Beispiel: Die Zahl als Summe der Ziffern, die einen Koeffizient zur Potenz 10 darstellen:

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1 - Zahlendarstellung n Rechnern Wr wssen berets aus der Dgtaltechnk we Ganzzahlen bnär dargestellt (codert) werden und können de Grundrechenoperatonen ausführen. I nachfolgenden Kaptel wrd auf deser Matere aufgebaut. Der Schwerpunkt der Betrachtung legt darn, we Zahlen Coputer codert und verarbetet werden. I Spezellen wrd de Darstellung ratonaler Zahlen n Rechnern betrachtet. Dese Typen verlangen ene gänzlch andere Vorgehenswese als be Ganzzahlen.. Darstellung von Zahlen n verschedenen Zahlenbasen Deses Kaptel wrd, da berets n der Dgtaltechnk als Repetton verttelt. Es zegt de grundsätzlche Darstellung von Zahlen n verschedenen Zahlenbasen und geht auf de Urechnung der Darstellung n verschedenen Basen en... Zahlendarstellung zur Bass 0 (Dezalsyste) Das Dezalsyste verkörpert das Syste t de der Mensch noralerwese rechnet. Zahlen werden Dezalsyste t den Zffern 0..9 und den Stellenwertgketen zu ener Potenz der Bass 0 gebldet. Bespel: De Zahl 376 als Sue der Zffern, de enen Koeffzent zur Potenz 0 darstellen: = = Generell können wr also ene belebge Zahl, gegeben durch hre Zffern, Dezalsyste als Sue hrer Potenzen zur Bass 0 beschreben: n n- 0 aa n n- aa 0 = an0 + an a0 + a0 0 =Â a 0 n = 0 (.) Der obge Zusaenhang zegt we (postve) ganze Zahlen als Sue beschreben werden. Genau glech werden auch Dezalbrüche beschreben, nde de Stellen t hrer Wertgket suert werden: Bespel: De Zahl 0.3 als Sue Potenzen zur Bass 0 darstellen: 0. 3 = Oder allgeen kann en Dezalbruch n der For geschreben werden: 0.bb = b0 - + b = Âb 0 - = (.) Zu beachten st, dass wr für rratonale und selbst für de esten ratonalen Zahlen kene exakte Darstellung t ener endlchen Anzahl Nachkoastellen errechen können. Allgeen können also Dezalzahlen als Sue hrer Vor- und Nachkoastellen notert werden: n n n- 0 Â Â = 0 = aa aa. bb = a0 + b0 - Zahlendarstellung als Sue von Potenzen (.3) Ausgabe: 996/9(I), G. Krucker

2 -.. Ganze Zahlen n belebgen Zahlenbasen Be Ugang t Rechnern snd Zahlenbasen von,, oder 6 üblch. Intern werden aber Rechner de Zahlen er als bnäre Muster dargestellt. De Bnärdarstellung st n Dgtalrechnern üblch und erlaubt n den Baustenen ene effzente Verarbetung der Zahlen. De Basen oder 6 werden vorwegend zur Engabe oder Anzege verwendet, da Zahlen n desen Basen wesentlch überschtlcher snd als Bnärzahlen. Zu Anfangszeten der Coputertechnk wurde auch ene andere Coderung für Zahlen benutzt (3er- Syste), de zwar ene bessere Packungsdchte eröglcht, aber von der Elektronk her gesehen, n kene Verhältns zu Ertrag steht. Erst ganz neue Ansätze grefen n der Technologe der Specherbaustene weder auf solche Prnzpen zurück. Ob sch des aber durchsetzen wrd, kann zu jetzgen Zetpunkt ncht beantwortet werden. De Wandlung (Coderung n ener anderen Zahlenbass) beruht auf der Grundlage, dass jede Ganzzahl Z n ener belebgen ganzzahlgen Bass > notert werden kann: n-  n: Anzahl Stellen Z = b B B: Bass ( Œ N > ) = 0 b : Wertgket der Stelle Darstellung ganzer Zahlen zur Bass B (.) Wr können also ene Zahl Z=0 3 (de Zahl 0, dargestellt zu Bass 3) so nterpreteren: = 3 0 De Wandlung von ener Bass zur anderen wrd zweckässgerwese nach bekannter Methode der Kettendvson durchgeführt: Bsp.: 3 0 zur Bass 3 wandeln 3 : 3 = 0 + Rest 0 : 3 = 3 + Rest 3 : 3 = + Rest 0 : 3 = 0 + Rest Allgeen kann an das Verfahren für belebge Zahlenbasen darstellen, wobe 'dv' de ganzzahlge Dvson ohne Rest und 'od' de Modulo-Dvson st: c = Z od B Z : Zu wandelende Zahl n belebger Zahlenbass Z = Z dv B B: Neue Zahlenbass + c : Stelle der Zahl n der neuen Bass t der Wertgket B 0 Kettendvson (.5) Besonders beque können Zahlen gewandelt werden deren Basen Potenzen unterenander snd. Her kann auf de Kettendvson verzchtet werden. Durch dese Wortlänge der Specherzelle oder auch des Prozessorregsters st ene obere Grenze zur Darstellung ener Ganzzahl Rechner systebedngt gegeben. Grössere Ganzzahlen kann der Rechner ncht drekt verarbeten. Auf deser Grundlage erhalten folgende Wertebereche für postve Ganzzahlen t -, 6- oder 3-Bt Wortbrete: Ausgabe: 996/9(I), G. Krucker

