Vektorrechnung. In der Physik unterscheiden wir grundsätzlich zwei verschiedene Typen physikalischer Einheiten: Skalare und Vektoren.

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Wilfried Kaufer
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1 Kntonsschule Solothun Vektoechung RYS Vektoechnung. Gundlgen. Skl / Vekto In de Phsik untescheiden wi gundsätlich wei veschiedene Tpen phsiklische Einheiten: Skle und Vektoen. Ein Skl ist eine elle Zhl. E ist lso eine Gösse ohne Richtung. Unte einem Vekto vesteht mn eine Sch us sämtlichen unteeinnde pllelen, gleichgeichteten und gleichlngen Stecken. Ein Vekto ist lso eine Gösse, die eine Länge (Betg) und eine Richtung esitt. Wi stellen Vektoen ls Pfeile d und weden sie mit kleinen Buchsten (,, etc.) nscheien. Nullvekto 0: ht den Betg Null und esitt keine Richtung. Einheitsvekto e: ht den Betg. Opetionen mit Vektoen... Addition Zwei Vektoen weden ddiet, indem wi sie neinndeseten. Die Sutktion wid uf die Addition uückgefüht - wie in de Alge - wi ddieen den Gegenvekto.... S-Multipliktion Duch die Multipliktion eines Vektos mit einem Skl wid de uspüngliche Vekto veküt w. velänget ode um 80 gedeht und veküt ode velänget. < λ: λ ht diesele Richtung wie, velänget 0 < λ < : λ ht diesele Richtung wie, veküt λ 0: λ ist de Nullvekto - < λ < 0: λ ht die entgegengesette Richtung u, veküt λ < -: λ ht die entgegengesette Richtung u, velänget. Gegenvekto/Kehvekto: Diesele Länge, e um 80 gedeht..3 Kollineität / line unhängig

2 Mn nennt wei nicht kollinee Vektoen line unhängig..4 Vektoen im Koodintensstem ) Die Eene: ) De Rum: Otsvekto: Vekto, dessen Anfngspunkt im Uspung liegt. D wi nun die Koodinten de Vektoen kennen, können die S-Multipliktion und die Vektoddition seh einfch usgefüht weden:.5 Zelegung eines Vektos Sind wei Vektoen und u ein und deselen Geden pllel, so ist ein Vielfches von, d.h. λ. Die Vektoen heissen dnn kolline. (kolline: ugehöig u eine Geden) P P : Koodintendiffeenen Länge Betg : P P : Koodintendiffeenen Länge Betg: S-Multipliktion: λ λ λ λ λ Multipliktion mit Skl efolgt komponentenweise. Vekoddition: Addition weie Vektoen efolgt komponentenweise.

3 Kntonsschule Solothun Bsisvektoen: Einheitsvektoen in Richtung de -, - ode - Achse. Vektoechung RYS Wi können jeden Vekto in seine Bsisvektoen elegen. Diese Zelegung ist ein Speilfll eines llgemeinen Schvehltes: Jede Vekto c lässt sich stets in seine Komponenten elegen, woei die Richtung de Komponenten duch die Vektoen, welche in deselen Eene liegen wie c, vogegeen sind. Diese Vektoen ilden dnn eine Bsis des Vektos c. Seien die Vektoen und Bsisvektoen des Vektos c, so gilt: c λ µ. λ und µ sind die sklen Komponenten w. die Koodinten von c eüglich de Bsis {, }..6 Sklpodukt Es sei ϕ de Zwischenwinkel de Vektoen und (, 0). ist ds skle Podukt de Vektoen und. cosϕ Links vom Gleichheitseichen stehen wei Vektoen, echts eine eelle Zhl. Ds Sklpodukt knn negtiv, positiv ode gleich Null sein: Auflösung nch ϕ: cosϕ Wichtig ist de Fll, dss cosϕ 0 ist: Stehen wei Vektoen und senkecht ufeinnde, dnn ist ds Sklpodukt de eiden Vektoen gleich Null. Umgekeht gilt uch: Ist ds Sklpodukt weie Vektoen gleich Null, dnn stehen die eiden Vektoen senkecht ufeinnde..7 Vektopodukt 3

4 4 Dieses Podukt egit einen Vekto, dhe heisst es Vektopodukt. De esultieende Vekto c steht senkecht uf w., d.h. c und c 0 0. Geometische Bedeutung des Vektopoduktes:. Gede und Eene 3 e e e det c c c c c sinφ, dies ist die Fläche des von w. ufgespnnten Pllelogmmes.

