Mathematisch-Physikalischer Einführungskurs WS 03/04

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1 MARTIN-LUTHER-UNIVERSITÄT HALLE-WITTENBERG Mthemtisch-Physiklische Einfühungskus WS 03/04 Piv.-Doz. D. Gehd Seifet Fcheeich Physik Büo: Köllwitz, Hohe Weg 8, Rum 05 Tel.: 0345 / 5553; F: 557 E-mil: g.seifet@physik.uni-hlle.de

2 Ein Skipt (PDF-Files zum Downlod) zu diese Venstltung git es uf de WWW-homepge unsee Aeitsguppe: dot im Untemenü Lehe

3 Inhltsüesicht. Voemekungen: Rechnen mit physiklischen Gößen. Elemente Gundlgen us Geometie und Alge 3. Vektoen 4. Funktionen Winkel, Koodintensysteme und -tnsfomtionen, Gleichungen, Gleichungssysteme Definitionen und Begiffe, Vektolge Dstellungen, Beispiele fü wichtige Funktionen 5. Komplee Zhlen Definition, Dstellungen, Rechenegeln, Beispiele

4 6. Diffeentilechnung Definition, Aleitungen wichtige Funktionen, Regeln füs Diffeenzieen von zusmmengesetzten Funktionen mit Bsp., höhee / mehfche Aleitungen, ptielle Aleitungen 7. Integlechnung Definition, Integle wichtige Funktionen, Integtionsegeln, estimmte Integle 8. Reihenentwicklungen Näheungslösungen, Diffeentilgleichungen Potenzeihen, Tyloentwicklung, Beispiele; Fouieentwicklung, - tnsfomtion; Diffeentilgleichungen 9. Fehleechnung und -schätzung (udimentä) Sttistische und systemtische Fehle, Fehlefotpflnzung

5 Mögliche Büche zu Einfühung ode ls ständige Begleite im Studium: uf keinen Fll lind kufen! Zuest im Buchlden ode esse in de Biliothek nchpüfen, o mn dmit etws nfngen knn! (ode ei z.b. mzon.de Rezensionen lesen...) Entscheidung hängt von Vokenntnissen, Studienichtung, pesönlichen Volieen...

6 B.G. Teune Velg: Einfühung / Selststudium: Schäfe/Geogi/Tipple: Mthemtik-Vokus Schiotzek/Scholz: Stthilfe Mthemtik zum Nchschlgen: Vettes: Fomeln und Fkten Bonstein/Semendjjew: Tschenuch de Mthemtik Vieweg Velg: Kemnitz: Mthemtik zum Studieneginn Weltne: Edition CyeMedi: Mthemtik fü Ntuwissenschftle (CD-ROM) Oldenoug Velg: Even/Schwägel: Mthemtik fü Ingenieue Velg Hi Deutsch: Wendele: Vokus de Ingenieumthemtik etc....

7 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel : Voemekungen. Rechnen mit physiklischen Gößen Vile Gößen: In de Physik sucht mn imme nch Zusmmenhängen zwischen meß-/eochten Gößen; die Fge lutet lso: wie ändet sich eine Eigenschft de Ntu, wenn sich eine ndee in eknnte Weise veändet? Beispiel: wie ändet sich de Luftduck mit de Tempetu? p Duck R V T Volumen p V Funktion eine Vilen unhängige Vile R T ) V const. (Autoeifen): ) uch V veändelich: konstnt Gskonstnte llgemeine Scheiweise: p p(t) Tempetu p R T V zwei unhängige Vile Funktion mehee (hie ) Vilen Scheiweise: p p(t,v) uch: VV(p,T), TT(p,V)

8 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel : Voemekungen Physiklische Einheiten: Physiklische Gößen hen imme uße ihem Zhlenwet uch eine Einheit ode Dimension (duf legen v.. Pktikumseteue viel Wet!) Physiklische Göße Zhlenwet Einheit Bsp.: l 5,3 cm Länge M 5,3 kg Msse F 5,3 N Kft (Gewicht) t 5,3 s Zeit mit Einheiten knn mn gnz noml echnen, z.b.: 3,8 m 9cm 3,8 m 9 ( m) 3, ( m) m m 0, mm m Beim Umechnen von Einheiten m esten imme so vogehen!

9 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel : Voemekungen Einheitensystem (gesetzlich vogeschieen): SI Systéme Intentionl 7 Bsiseinheiten, uf die lle ndeen zuückgefüht weden können Länge m Mete Zeit s Sekunde Msse kg Kilogmm Tempetu K Kelvin elekt. Stomstäke A Ampee Leuchtstäke cd Cndel Stoffmenge mol Mol Polem: Dstellung seh goße ode seh kleine Wete in Zhlen in den SI- Einheiten, z.b.: Längen: (su)tom is stell Zeiten: Elektonenewegung is Alte des Univesums

10 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel : Voemekungen Scheiweise mit Zehnepotenzen: Bsp.: 0, ,5 0 4 viel üesichtliche; in Ntuwissenschft ülich dhe sgen Physike meist eine Gößenodnung fü einen Fkto 0... oft in Vosile de Dimension vesteckt, z.b.: 5, Wtt 5,78 Gigwtt (GW) Telle de wichtigsten Vosilen : Vekleineungen Fkto Vosile Kuzzeichen 0 - Dezi- d 0 - Zenti- c 0-3 Milli- m 0-6 Miko- µ 0-9 Nno- n 0 - Piko- p 0-5 Femto- f 0-8 Atto- Vegößeungen Fkto Vosile Kuzzeichen 0 Dek- d 0 Hekto- h 0 3 Kilo- k 0 6 Meg- M 0 9 Gig G 0 Te- T 0 5 Pet- P 0 8 E- E