3 -3 Wortbrete Werteberech Grösste darstellbare Zahl Bt 0..( - ) 55 6 Bt 6 0..( - ) Bt 3 0..( - ) In gewsse Ufang beten de Prozessoren noch en Flag, das en Überschreten des Bereches u ene bnäre Stelle be ener Rechenoperaton anzegt (sog. Carry-Flag), jedoch glt grundsätzlch, dass wr t n Bts nur n verschedene Werte darstellen können. Üblcherwese werden be grösseren Zahlen n bnärer Darstellung de Zffern gruppert geschreben. Je nachde ob an eher oktal oder hexadezal orentert arbetet, schrebt an Gruppen von 3 resp. bnären Zffern.... Darstellung von gebrochenen Zahlen n verschedenen Basen Nachkoatele können genau glech als Sue Ihrer Stellenwertgketen zu ener belebgen Bass notert werden: n: Anzahl Stellen n - Z = 0. b b bn = ÂbB B: Bass ( Œ N > ) = b : Wertgket der Stelle Bespel: Wr können de Zahl (0.C) 6 beschreben als: - - (. 0 C) 6 = C = = + = = De Darstellung von gebrochenen Zahlen st n Rechnern n deser For ncht üblch. Gletkoazahlen werden n ener spezellen Coderung t Mantsse, Exponent und Vorzechen abgespechert. De Wandlung von echt gebrochenen Zahlen n ene belebge Bass erfolgt analog der Wandlung von ganzen Zahlen, nur dass her ene Kettenultplkaton erfolgt: Bsp.: Darstellung der Zahl (0.C) 6 n Bnärsyste: Darstellung echt gebrochener Zahlen (.6) (0.C) 6 = = Vorkoa = = Vorkoa = = Vorkoa 0 = = Vorkoa 0 = = Vorkoa 0 = 0.5 = Vorkoa 0 = 0.5 = Vorkoa 0 = 0.5 = 0 + Vorkoa Kettenultplkaton (0.C) 6 = ( ) Aus de Bespel kann an ersehen, dass abbrechende gebrochene Zahlen oftals n ener anderen Bass ncht abbrechende Entwcklungen ergeben. Des st sogar der Regelfall, wenn Dezalbrüche n Bnärbrüche konvertert werden. Be beschränkter Stellenzahl können daher solche Konversonen Ausgabe: 996/9(I), G. Krucker

4 - können ncht verlustfre durchgeführt werden. Gebrochene Zahlen allgeen (t Vor- und -Stellen Nachkoatel) werden gewandelt, nde an den Vorkoatel und den Nachkoatel separat wandelt und nachher zusaensetzt: n n n- 0 Â Â = 0 = aa aa. bb b == ab+ bb Bespel: Wandlung dezal bnär - Darstellung belebger Gletkoazahlen (.7) = ( )... Wandlungen unter Zahlenbasen,,6 Besonders enfach gestalten sch Wandlungen bezüglch der Bass, wenn de ene Bass ene ganzzahlge Potenz der anderen st. Dann können drekt ene bestte Anzahl Stellen zusaengefasst werden und so gruppenwese übertragen werden: Bsp: (00 0 ) (..) 6? (00 0 ) 5 6 E 6 F 6 De enzelnen Konversonen werden nach der Tabelle vorgenoen: Hexadezal Oktal Bnär Hexadezal 9 A B C D E F Oktal Bnär Zahlen n oktaler Darstellung werden häufg be der Systeprograerung von DEC-Maschnen benutzt (PDP, VAX). Hexadezale Zahlen werden auf Systeebene n Geräten t INTEL- oder Motorola-Prozessoren oder auch n Workstatons verwendet...3 Darstellung negatver und postver ganzer Zahlen Standard st de Zweerkopleent-Darstellung für ganze Zahlen. Dabe wrd der gesate Werteberech halbert, nde jewels ene Hälfte zur Darstellung postver Zahlen und de andere Hälfte für de negatven Zahlen verwendet wrd. De Konstrukton der Zweerkopleentcoderung für ene Zahl t n-stellen: Z =- b + b n- n- n- Â = 0 Zweerkopleent Darstellung (.) Ausgabe: 996/9(I), G. Krucker

