Temperaturabhängigkeit der Beweglichkeit

Transkript

1 Temperaturabhänggket der Beweglchket De Beweglchket nmmt mt zunehmender Temperatur ab! Streuung mt dem Gtter! Feldabhänggket der Beweglchket Für sehr hohe Feldstärken nmmt de Beweglchket n GaAs ab!

2 Feldabhänggket der Beweglchket Für sehr hohe Feldstärken nmmt de Beweglchket n GaAs ab! Elektronen gehen n de L- und X- Täler Es blden sch Bereche mt langsamen Elektronen, gewssermassen en Elektronenstau. Führt zum sogenannten Gunn-Effekt! Ausnutzung n der Gunn-Dode. Welche Zustände snd denn egentlch besetzt?

3 Welche Zustände snd denn egentlch besetzt? -m Prnzp sollte das Ganze ähnlch we bem Atom erfolgen - Besetzung von unten nach oben -...we vele Elektronen kann man n en Band hnensetzen?... Zustandsdchte für Elektronen Gesucht st de Dchte der Zustände n enem Krstall Gedankenexperment: Wr betrachten enen Würfel der Kantenlänge L x =L Y =L Z =L und fordern als Randbedngung für de Elektronenwellen Ψ, dass dese sch perodsch fortsetzen L x Für de Wellenfunkton muss gelten: De Blochwelle kann geschreben werden als: Ψ ( ) kr nk r = e u ( r) nk 3

4 Zustandsdchte für Elektronen L x Ψ ( r) = e kr u ( r) De Funkton u(r) st soweso perodsch auf ener Elementarzelle, also müssen wr nur k so wählen, dass exp(kr) perodsch mt der Perode L x st: nk nk Damt ergeben sch de erlaubten Wellenvektoren: Zustandsdchte für Elektronen Aufgrund der perodschen Randbedngung snd nur dskrete Energezustände erlaubt. De Wahl von L beenflusst das Ergebns ncht, da wr später durch das Volumen telen. 4

5 Zustandsdchte für Elektronen... bzw. n D d.h. pro k-zustand en Volumen von π L 3 Idee: Zähle zunächst de Zustände m k-raum Zustandsdchte m k-raum De Anzahl der Zustände N(k) k n ener Schale der Dcke k m k-raum st ( Volumen der Schale getelt durch Volumen enes Zustandes, wegen Spn): 5

6 Zustandsdchte r e (W) Transformaton von der k-abhänggket zur Energeabhänggket: ħ k ħ k ħ k Aus E = W = folgt dw = dk bzw. W= k m m m Für de Anzahl der Zustände n enem Energentervall W um W ergbt sch dann: Damt st de auf das Volumen V normerte Zustandsdchte ρ e (W): Parabelnäherung Drekter Halbleter z.b. GaAs Indrekter Halbleter z.b. S, Ge We seht das dann konkret m Fall von parabolschen Bändern aus? Her st der Bezugspunkt für de Energe das Mnmum des Letungsbandes W L bzw. das Maxmum des Valenzbandes W V. 6

7 Zustandsdchte n der Parabelnäherung In der Parabelnäherung verhalten sch Elektronen m LB quasfre mt der effektven Masse m n. Ihre Zustandsdchte st gegeben durch: In der Parabelnäherung verhalten sch Löcher m VB quasfre mt der effektven Masse m p. Ihre Zustandsdchte st gegeben durch: Äquvalente Zustandsdchten De Vorfaktoren werden oft n den effektven Zustandsdchten N L und N V zusammengefasst: De energeabhängge Zustandsdchte ergbt sch dann gemäß 7

8 Zusammenfassung Parabolsche Bänder Dspersonsrelaton Zustandsdchte Zustandsdchte : Badewannen-Analoge We vel Wasser st n ener Badewanne, de bs zur Höhe von 30 cm über dem Boden gefüllt st? We vele Lter passen n de nächsten 0 cm? De Antwort hängt von der Form der Badewanne ab! Integreren ergbt Gesamtwassermenge. Höhe Lter Wasser pro cm Höhe 8

9 Zustandsdchte n Krstallen De Wassermenge n ener bs zu ener bestmmten Höhe gefüllten Badewanne hängt von der Form der Badewanne ab. Genauso hängt de Anzahl der Ladungsträger n enem bs zu ener bestmmten Energe gefüllten Band von der Form der Bandstruktur ab. De Anzahl der erlaubten Zustände pro Volumenenhet und pro Energentervall st durch de Zustandsdchte ρ(w) gegeben. Höhe W Lter Wasser pro cm Höhe ρ(w) Besetzung der Bänder Be T = 0 K snd alle Zustände m Valenzband (VB) mt Elektronen besetzt und alle Zustände m Letungsband (LB) snd unbesetzt. Letfähgket σ = 0, da es kene beweglchen Ladungsträger gbt. Be stegender Temperatur T beobachtet man, dass mehr und mehr Zustände m Letungsband besetzt snd und mehr und mehr Zustände m Valenzband fre snd. Da es mehr beweglche Träger gbt, stegt de Letfähgket zunächst mt der Temperatur. We können wr de Besetzung der Zustände berechnen??? T = 0 K T = 50 K T = 300 K LB LB LB VB VB VB 9

