszel: In der Technk erfüllen
d da B A Die gesamte Erscheinung der magnetischen Feldlinien bezeichnet man als magnetischen Fluss. = 1 V s = 1 Wb
S N De amte Erschenng der magnetschen Feldlnen bezechnet man als magnetschen Flss. = V s = Wb Kraftflssdchte oder magnetsche ndkton B. B d da B = Wb/m = T Für homogene Magnetfelder, we se m nneren von
z.b. Münzwurf: Kopf = 1 Zahl = 2 oder z.b. 2 Würfel: Merkmal = Summe der Augenzahlen, also hier: Bilde die Summe der Augenzahlen der beiden Würfel!
Aufgabe : Vorbemerkung: Ene Zufallsvarable st ene endeutge Funkton bzw. ene Abbldungsvorschrft, de angbt, auf welche Art aus enem Elementareregns ene reelle Zahl gewonnen wrd. x 4 (, ) z.b. Münzwurf: Kopf
1 Definition und Grundbegriffe
1 Defnton und Grundbegrffe Defnton: Ene Glechung n der ene unbekannte Funkton y y und deren Abletungen bs zur n-ten Ordnung auftreten heßt gewöhnlche Dfferentalglechung n-ter Ordnung Möglche Formen snd:
Temperaturabhängigkeit der Beweglichkeit
Temperaturabhänggket der Beweglchket De Beweglchket nmmt mt zunehmender Temperatur ab! Streuung mt dem Gtter! Feldabhänggket der Beweglchket Für sehr hohe Feldstärken nmmt de Beweglchket n GaAs ab! Feldabhänggket
Spiele und Codes. Rafael Mechtel
Spele und Codes Rafael Mechtel Koderungstheore Worum es geht Über enen Kanal werden Informatonen Übertragen. De Informatonen werden dabe n Worte über enem Alphabet Q übertragen, d.h. als Tupel w = (w,,
Determinanten - I. den i-ten Zeilenvektor der n n-matrix A bezeichnet.
Determnanten - I Ene Determnante st ene Abbldung, welche ener quadratschen (!) Matrx ene Zahl zuordnet. Wr verwenden n desem Zusammenhang de Schrebwese A = a 2, wobe den -ten Zelenvektor der n n-matrx
1 Differentialrechnung in mehreren Variablen
1 Dfferentalrechnung n mehreren Varablen 1.1 De Geometre eukldscher Räume Zur Ernnerung De Elemente des R n schreben wr normalerwese als Zelenvektoren: x = (x 1,..., x n ). Kommen Matrzen ns Spel, so st
Seminar Analysis und Geometrie Professor Dr. Martin Schmidt - Markus Knopf - Jörg Zentgraf. - Fixpunktsatz von Schauder -
Unverstät Mannhem Fakultät für Mathematk und Informatk Lehrstuhl für Mathematk III Semnar Analyss und Geometre Professor Dr. Martn Schmdt - Markus Knopf - Jörg Zentgraf - Fxpunktsatz von Schauder - Ncole
Modellbildung Mechatronischer Systeme (MMS)
Modellbldung Mechatronscher Systeme (MMS) rof. Dr.-Ing. habl. Jörg Grabow Fachgebet Mechatronk www.fh-jena.de Vorlesungsnhalt 1. Enführung und Grundbegrffe 2. Mechatronsche Bauelemente 3. hyskalsche elsysteme
12 UMPU Tests ( UMP unbiased )
89 1 UMPU Tests ( UMP unbased ) Nach Bemerkung 11.8(b) exstert m Allgemenen ken zwesetger UMP- Test zu enem Nveau α. Deshalb Enschränkung auf unverfälschte Tests: ϕ Φ α heßt unverfälscht (unbased) zum
6. Modelle mit binären abhängigen Variablen
6. Modelle mt bnären abhänggen Varablen 6.1 Lneare Wahrschenlchketsmodelle Qualtatve Varablen: Bnäre Varablen: Dese Varablen haben genau zwe möglche Kategoren und nehmen deshalb genau zwe Werte an, nämlch
10 Einführung in die Statistische Physik
10 Enführung n de Statstsche Physk More s dfferent! P.W. Anderson, Nobelpres 1977 10.1 Prolegomena Technsch gesehen st de Rolle der Statstschen Mechank der Glechgewchtssysteme, ausgehend von unseren Kenntnsse
Hydrosystemanalyse: Finite-Elemente-Methode (FEM)
Hydrosystemanalyse: Prof. Dr.-Ing. habl. Olaf Koldtz 1 Helmholtz Centre for Envronmental Research UFZ, Lepzg 2 Technsche Unverstät Dresden TUD, Dresden Dresden, 03. Jul 2015 1/31 Prof. Dr.-Ing. habl. Olaf
Einführung in die Finanzmathematik
1 Themen Enführung n de Fnanzmathematk 1. Znsen- und Znsesznsrechnung 2. Rentenrechnung 3. Schuldentlgung 2 Defntonen Kaptal Betrag n ener bestmmten Währungsenhet, der zu enem gegebenen Zetpunkt fällg
Zufallsvariable, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Erwartungswert
R. Brnkmann http://brnkmann-du.de Sete..8 Zufallsvarable, Wahrschenlchketsvertelungen und Erwartungswert Enführungsbespel: Zwe Würfel (en blauer und en grüner) werden 4 mal zusammen geworfen. De Häufgketen
Beim Wiegen von 50 Reispaketen ergaben sich folgende Gewichte X(in Gramm):
Aufgabe 1 (4 + 2 + 3 Punkte) Bem Wegen von 0 Respaketen ergaben sch folgende Gewchte X(n Gramm): 1 2 3 4 K = (x u, x o ] (98,99] (99, 1000] (1000,100] (100,1020] n 1 20 10 a) Erstellen Se das Hstogramm.