5 -5 Negatve Zahlen werden we folgt codert: - Z = Z+ Z: Enerkopleent von Z (alle b nverteren) +: Bnäre Addton ener (.9) Wr sehen, dass de höchste Stelle ener Zweerkopleent coderten Zahl das Vorzechen verkörpert. Ist de höchste Stelle ene 0 so st de Zahl postv, st se ene, so st de Zahl negatv. Bespel: -3 soll n Zweerkopleentnotaton als 6-Bt Wort Bnär und Hexadezal dargestellt werden: b Z = 3 = b Z = 00 g g b g b g b g 6 - Z = Z + = 00 + = 0 = FFFD. Darstellung von Gletkoazahlen Reelle Zahlen können aufgrund der beschränkten Stellenzahl n ene Rechner ncht drekt abgespechert werden. Man behlft sch reelle Werte zu 'ratonalseren', nde se auf ene bestte Stellenzahl gekürzt werden. Man sprcht her oft von nuersch-reellen Zahlen. Noralerwese werden postve ratonale Zahlen als Verbund von Ganzzahl- und Nachkoaantel, der durch enen Dezalpunkt getrennt st dargestellt. Ene andere For st de Exponentendarstellung. Se wrd durch ene Mantsse und Exponenten zur Bass 0 dargestellt: Ene spezelle Art der Exponentendarstellung st de noralserte Darstellung (noralzed scentfc for): = = = Der Begrff noralsert bezeht sch auf de Mantsse. Se st er <, aber 0.. Sot st se enzge noralserte Darstellung der Zahl 795: De Darstellungen oder snd ncht korrekt... Noralserte Darstellungen von Gletkoazahlen In der Inforatk wrd de noralserte wssenschaftlche Darstellung als noralserte Gletkoadarstellung genannt (noralzed floatng-pont representaton). I Dezalsyste kann jede reelle Zahl Z n der For Z =±0. d d d 0 3 n Noralserte Gletkoadarstellung (.0) dargestellt werden, wobe d 0 und n ganzzahlg st. De Zffern d, d,... snd de Dezalstellen Werteberech 0,..., 9. Ausgabe: 996/9(I), G. Krucker

6 -6 Verallgeenert st ene noralserte Gletkoazahl für ene belebge reelle Zahl Z 0: n Z =± r 0 r<, nœz 0 F HG I K J (.) Dese Defnton besteht aus dre Telen: De Vorzechen + oder -, ener Zahl r Intervall [ 0,), sowe ener ganzzahlgen Zehnerpotenz. De Zahl r hesst noralserte Mantsse und n st der Exponent. De Darstellung von Gletkoawerten Bnärsyste st ähnlch we Dezalsyste. Her glt: Z =± q q<, ŒZ F HG I K J De Mantsse verkörpert herbe ene Folge von Bts der For q = (0.b b b 3...) t b 0. Wel b = folgt daraus dass q er. Ene Gletkoazahl n ene Coputer wrd Prnzp genauso gespechert nur t verschedenen Enschränkungen: Durch de Wortbrete der Specherzelle erfolgt ene Enschränkung der axalen Präzson der Darstellung. Sot haben nuersch reelle Zahlen n Rechnern ene Beschränkung Werteberech des Exponenten, we auch n der Präzson der Mantsse. Wr wssen berets, dass kene rratonalen Zahlen t ener beschränkten Stellenzahl exakt dargestellt werden können. Ebenso können n der Regel auch 'norale' ratonale Zahlen ncht exakt n ene Coputer dargestellt werden, wel vele Dezalbrüche Bnärsyste ncht abbrechend snd. Bespel: 0 b g = 0. = ( ) 0 b = De esten Zahlen n können also ene Rechner ncht exakt dargestellt werden. Ene wetere wchtge Erkenntns st, dass der Zahlenberech n ene Rechner ncht kontnuerlch st sondern als dskrete, beschränkte Menge vorlegt. Es gbt her ene klenste und grösste darstellbare Zahl n ene Syste und de Dstanz der Werte unterenander st unglech. g (.) Ausgabe: 996/9(I), G. Krucker