10 We kommen Elektronen ns LB? Elektronen können vom Valenzband (VB) ns Letungsband (LB) übergehen, wenn hnen mndestens de Energe W G zugeführt wrd. Quantenmechansch gesehen geht das Elektron durch Energezufur von enem Zustand m Valenzband n enen Zustand m Letungsband über. De Energe kann auf verschedene Arten zugeführt werden: Thermsche Energe (Stoß mt dem wackelnden Atomgtter) Elektromagnetsche Strahlung Elektrsche Felder W LB W G VB x Quantenstatstk Warum befnden sch be höheren Temperaturen egentlch Elektronen n höheren Nveaus? Aus der Thermodynamk: De Besetzung der Zustände erfolgt so, dass de free Energe mnmert wrd: F=U-TS=Mn! Innere Energe U = ne 0

11 Quantenstatstk Für de Entrope glt: S = klnp F=U-TS=Mn! Herbe st P de Anzahl der Realserungsmöglchketen. Nehmen wr an, wr hätten 6 Elektronen auf zwe Energenveaus und zu vertelen: Wenn alle Elektronen m Zustand snd, gbt es nur ene enzge Realserungsmöglchket. S=0 Das st der Zustand für T=0. Quantenstatstk Der Zustand (5 e s n, und e n ) lässt sch mehrfach realseren. D.h. sene Entrope S=k lnp st endlch. F=U-TS=Mn! Je höher de Temperatur st, desto stärker sorgt de damt verbundene Entropeerhöhung für ene Besetzung der höheren Zustände. Obwohl de nnere Energe größer wrd, wrd u. U. de free Energe klener!

12 Quantenstatstk Formalerer Weg: Mnmerung der freen Energe (be festgehaltener Telchenzahl): Zustand Energe E Anzahl der Zustände g F δf = δn = 0; wobe δn = 0 n D.h. de Besetzung muss sch so enstellen, dass für belebge und k glt: F F δnk + δn = 0 wobe δnk = δn n n k Daraus folgt: F n k F = n Quantenstatstk F=U-TS=Mn! We gross st de Entrope?.. + Zustand Energe E Anzahl der Zustände g.. Anzahl der Realserungsmöglchketen von n Elektronen m Zustand : Zunächst: g! g( g )( g )...( g n + ) = ( g n )! Es muss allerdngs noch berückschtgt werden, dass de Elektronen ununterschedbar snd. Damt ergbt sch als Anzahl der Realserungsmöglchketen für das Nveau : g! P = ( g n )! n!

13 Quantenstatstk Für das gesamte System ergbt sch dann als Anzahl der Realserungsmöglchketen P = P = g! ( g n )! n! Für de Entrope ergbt sch damt: [ ] S = klnp = k ln g! ln n! ln(( g n )! Für grosse n kann de Strlng sche Formel für n! engesetzt werden: ln n! nlnn n Damt folgt: F µ = = ne kt g g n n g n g n [ ln ln ( )ln( )] nk nk nk... = E kt k + ln g n k k Quantenstatstk und es ergbt sch: F µ = = ne kt g g n n g n g n [ ln ln ( )ln( )] nk nk nk... = E kt k + ln g n k k Für de Besetzung des Zustandes glt also m thermodynamschen Glechgewcht: n = g E µ + exp( ) kt De Wahrschenlchket, dass en fet (, ) = quantenmechanscher Zustand der E µ + exp( ) Energe E be gegebener Temperatur kt besetzt st, st damt Ferm-Drac-Vertelung 3

14 Ferm-Drac-Vertelung fet (, ) = E µ + exp( ) kt µ st das chemsche Potental Be der T=0K ergbt sch ene Stufenfunkton. µ wrd mestens als Fermenerge E F (W F ) bezechnet. Verglech Ferm- und Boltzmann-Vertelung Da be Halbletern de Fermenerge E F oft n der Bandlücke legt, kann oft de Boltzmann-Vertelung verwendet werden. 4

15 Anzahl der Ladungsträger Jetzt wssen wr, mt welcher Wahrschenlchket f(w) en Zustand m thermschen Glechgewcht mt enem Elektron besetzt st. Um de Anzahl der Ladungsträger zu berechnen müssen wr nur noch wssen, we vele Zustände es nsgesamt gbt. De Anzahl der erlaubten Zustände pro Volumenenhet und pro Energentervall nennt man de Zustandsdchte ρ(w). De Anzahl der Elektronen m Letungsband (bzw. de Anzahl der Löcher m Valenzband) mt ener Energe W st m thermschen Glechgewcht gegeben durch: W LB W F Durch Integreren über alle Energen W erhält man de Gesamtzahl der Ladungsträger n bzw. p. VB x Anzahl der Ladungsträger be Energe W Für de Anzahl der Ladungsträger glt damt: 5

16 Gesamtzahl der Ladungsträger De Gesamtdchte der beweglchen Ladungsträger m thermschen Glechgewcht erhält man durch Integraton über alle Energen De äquvalenten Zustandsdchten snd also Zustandsdchten, de man sch unmttelbar an den Bandkanten lokalsert vorstellen kann. Egenletungsträgerdchte Da m Halbleter Elektronen m LB und Löcher m VB paarwese entstehen glt: n nennt man de Egenletungsträgerdchte. Berechnung des Produktes ergbt: Wr sehen, dass de Ladungsträgeranzahl n m thermschen Glechgewcht vom Bandabstand W G, den effektven Massen der Bänder und der Temperatur abhängt. Für entartete Halbleter (Boltzmann-Näherung glt ncht) hängt se auch von der Fermenerge W F ab. 6

17 Temperaturabhänggket von n Für T = 93 K (Raumtemperatur) st W th = kt = 5 mev. W G ev = 40 W th. Source:[3] Ende