5 Kntonsschule Solothun. Die Pmetedstellung de Geden Vektoechung RYS Pmetegleichung de Geden 0 λ λ λ :Pmete De Pmete λ duchläuft die eellen Zhlen: Zu jede eellen Zhl λ git es genu einen estimmten Punkt uf de Geden und umgekeht gehöt u jedem Punkt de Geden genu ein estimmte Pmete λ R. Bechte: De Richtungsvekto knn duch einen elieigen u ihm kollineen Vekto esett weden. De Punkt P 0 knn duch einen elieigen Punkt uf de Geden esett weden.. Geden in de Gundeene 5

6 Koodintengleichung de Geden A B D 0 Liegt ein Punkt uf de Geden, so efüllen seine Koodinten diese Gleichung und umgekeht. Einnen wi uns n die Gedengleichung m, so ekennen wi, dss die Koodintengleichung nu eine ndee Dstellungsfom de Geden ist. De Winkel ϕ wischen wei Geden g und h ist gleich dem Winkel wischen den eiden ugehöigen Richtungsvektoen. E wid ntülich mit dem Sklpodukt eechnet. Fü den wichtigen Sondefll, dss die eiden Geden senkecht ufeinnde stehen: 0 ( ) ( m m ) und somit m m -..3 Gegenseitige Lge weie Geden Beeichnet mn die eine Gede mit g (feste Punkt P, Richtungsvekto, Pmete λ) und die ndee Gede mit h (feste Punkt Q, Richtungsvekto, Pmete µ) knn mn die gegenseitige Lge de eiden Geden mit folgendem Stuktogmm emitteln:.4 Die Eene (Pmetedstellung) 6

7 Kntonsschule Solothun Eine Eene ist estimmt duch einen Punkt P 0 und wei nicht kollinee Vektoen: Vektoechung RYS Ist P ein elieige Punkt de Eene, so lässt sich de Vekto P 0 P nch den Vektoen und elegen: P 0 P 0 λ µ mit (λ, µ) R R. Pmetegleichung de Eene 0 λ µ Komponentengleichung de Eene λ µ 0 ist de Stütvekto, und sind die Spnnvektoen de Eene: Die Eene E wid duch die Vektoen und ufgespnnt. λ und µ sind die Pmete. Jedem P (λ, µ) R R ist genu ein Punkt uf de Eene ugeodnet und umgekeht git es u jedem Eenenpunkt genu ein P (λ, µ) R R. Koodintengleichung de Eene A B C D 0 Die Eene ist die Menge de Punkte des Rumes, deen Koodinten diese Gleichung efüllen. A In de Gundeene ist de Vekto ein Nomlenvekto de Geden A B D 0. Fü B die Eene im Rum gilt: Ist A B C D 0 die Koodintengleichung eine Eene, A so ist de Vekto B ein Nomlenvekto u diese Eene. C Umgekeht gilt: Ist n n n ein Vekto, de noml uf eine Eene steht, so ht n deen Koodintengleichung die Fom n n n D 0. 7

8 So lässt sich leicht die Koodintengleichung eine Eene ufstellen, von de mn dei Punkte A, B, C kennt, denn AB AC ist ein Nomlenvekto diese Eene..5 Anwendungen, die in den Üungen ehndelt weden Winkel wischen wei Geden Winkel wischen Gede und Eene Winkel wischen wei Eenen Duchstosspunkt Gede Eene Astndspoleme: Punkt Gede ode Punkt Eene Schnittgede weie Eenen Speielle Lgen von Eenen 8

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