7 -7 ± 3 b g Bespel: Zege alle Gletkoawerte de n der For z=± (. 0 b b b ), b Œ{,} 0 dargestellt werden können! Lösung: Es exsteren jewels zwe Möglchketen, je nach Vorzechen ±, zwe Möglchketen für b, zwe Möglchketen für b, zwe Möglchketen für b 3 und dre Möglchketen für den Exponenten. Ene Berechnung ergbt also 3 = Möglchketen. Wr können also t deser Coderung axal Zahlenwerte darstellen, wovon allerdngs gewsse Werte ehrfach erschenen: = = = = = = = = = = 0. 0 = 0. 0 = = = = = 0. 0 = 0. 0 = = 0. 0 = 0. 0 = = 0. = 0. = 6 Gesathaft snd also 3 verschedene Zahlen n deser Coderung darstellbar. De postven Werte snd n obger Tabelle aufgeführt. Obwohl de Zahlen syetrsch u den Nullpunkt legen snd se ncht glechässg vertelt, d.h. äqudstant gelegt: Nt be ener Berechnung der Wert ener Zahl der For ± q ausserhalb des darstellbaren Bereches an, so sprechen wr von ene Überlauf (overflow) oder Unterlauf (underflow). De Zahl st n deser For ncht darstellbar und sot ungültg. Noralerwese werden n ene Rechner Überläufe t ener Fehlereldung quttert und de laufende Berechnung abgebrochen. Be ene Unterlauf wrd be den esten Systeen de Zahl autoatsch auf Null gesetzt, ohne rgendwelche Fehlereldung zu erzeugen. In unsere Bespel bewrken alle Zahlen klener als enen Unterlauf zu Null. Alle Zahlen 6 ausserhalb des Bereches erzeugen enen Überlauf und werden n dese Rechner als Unendlch nterpretert (achne nfnty). Wenn wr nun ausschlesslch noralserte Gletpunktdarstellung erlauben, haben alle Zahlen (ausser der 0) n deser Coderung de For: b z=± 0. b b g 3 ± Wr erhalten be deser Darstellung ene relatv grosse Lücke be Null. Unsere darstellbaren Zahlen snd nun, we folgt, vertelt (Betrachtung nur für postve Zahlen, für negatve Zahlen syetrsch): Ausgabe: 996/9(I), G. Krucker

8 - De klenste darstellbare postve Zahl n dese Syste st also: - b000. g = Dese auf den ersten Blck unerträglche Genaugket deser Coderung stellt n der Praxs n der Regel ken Proble dar, da de tatsächlch benutzte Coderung für Gletkoazahlen noch weter verfenert st. Der Grund weso an t noralserten Darstellungen arbetet, st de enore Verenfachung der Vorschrften für de Rechenoperatonen. Tatsache st, dass selbst t noralen Nuerkprozessoren kene bessere Genaugket als 0-5 errecht wrd... Gletkoazahlen n IEEE-75-Coderung Standardässg werden Gletkoazahlen n Coputer nach IEEE-75 codert. Deses Forat wrd von den Nuerkprozessoren (x7) benutzt, we auch von Softwarealgorthen. Bs zu Ende der 70er-Jahre benutzte jeder Rechnerhersteller sene egene Coderung für Gletkoazahlen. Erst n der Mtte der 0er-Jahre wurde von IEEE (Insttute of Electrcal and Electroncs Engneers) de erste Nor für ene bnäre Gletkoaarthetk erstellt. Se legt de Coderung, Rundungsvorschrften, sowe de Behandlung von Ausnahestuatonen (Überlauf, Dvson durch 0, etc.) fest. Ausserde gbt se enen Grundstock an atheatschen Funktonen vor, de t den Zahlen n deser Coderung durchführbar sen üssen. Wr werden sehen, dass de Urechnungen von Hand recht ühsa werden. Glücklcherwese uss an sch als Prograerer praktsch ne t Konversonen deser Art befassen. Jedoch gehört deser Stoff zu ener serösen Grundausbldung zu Thea 'Zahlendarstellung n Rechnern'.... Prnzpen Das Prnzp der Coderung st her, dass Gletkoazahlen n Mantsse, Vorzechen und Exponent zerlegt, gewandelt und n ener bestten Vorschrft zusaengepackt werden. Dese gepackte Inforaton wrd dann n ene Feld von 3, 6 oder 0 Bts abgespechert, je nach Coderungsvorschrft. Be der Coderung uss en Kopross engegangen werden, u n ener bestten Wortbrete (3, 6 oder 0 Bts) enen öglchst grossen Werteberech t ener guten Auflösung zu coderen. Der IEEE Standard betet her ene gute Lösung deser Forderungen. Gletkoazahlen werden nach folgender Konventon codert: Vorzechen der Mantsse Bt S Exponent t Vorzechen Nachkoaantel F der geschobenen, noralserten Mantsse (.F) float Bts double Bts extended 5 Bts float 3 Bts double 5 Bts extended 6 Bts Ene Zahl des Typs float n C wrd n ener Wortbrete von 3 Bts abgelegt. Algorthus: Begrff aus der Inforatk. En Algorthus beschrebt klar (rezeptual oder foral) de Vorschrft we ene bestte Aufgabe zu bewältgen st. Aus de Algorthus geht dezufolge endeutg de Abfolge der enzelnen Verarbetungsschrtte hervor. Er beschrebt we schrttwese de Engangsdaten zu Ausgangsdaten ugewandelt werden. Ausgabe: 996/9(I), G. Krucker