Eine kurze Einführung in die Dichtefunktionaltheorie (DFT)
Ene kurze Enführung n de Dchtefunktonaltheore (DFT) Mchael Martns Lteratur: W. Koch, M.C. Holthausen A Chemst s Gude to Densty Functonal Theory Wley-VCH 2001 Dchtefunktonaltheore p.1 Enletung Im Falle
Standardnormalverteilung / z-transformation
Standardnormalvertelung / -Transformaton Unter den unendlch velen Normalvertelungen gbt es ene Normalvertelung, de sch dadurch ausgeechnet st, dass se enen Erwartungswert von µ 0 und ene Streuung von σ
Physikalische Chemie II (PCII) Thermodynamik/Elektrochemie Vorlesung und Übung (LSF# & LSF#101277) - SWS: SoSe 2013
Physkalsche Cheme II (PCII) Thermodynamk/Elektrocheme Vorlesung und Übung (LSF#105129 & LSF#101277) - SWS: 4 + 2 SoSe 2013 Prof. Dr. Petra Tegeder Ruprecht-Karls-Unverstät Hedelberg; Fachberech Cheme,
Universität Karlsruhe (TH)
Unverstät Karlsruhe (TH) Forschungsunverstät gegründet 825 Parallele Algorthmen I Augaben und Lösungen Pro. Dr. Walter F. Tchy Dr. Vctor Pankratus Davd Meder Augabe () Gegeben se en N-elementger Zahlenvektor
Aufgabe 8 (Gewinnmaximierung bei vollständiger Konkurrenz):
LÖSUNG AUFGABE 8 ZUR INDUSTRIEÖKONOMIK SEITE 1 VON 6 Aufgabe 8 (Gewnnmaxmerung be vollständger Konkurrenz): Betrachtet wrd en Unternehmen, das ausschleßlch das Gut x produzert. De m Unternehmen verwendete
Flußnetzwerke - Strukturbildung in der natürlichen Umwelt -
Flußnetzwerke - Strukturbldung n der natürlchen Umwelt - Volkhard Nordmeer, Claus Zeger und Hans Joachm Schlchtng Unverstät - Gesamthochschule Essen Das wohl bekannteste und größte exsterende natürlche
Dynamik starrer Körper
Dynamk starrer Körper Bewegungen starrer Körper können n Translaton und Rotaton zerlegt werden. De Rotaton stellt enen nneren Frehetsgrad des Körpers dar, der be Punktmassen ncht exstert. Der Schwerpunkt
Thermodynamik der Verbrennung
hermodynamk der Verbrennung Chemsche Reakton 1.0 Verbrennung Exotherme Reakton Endotherme Reakton Reversble Reakton: A+B C+D Z.B. Säure Base Glechgewchte Irreversble Reakton A+B C+D Z.B. Verbrennungsreaktonen
Lineare Regression. Stefan Keppeler. 16. Januar Mathematik I für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen
Mathematk I für Bologen, Geowssenschaftler und Geoökologen 16. Januar 2012 Problemstellung Bespel Maß für Abwechung Trck Mnmum? Exponentalfunktonen Potenzfunktonen Bespel Problemstellung: Gegeben seen
Streuungs-, Schiefe und Wölbungsmaße
aptel IV Streuungs-, Schefe und Wölbungsmaße B... Lagemaße von äufgketsvertelungen geben allen weng Auskunft über ene äufgketsvertelung. Se beschreben zwar en Zentrum deser Vertelung, geben aber kenen