Übungen zur Vorlesung Physikalische Chemie 2 (B. Sc.) Lösungsvorschlag zu Blatt 6

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1 Übungen zur Vorlesung Physkalsche Chee B. Sc. ösungsvorschlag zu Blatt 6 Prof. Dr. Norbert Happ Jens Träger Wnterseester 7/8.. 7 Aufgabe De Wellenfunkton des haronschen Oszllators hat de For Ψ v N v H v y e y wobe wr, u ene überschtlchere Schrebwese zu erhalten, defneren k 4 y x k woraus folgt x y. 4 Weterhn st N v π v v! ω k. a De ttlere Auslenkung st dann x Ψ v ˆx Ψ v N v H v e y x Hv e y N v H v e y y Hv e y Nv H v y H v e y Nv v H v H v e y + H v H v+ e y Das esen deses ösungsblatts ersetzt ncht den regeläßgen Besuch der Übungsgruppen! Sete von 9

2 Dabe haben wr de Rekursonsbezehung verwendet. y H v v H v + H v+ b De Berechnung der ttlere quadratsche Auslenkung erfolgt analog zu Tel a, nur dass wr jetzt de Rekursonsforel zweal verwenden üssen. x Ψ v ˆx Ψ v N v H v e y x x Hv e y 3 N v H v e y y y Hv e y 3 Nv v H v y H v e y + H v y H v+ e y 3 Nv v v 3 N v v + H v H v e y + v H v H v e y + H v H v e y + H v H v+ e y 4 }{{} v + π v v! v + 3 π v v! π v v! v + v + k Das esen deses ösungsblatts ersetzt ncht den regeläßgen Besuch der Übungsgruppen! Sete von 9

3 Aufgabe a Für das Telchen endensonalen Kasten st t a n π x n π x n π x sn x sn x sn a x [ x 4 x sn a x 4 a ] cos a x 8 a 4 Deses Ergebns hätten Se auch ohne Rechnung durch ene Syetreüberlegung erhalten können. x [ x 3 x sn a x 6 x 4 a 8 a 3 3 n π 3 sn a x 3 n π ] x cos a x 3 4 a n π Dat st x 3 3 n π 4 n π De Erwartungswerte p p hatten wr schon auf Blatt berechnet. Der Vollständgket wegen her deses Ergebns nochals. p h Ψ ˆp Ψ sn π x cos sn π x π x d π x sn Mt ˆp d. Das esen deses ösungsblatts ersetzt ncht den regeläßgen Besuch der Übungsgruppen! Sete 3 von 9

4 Deses Ergebns hätten Se auch ohne Rechnung durch ene Syetreüberlegung erhalten können. p Ψ ˆp Ψ n π [ n π n π n h 4 n π x sn x 4 π sn n π x d n π x sn sn ] n π x Mt Dat st ˆp d. p n h 4 n h p x n h π n n h 3 4 π n > b Für den haronschen Oszllator st x x v + k Dat st x { v + } k { v + } ω Nun üssen wr noch de Erwartungswerte von p p berechnen. Zur Bearbetung deser sollten Se de Rekursonsbezehung y H v v H v + H v+ Das esen deses ösungsblatts ersetzt ncht den regeläßgen Besuch der Übungsgruppen! Sete 4 von 9

5 sowe de beden folgenden wchtgen Bezehungen über Abletungen der Hert schen- Polynoe kennen. H v y H v v H v H v v H v p N v N v N v Ψ v ˆp Ψ v N v H v e y H v e y H v e y Nv H v e y N v v H v e y d H v e y d H v e y H v e y y Hv e y v H v e y v H v + H v+ e y v H v e y v Hv e y H v+ e y H v H v e y v H v H v e y H v H v+ e y Das esen deses ösungsblatts ersetzt ncht den regeläßgen Besuch der Übungsgruppen! Sete 5 von 9

6 p N v N v N v N v N v Ψ v ˆp Ψ v N v v + H v e y H v e y v H v e y d H v e y d H v e y sehe. Nebenrechnung Hv v + y e y H v H v e y + v π v v! + v + π v v! π v v! π v v! v + k v + v + v + ω y H v H v e y π v v! v + k sehe./3. Nebenrechnung. Nebenrechnung d H v e y d H v e y y Hv e y H H v e y v e y y H v e y y H y e y + y H v e y Hv e y y H v e y + y H v e y Hv e y H v y H v + y H v H v e y v H v + y H v H v e y H v v + y e y. Nebenrechnung y H v y H v+ + v H v H v+ + v + H v 4 H v+ + v v H v + + v H v + v H v v + H v Das esen deses ösungsblatts ersetzt ncht den regeläßgen Besuch der Übungsgruppen! Sete 6 von 9

7 3. Nebenrechnung y H v H v e y 4 H v+ H v + v v H v H v + v + H v H v }{{} π v v! Dat st p v + ω p x v + ω v + ω v + > Das esen deses ösungsblatts ersetzt ncht den regeläßgen Besuch der Übungsgruppen! Sete 7 von 9

8 Aufgabe 3 a De Schwngungsfrequenz enes zweatogen Moleküls t den beden Atoassen st genauso groß we de enes Oszllators t der reduzerten Masse µ. Dabe glt µ +. Se üssen also für Ihre Rechnungen de reduzerte Masse verwenden. b Es glt ω k µ ν λ. Dat st ω π ν π c λ π c ν schleßlch erhalten wr durch ensetzen k ω µ 4π c ν µ 4π c ν +. Dat können wr de Kraftkonstanten der Moleküle brechnen. H 35 Cl H 8 Br H 7 I C 6 O 4 N 6 O ν/c / 7 kg,6735,6735,6735 9,96 3,53 / 7 kg 58,66 34,36,7 6,56 6,56 k/n Aufgabe 4 a De Schrödnger-Glechung für en endensonales Syste lautet allgeen d Ψ + V x Ψ E Ψ I Fall des endensonalen haronschen Oszllator verwenden wr en parabolsches Potental der For V k x, so dass de Schrödnger-Glechung dann für desen Fall lautet. d Ψ + k x Ψ E Ψ Das esen deses ösungsblatts ersetzt ncht den regeläßgen Besuch der Übungsgruppen! Sete 8 von 9

9 b Wr verwenden den Ansatz Ψ e c x. Also st folglch dψ d Ψ x c x e c. x c e c + 4 c x e c x c Ψ + 4 c x Ψ. Durch ensetzen der. Abletung n de Schrödnger-Glechung für den haronsche Oszllator erhalten wrd bzw. c Ψ c x Ψ + k x Ψ E Ψ c Ψ c x Ψ + k x Ψ E Ψ. Nun üssen wr ene ösung deser Dfferentalglechung fnden. Durch ausklaern von Ψ x Ψ können wr de ösung besser erkennen. Es st dann c E Ψ + k c x Ψ. Dese Glechung st erfüllt, wenn glt E c c k c Aus der n Tel b erhaltenen Glechung c k folgt c 4 k c k k 4 d De Gesatenerge Grzustand st nach de Ergebns von Tel b E c. Ensetzen von c lefert E c k k k ω für ω. Das esen deses ösungsblatts ersetzt ncht den regeläßgen Besuch der Übungsgruppen! Sete 9 von 9