9 -9 De sog. -plus-for entsteht durch Lnksscheben der noralserten Mantsse u ene Stelle: b g b g (. 0bb b ) f. bb b =. F 3 3 De -plus-for wrd t Bts Genaugket entwckelt und davon werden de hnteren 3 Bts (=F) abgespechert. De vorderste Stelle der Mantsse uss ncht gespechert werden, da se aufgrund der Noralserung soweso er st. Das Vorzechen der Mantsse wrd höchsten Bt abgelegt. Es hat den Wert 0, falls de Zahl postv st. De Mantsse hat für de verschedenen Coderungen folgende Genaugketen (t der wchtgen Ausnahe der Zahl Null): Bts für float t 3 Bt Wortbrete 5 Bts für double t 6 Bt Wortbrete 6 Bts für extended t 0 Bt Wortbrete Für ene float-coderte Zahl t -Bt Mantsse wrd und fnden dadurch, dass dese Coderung etwa 7 sgnfkante Dezalzffern Genaugket betet. Ene double-coderte Zahl betet denach etwa sgnfkante Dezalstellen. Foral lautet de Coderungsvorschrft: -plus-for (.3) b g S E-B b g z= -. F S: Vorzechen der Mantsse E: Zu spechernder Exponent B: 7 für float (3-Bt Zahl) 03 für double (6-Bt Zahl) 633 für extended (0-Bt Zahl) postv: 0 negatv: F: Nachkoaantel der - plus For IEEE-75 Coderung (.) Das Vorzechen der Mantsse wrd er höchstwertgen Bt gespechert. Das nächste Feld enthält den Excess-B-Code coderten Exponenten, wobe B je nach Wortbrete ene Zahl aus 7, 03, 633 st. Durch de Excess-Coderung wrd das Vorzechen des Exponenten n den Exponent selbst encodert. Für ene float t 3 Bt Wortbrete wrd der Exponent Excess-7-Code notert. Wr betrachten a Bespel der float-coderung (3-Bt) de grösste darstellbare Zahl: Für 3-Bt Coderung wrd B=7. Der öglche Werteberech des Exponenten E st gegeben durch de Feldbrete von Bt. Das hesst, dass der Excess-7-coderte Exponent 56 Werte annehen kann. Durch das Basng (dt. 'Vorspannung') wrd der Berech: - 7 E - 7 Ebenso können wr den Berech der Mantsse besten: (. F) (.... ) = - -3 Wr erhalten sot als betragsässg klenste (ausser 0) und grösste darstellbare Zahl: z z n ax S b g b g S b g b.... g 6. 0 d = - = ± ª± = - = ± - ª± = ± ª± Ausgabe: 996/9(I), G. Krucker

10 -0... Konverson nach IEEE-75 De nachfolgenden Bespele zegen, we dezal coderte Zahlen n IEEE-Bnärcoderte Zahlen ugerechnet werden und ugekehrt. IEEE-75-coderten Zahlen hessen häufg auch Maschnenzahlen (achne nubers). Das Vorgehen beruht auf Defnton der Zahlendarstellung geäss Sete -: (-) S (E-Bas) (b n...b 0 ) Vorzechen (Sgn): S = 0 postv S = negatv Mantsse: n = (3-Bt float) n = 5 (6-Bt double) n = 63 (0-Bt extended) Wahrer Exponent: Bas = 7 0 (7F) 6 (3-Bt float) Bas = 03 0 (3FF) 6 (6-Bt double) Bas = (3FFF) 6 (0-Bt extended) E = Zu spechernder Exponent (Based Exponent) De Konverson ener Dezalzahl n ene Maschnenzahl erfolgt nach de Flussdagra. Das prnzpelle Vorgehen st für alle dre Forate glech: nen Zahl == 0? ja Vorzechen der Mantsse besten Dezal-Gletkoa nach Bnär-Gletkoa wandeln Ganzes Wort nullsetzen Mantsse noralseren und n -plus-for brngen Based Exponent besten De Rückwandlung ener Maschnenzahl n ene Dezalzahl erfolgt nde das Dagra snngeäss rückwärts durchlaufen wrd. Bespel : Lösung: We lautet de 3-Bt-IEEE-Coderung für ausgedrückt n Hex-Zahlen? De Zahl st 0, also besten wr das Vorzechen der Zahl. Es lefert das Vorzechenbt (höchstwertges Bt D 3 ): sgn( ) = - D 3 = Als nächstes wrd de Dezal-Bnärwandlung der Zahl durchgeführt. Dese erfolgt n bekannter Maner, getrennt für Ganzzahl und Nachkoatel: Flussdagra: Flussdagrae werden n der Inforatk verwendet u den (Progra-)Ablauf aufzuzegen. De wesentlchen Eleente snd de Aktonskästchen (Rechteck) und de bedngte Verzwegung (Raute). Flussdagrae snd aus der renen Inforatklehre her, ncht besonders gern gesehen, da selbst der grösste Unsnn rgendwe vsualsert werden kann. Tatsache st aber, dass dese Dagrae weltwet verstanden werden und DIN-genort snd. Ausgabe: 996/9(I), G. Krucker

