Tangentenvektoren und Tangentialraum

Transkript

1 angentenvektoren und angentalrau (kontravarante Vektoren oder enach Vektoren) Gegeben ene - densonale Manngaltgket M, denert an an ede Punkt den angentalrau M als den densonalen Vektorrau aller öglchen Geschwndgketen n (entlang der Manngaltgket). v v Ausschleßlch dese Größen werden n der Derentalgeoetre als Vektoren bezechnet. Dargestellt werden se als Spaltenvektoren. Bespele: p q p p z q q Vektor au Q Vektor au SE3 q Vektor au SO3 n z n Gelenkgeschwndgket n R Kartessche Geschwndgket n SE3 Regelungstechnsche Methoden n der Robotk

2 Regelungstechnsche Methoden n der Robotk Kotangentenvektoren und Kotangentalrau Der Kotangentalrau n ene Punkt der Manngaltgket M st der lneare Vektorrau aller lnearen Funktonale * M : M R De Eleente des Kotangentalraues werden Kotangentenvektoren (Kovektoren) genannt. (Kovektoren, Kovektorrau) Für ene -densonale Manngaltgket hat der Kovektorrau auch Denson. Bespele: z z n Kartessche verallgeenerte Krat Drehoent Gelenkrau P q q ) ( P ( ) Lestung

3 ransoraton von Vektoren und Kovektoren Waru st de Unterschedung Vektor Kovektor überhaupt wchtg? Vektoren und Kovektoren transoreren unterschedlch be Abbldungen zwschen Koordnatenssteen oder zwschen Manngaltgketen Bespel: De Vorwärtskneatk =(q) st ene lokale Abbldung zwschen Q und SE3 Bekanntlch transoreren de Geschwndgketen we olgt: d ( q) ( q) q J ( q) q dt q Da de Lestung P ncht verändert wrd, glt Pq : P P P q J ( q) q q => J ( q) Beerkung: Das Produkt zwschen Vektor und Kovektor st sot wohl denert, d.h. wrd be Wechsel von Koordnaten erhalten Pq Jacobatr Regelungstechnsche Methoden n der Robotk P

4 ransoraton von Vektoren und Kovektoren Waru st de Unterschedung Vektor Kovektor überhaupt wchtg? I Allgeenen, alls ene Abbldung zwschen Manngaltgketen n und N st, t M Koordnaten von Koordnaten von M n N () transoreren Vektoren kontravarant: J ) ( und Kovektoren kovarant: J ( ) Regelungstechnsche Methoden n der Robotk

5 Strecke: M ( q) q c( q, q ) g( q) ensoren Was snd de restlchen Größen n der Roboterdnak? We transoreren se? Regler: g( q ) K( q q) D( q q ) d d d En ensor vo p (p,q) st ene ultlneare Abbldung * A : R M M M M p al kovarant p q * q al kontravarant Bespele:. En Kovektor st en ensor vo p (,0), also enal kovarant A, v M ( v) v v R (=P ür, v q ). En Vektor st en ensor vo p (0,), also enal kontravarant * A v, M v( ) v v R (=P ür, v q ) Regelungstechnsche Methoden n der Robotk

6 ensoren Was snd de restlchen Größen n der Roboterdnak? We transoreren se? Bespel: 3. M, K, D snd ensoren vo p (,0), also zweal kovarant A a v, v M A( v, v) v Av av v, R -Für -Für -Für A M ( q ), v, v q Massenatr A( v, v) q M ( q) q ( q, q ) R A D, v, v q Däpungsatr A( v, v) q Dq ED R A K, v, v q A( v, v) q Kq E Stegketsatr p R knetsche Energe vo vskosen Däper n Wäre ugesetzte Energe potentelle Energe der (-densonalen) Feder Beerkung: q st nur annähernd (ür sehr klene Inkreente ) en Vektor angentalrau. Genauere Denton von Ep olgt zu ene späteren Zetpunkt. Regelungstechnsche Methoden n der Robotk

7 ensoren Beerkung: durch Anwendung enes kovaranten ensors au enen Vektor ergbt sch en kovaranter ensor dessen Ordnung u reduzert st. z.b.: D Dq (,0) (,0) (0,) E Dq D (0,0) (,0) (0,) Beerkung: sot st ene skalare Funkton en ensor nullter Ordnung 4. ensoren vo p (,) lneares dnasches Sste: A aelerklärung: weso st en Vektor? (0,) (,) (0,) De Ssteatr st n dese Fall en ensor vo p (,) enal kovarant, enal kontravarant Regelungstechnsche Methoden n der Robotk

8 ensoren Was snd de restlchen Größen n der Roboterdnak? We transoreren se? Bespel: 5. M, K snd ensoren vo p (0,), also zweal kontravarant A a *, M A(, ) A a, R -Für A M ( q),, p ( p M ( q) q ) :Ipuls Mobltätsatr A(, ) p M ( q) p ( q, p) R knetsche Energe -Für A K,, A(, ) e e K e Elastsches Moent potentelle Energe der (-densonalen) Feder E p R Nachgebgketsatr Regelungstechnsche Methoden n der Robotk

9 Bespel: 6. Corols und Zentrugalkräte: ensor vo p (,0) (d.h. Kovektor) c k ( q, q ), c k q q Zusatzole: ensoren ensor vo p (3,0) c k q k q k q k -Eleente der Massenatr Regelungstechnsche Methoden n der Robotk

10 Koordnatentransoraton ür ensoren Wozu snd Unterschedungen zwschen den ensortpen gut? I Allgeenen, gegeben ene Abbldung zwschen Manngaltgketen n und N, t Koordnaten von M n () Koordnaten von N Grunddee: de skalare Größe aus der ensordenton blebt n allen Koordnaten erhalten. (z.b. Energe, Lestung des Roboters) M. ensoren vo p (,0). ensoren vo p (,) E A v J ( ) A J ( ) v E A v ( ) AJ E v A v v J ( ) v E v A v => => A A J J ( ) A J ( ) ( ) A J ( ) Ähnlchketstransoraton Kongruenz-ransoraton Regelungstechnsche Methoden n der Robotk

11 Skalarprodukt und Metrk von Vektoren n Eukldsche Rau u, v u v u v u u, u Verallgeenerung au Manngaltgketen, u, v u Mv u M v u u, u Dabe st M en (postv denter -p.d.) ensor (auch Metrk genannt) vo p (,0) und uss be ene Wechsel von Koordnaten entsprechend transorert werden! Bespel: Für Geschwndgketsvektoren st z.b. M M ( )(Massenatr) und q de knetsche Energe enes Manpulators. M (Dat wrd auch das Proble des Maßenheten gelöst) Beerkung: Man ernnere sch, dass en Vektor ncht au enen anderen Vektors wrken kann, sondern nur au enen kovaranten ensor q q Regelungstechnsche Methoden n der Robotk

12 Rezproke wsts und Wrenches Orthogonaltät zwschen Vektoren u v st sot derentalgeoetrsch ncht wohl denert, wohl aber de rezproke Bezehung enes Vektors v zu ene Kovektor w: En Vektors v und en Kovektor werden als rezprok bezechnet, wenn: v ( ( v) v( ) v ) 0 u v 0, v Bespel: Für : en Wrench und en wst snd rezprok, wenn de ugesetzte Lestung 0 st. Hbrde Krat/Postonsregelung: Es werden lnear unabhängge wsts geregelt, sowe (6-) Wrenches, de rezprok zu den wsts snd. Regelungstechnsche Methoden n der Robotk