11 - ( 5) 0 = ( 000) ( ) 0 = (. 0 00) f ( ) = ( ) 0 Wr noralseren de Zahl nde wr se n de '-plus-for' brngen. Wr erhalten ene Mantsse de t.xx.. begnnt und enen Exponenten zur Bass : ( ) = ( ) = ( ) 0 (00000) st nun de zu spechernde Mantsse n den Stellen D..D. De restlchen Stellen werden t 0 aufgefüllt. Der wahre Exponent der Zahl st (5) 0. Er wrd nach der Vorschrft t de Bas verrechnet und wr erhalten den zu spechernden Exponenten (Based Exponent): 5 e= E- Bas = E- 7 = 5 f E = = 3 = b g E: Zu spechernder Exponent (Based Exponent) e: Wahrer Exponent Deser Exponent wrd n den Bts D 30..D 3 gespechert. Wr setzen nun alles zusaen und erhalten de IEEE-Bnärzahl: = C50F000 6 Bespel : Welche Dezalzahlen verkörpern de nachfolgenden Maschnenzahlen n IEEE-Coderung? [5DE000] 6 [BA390000] 6 Lösung: De erste Zahl [5DE000] 6 st n Bnärdarstellung: [ ] Wr extraheren daraus: Vorzechen (D 3 ): 0 Based Exponent (D 30..D 3 ): (000 0) = 0B 6 = 39 0 Mantsse: (D..D 0 ): ( ) -plus-for: ( ) Das Vorzechenbt der Zahl st 0 Zahl st postv. Der wahre Exponent wrd: e= ( E- Bas) = 39-7 = Mt der Mantsse wrd der Wert der gesaten Zahl: b g = b g = bbcg = 7 De zwete Zahl [BA390000] 6 ergbt: 6 0 Bnärdarstellung: [ ] Vorzechen: Based Exponent: (0 000) Mantsse: ( ) -plus For: (.0 000) Das Vorzechenbt st daraus folgt, dass de Zahl negatv st. Wr erhalten den wahren Exponenten: e = ( E - Bas) = 6-7 = - De gesate Zahl wrd: - b.0 000g = -b g =- (. 0 00E) = ª d Ausgabe: 996/9(I), G. Krucker

12 -.3 Fehlerbetrachtung für Gletkoadarstellungen Den Fall, dass de Zahl ncht als Maschnenzahl n ener der entsprechenden IEEE-Forate aufgrund von Unterlauf oder Überlauf dargestellt werden kann, wollen wr her ncht betrachten. Deser Abschntt soll zegen, we gross de zu erwartenden Fehler n der Darstellung enzelner Zahlen werden..3. Präzson der Darstellung Wr achen ene Betrachtung für postve n 3-Bt IEEE-Coderung. Für negatve Zahlen und andere Forate erfolgt das Vorgehen analog. Ene Zahl Z kann n noralserter For allgeen dargestellt werden: e Z = q q<, Bas = 7 j (.5) Durch Rundung kann de nächste Zahl gefunden werden, de effektv n dese Code darstellbar st. Uns nteressert we gross nun deser herbe auftretende Rundungsfehler wrd und stellen z n noralserter bnärer Notaton exakt dar : Z = (. 0b b b b b ) 3 5 (.6) De nächste Maschnenzahl (d.h. Zahl welche n dese Code darstellbar st) uss der Coderungsvorschrft bezüglch Stellenzahl genügen. De darzustellende Zahl z legt n ene Intervall [z', z''], das durch de Genaugket der Mantsse bestt wrd. De darzustellende Zahl wrd durch Rundung an das untere oder obere Ende des Intervalls gelegt und erhalten betragsässg den relatven Fehler: z- z' z b g 0. bb 3 = - (.7) Begründung: Das zu betrachtende Intervall [z',z''] ergbt sch: z' = ( 0. bb3b b) z'' = ( 0. b b b b ) Be der Betrachtung können zwe Fälle auftreten: z legt näher be z' als be z''. Dann glt de Unglechung: z- z' z'' - z' - 5+ Der axale relatve Fehler ergbt sch be 0. bb ( 0. ) z z' = = = z ( 0.bb3) ( 0.bb3) De Betrachtung wenn z näher be z'' legt erfolgt analog. b 3 g Æ. Man erhält t (.7): Wr sehen, der relatve Fehler deser Darstellung st ne grösser als -. Dat ergbt sch de Anzahl der sgnfkanten Dezalstellen: Ausgabe: 996/9(I), G. Krucker

13 = Unter Betrachtung der Rundung snd her also 7 Dezalstellen sgnfkant und verkörpert den axalen Rundungsfehler deser Coderung..3. Fehlerfortpflanzung Besonderes Gewcht erhält be der Rechnung t Gletkoazahlen de Betrachtung der Fehlerfortpflanzung. Da prnzpbedngt (fast) alle Zahlen t ene gewssen Fehler behaftet snd, st es notwendg kurz zu betrachten, we sch dese Rundungsfehler auswrken. Dass dese Betrachtung gerechtfertgt st, soll folgendes Bespel zegen: Wr adderen zur Zahl.0 n ener Schlefe er den konstanten Wert.0. Das Abbruchkrteru für de Schlefe soll sen, sobald de Zahl den Wert von 0000 errecht hat, also 9999 al durchlaufen wurde. Das Abbruchkrteru st durch enen Verglech der Zahl t de Wert 0000 zu testen. We gross uss das Testntervall ndestens sen? oder: Ergbt 0000 glechvel we 0000 al zu adderen? Oft kann durch ntellgente Forulerung, geschckte Wahl der Datentypen oder Operatonen der Fehler stark verndert werden. En anderes Phänoen st de Stellenauslöschung be arthetschen Operatonen. Se trtt er dann auf, wenn grosse Werte t klenen Werten verrechnet werden. In solchen Fällen verleren wr sgnfkante Stellen. Bespel: Wr haben ene Maschne de t ener Präzson fünf Dezalstellen rechnet und adderen zwe Zahlen x und y, de n noralserter For vorlegen: - x= y= Wr gehen ferner davon aus, dass de Rechnung t doppelter Genaugket ausgeführt wrd, dass hesst, de Rechnung selbst wrd t 0 Stellen durchgeführt und erst das Resultat der Rechnung wrd weder auf fünf Stellen gerundet. Deses Prnzp wrd übrgens n Rechnern durchwegs so angewandt. So werden n C alle Rechnungen des Typs float ntern t double durchgeführt und double werden ntern t long double verrechnet. Sot wrd unsere Addton ntern: x = y = x+ y= De nächste Maschnenzahl zur Aufnahe des Resultates st z= (z auf fünf Stellen gerundet). Wr können nun den relatven Fehler deser Addton besten: x+ y-z x+ y = ª Betrachtet an de Vorgabe der Präzson von fünf Stellen, kann de Genaugket als genügend angesehen werden, obwohl das Zahlenbespel bewusst so gewählt worden st, dass der Fehler recht gross wrd. Ausgabe: 996/9(I), G. Krucker

14 - Betrachten wr nun konkret de Fehlerfortpflanzung t den uns bekannten Mtteln der Fehlerrechnung, so erhalten wr für de Addton von zwe Gletkoazahlen n 3-Bt IEEE- Coderung: D ~, D ~ - x y= Dz ~ = Dx ~ + D ~ y= + = z ~ Œ z- Dz ~, z+ Dz ~ Allgeen kann t der Methode der Fehlerschranken de Fehlerfortpflanzung bestt werden..3.. Verlust an Präzson Ncht auf den ersten Blck erschtlch st das Proble von Verlust an Präzson be der Subtrakton wenn zwe Zahlen nahe beenander legen, also fast glech gross snd. De 'Dstanz' der beden Zahlen können wr durch ene Messvorschrft (sog. Metrk) beschreben: - y. Beachten Se: De -Klaern x haben nchts t ener Betragsbldung zu tun, sondern bezechnen de Metrk! Satz: (ohne Bewes) Snd x und y noralserte Gletkoa-Maschnenzahlen, so dass x > y > 0. Wenn -p y -q - für bestte postve Ganzzahlen p und q, dann werden be der Subtrakton x x-y höchstens q-stellen, aber ndestens p-stellen an sgnfkanten bnären Bts engebüsst. Bespel: We vele sgnfkante Stellen werden be der Subtrakton engebüsst? Lösung: Wr besten de Dstanz der beden Zahlen, setzen n de Unglechung des obgen Satzes en und besten de nächsten p und q so, dass de Unglechung noch glt: x = y = y = - = x Deser Wert legt zwschen = und = Sot werden ndestens, aber ncht ehr als 3 Bts an Präzson engebüsst. Ausgabe: 996/9(I), G. Krucker

15 Methoden zur Veredung von Verlust an Präzson Nun betrachten wr Massnahen we an den Genaugketsverlust verndern kann. Es kann jedoch ken allgeen gültges Rezept zu Vorgehen gegeben werden. Das Prnzp st jedoch er dasselbe: De 'krtschen' (und nur de krtschen) Subtraktonen üssen durch geegnete Uforungen weggeschafft werden. Das Resultat st oftals en wesentlch koplzerterer Ausdruck. So fällt es anchal schwer zu glauben, dass de Uforung tatsächlch ene Verbesserung brngt. Wr zegen das Vorgehen anhand von engen Bespelen: Bespel Wr untersuchen dazu de Funkton f( x)= x + - t Werten für x nahe be Null so, dass das Resultat der Rechnung x + ª. Wenn x ª 0 sehen wr, dass de Bedngung für den Genaugketsverlust gegeben st (Subtrakton zweer fast glech grosser Zahlen). De Lösung des Probles besteht darn, dass de Funkton algebrasch so wet ugefort wrd, dass kene solchen 'krtschen' Subtraktonen ehr vorkoen. Ene Möglchket st de Funkton als ratonale Funkton zu foruleren, nde geegnet erwetert wrd: f( x)= x + - = x + - e F j H G x x I K + + x J = + + x + + Den Erfolg der Rechnung prüfen wr t x=0-6. De Rechnungen werden t de HP durchgeführt. Wr erhalten ersten Fall das falsche Resultat 0 und zweten Fall den korrekten Wert von Bespel In ene Progra wrd folgende Berechnung durchgeführt: y= cos ( x) -sn ( x) Beurtelen Se, ob dese Berechnung für bestte x krtsch werden kann und achen Se falls ja enen Vorschlag zur Verbesserung der Genaugket! Lösung: Für x ª p wrd de Subtrakton cos ( x) - sn ( x) krtsch, da bede Zahlen etwa glech gross snd. Durch de trgonoetrsche Identtät: cos( j) = cos j - sn j können wr de Genaugket der Rechnung verbessern: y = cos( x) Bespel 3 Beurtelen Se, ob nachfolgende Subtrakton krtsch st! y = ln( x) - Man seht sofort, dass für x ª e de Subtrakton krtsch wrd und t Genaugketsverlust verbunden st. Unter Verwendung der Rechenregeln für Logarthen können wr de Glechung uforen: f( x) ln( x) ln x e = - = F H G I K J Ausgabe: 996/9(I), G. Krucker

16 -6 Aufgaben. Aufgaben Zahlenbasen:. Stellen Se folgende Zahlen n den verlangten Basen dar: 7 0 ( ) 7 ( ) ( ) ( ) 000 ( ) 5. Stellen Se folgende Zahlen n den verlangten Basen dar, unter Ausnutzungen der Dualtät der Basen: 000 ( ) 000 ( ) ( ) 7 6 ( ) 3. Prograeren Se das Verfahren der Kettendvson als klenes C- oder Taschenrechner- Progra.. Wandeln Se de Zahl 0. zuerst nach hexadezal und dann nach bnär. Überprüfen Se das Resultat, nde Se nachher drekt nach bnär wandeln. 5. Zegen Se, dass /5 ncht als endlcher Ausdruck Bnärsyste dargestellt werden kann. 6. Welches Resultat lefert der Coputer wenn er 3 * /3 rechnet? We seht es für * ½ oder 0* /0 aus? Darstellung negatver Zahlen: 7. Welche anderen Verfahren, ausser der Zweerkopleentcoderung, wären zur Darstellung negatver Zahlen denkbar? Beurtelen Se dese Verfahren nde Se Forderungen aufstellen (Koplextät des Rechenwerkes für +/-, Endeutgket des Nulleleentes, etc.) und prüfen Se, nwewet dese von den Methoden erfüllt werden.. We gross st der Werteberech für Zweerkopleent-coderte Zahlen t der Wortbrete? a.) Bt b.) 6 Bt c.) 3 Bt d.) 6 Bt 9. Stellen Se folgende Zahlen Zweerkopleent dar bezüglch Bt Wortbrete: a.) b.) - c.) - d.) (-7A) 6 e.) (G) f.) (-G) 0. Geben Se den dezalen Wert der Zweerkopleent coderten Zahlen an! a.) (000) 6 b.) (0) 6 c.) (FEDF) 6 d.) (73) 6 e.) (00) 6 f.) ( ) g.) ( ) h.) ( 0). We würde - als verstellge Ternärzahl aussehen? Überprüfen Se, ob t deser Coderung +(-) tatsächlch Null ergbt! Ausgabe: 996/9(I), G. Krucker

17 -7 Aufgaben IEEE-75 Coderung:. Besten Se durch Rechnung de Genaugketsbereche für de Gletkoadatentypen der Sprache C. Beachten Se, dass dese Werte unter Berückschtgung der Rundung entstehen! 3. Besten Se de Dezalwerte der nachfolgenden IEEE-coderten Zahlen: a.) [CAE000] 6 b.) [BBB7A] 6 c.) [B09D30] 6. Besten Se de 3-Bt IEEE-Coderung der nachfolgenden Dezalzahlen: a.).0, -.0 b.) +0.0, -0.0 c.) d.) e.) Zählen Se alle Werte auf de t der enfachen Gletkoacoderung der For ±(0.b b 3 ) öglch snd, wobe : a.) Œ 0, q, q l,, q b.) Œ- c.) Œ-0 Fehlerfortpflanzung: 6. We sähe das Resultat und Fehler der Addton x+y t - x= y= aus, wenn an durchwegs t 5 Dezalstellen Genaugket rechnet? 7. In welche Berech legt das Resultat der Rechnungen (3-Bt IEEE-Coderung)? 0000 a.) z = Â0. b.) z = c.) z= 30. x + y Ausgabe: 996/9(I), G. Krucker

18 - Aufgaben Ausgabe: 996/9(I), G. Krucker