11 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel : Voemekungen ndees Polem: viele physiklische Gößen hen nicht nu einen Betg, sonden uch eine Richtung, z.b. Käfte, Geschwindigkeiten... Zu deen Bescheiung ucht mn Vektoen: Bsp.: Gvittion ) nch unten ) seitlich In eiden Fällen gleiche Betg, e nu ei ) leit ds Essen uf dem Tisch stehen. Bsp.: Auto fäht ) ) Offensichtlich ist die Richtung seh wichtig fü die Bescheiung.

12 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel : Voemekungen Bei Vektoen können sich Betg und / ode Richtung änden, d.h. sie können Funktionen sein. Zu ihe Beechnung sind oft Tigonometische Fkt. (sin, cos) nötig! Fehleehftete Gößen: Gundpolem de (Epeimentl-) Physik - und dmit uch des physiklischen Pktikums - ist: lle Gößen sind gemessen und dhe nie ekt, sonden nu mit eine endlichen Genuigkeit (Velässlichkeit) estimm! D.h. wenn mn die gleiche Messung 0ml wiedeholt, ehält mn im Nomlfll 0 (leicht) veschiedene Egenisse. Dhe knn mn eigentlich imme nu ein Intevll ngeen, in dem de whe Wet mit hohe Whscheinlichkeit liegt! Bsp.: Rdmessung egit Geschwindigkeiten zwischen 47 und 53 km/h Intevll: [ ] km/h üliche Scheiweise: Mittelwet(Messwet) ± Fehle (eigtl. esse: Genuigkeit) (50 ± 3) km/h

13 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel : Voemekungen uch: eltive Fehle solute Fehle Messwet im Beispiel: 3 km/h 6 eltive Fehle 0,06 50 km/h 00 6% Scheiweise: 50 km/h ± 6 % gilt so nu fü sttistische ( unvemeide) Fehle; systemtische F. (z.b. Zeige de Wge ohne ufgelegtes Gewicht nicht uf Null) knn mn imme eseitigen ode koigieen (uße ei Unfähigkeit)! Im Pktikum stets dn denken: Messwete imme mit Einheiten und Fehlen (Genuigkeiten) ngeen!

14 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel : Elemente Gundlgen us Geometie und Alge. Elemente Gundlgen us Geometie und Alge Winkel Definition (physiklisch): Ein Winkel ist ds Vehältnis us de Bogenlänge zwischen den eiden (Hl-) Geden und dem Rdius des Keises: ϕ m Einheit: d m (eigentlich keine) häufig Winkel ls giech. Buchste Bogenmß (Rdin) d.h. ei Bogenlänge Rdius ist d im Alltg geäuchliche: Gd ( ) ein gnze Keisogen ht 360

15 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel : Elemente Gundlgen us Geometie und Alge weitee Unteteilung in Bogenminuten (Symol ) und Bogensekunden (Symol ) (wie ei de Zeit) Umechnung: gnze Keisogen entspicht einem Umfng π π d π d 360 Bogenmß nch Gdmß: ϕ d d 360 π d 647 y π Gdmß nch Bogenmß: α y y π d 360 y π d

16 Mthemtisch-physiklische Vokus Bezeichnungen estimmte Winkel (-eeiche): Kpitel : Elemente Gundlgen us Geometie und Alge Bogenmß Gdmß Vollwinkel α π ϕ 360 Üestumpfe Winkel π < α < π 80 < ϕ < 360 Gesteckte Winkel α π ϕ 80 Stumpfe Winkel p / < α < π 90 < ϕ < 80 Rechte Winkel α p / ϕ 90 Spitze Winkel 0 < α < p / 0 < ϕ < 90 Dehsinn: positiv negtiv

17 Mthemtisch-physiklische Vokus Zhleneispiele: d 57, , d 7,453 md Kpitel : Elemente Gundlgen us Geometie und Alge Vosicht: Weitee Definition (ungeäuchlich): Gon echte Winkel ls 00 definiet Vewechslungsgefh uf Tschenechne: deg: degee d: din Gd Rdin (Bogenmß) gd: Gon Gd!

18 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel : Elemente Gundlgen us Geometie und Alge Winkelfunktionen Vewendung: Bsp. Vemessung Höhe h Hoizontle ϕ Länge l - mn misst die Länge zwischen zwei (Mess-) Punkten und den Winkel z.b. zu Hoizontlen (Wssewge) Wie estimmt mn dus die Höhe? hie z.b. Tngens tnϕ h l

19 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel : Elemente Gundlgen us Geometie und Alge Definition de Winkelfunktionen nhnd des echtwinkligen Deiecks im Keis (dhe tigonometische Funktionen): Hy: Hypotenuse (Stecke SM) die dem echten Winkel gegenüeliegende Stecke Ak: Ankthete (Stecke MF) die Stecke, die m Winkel α nliegt Gk: Gegenkthete (Stecke SF) Stecke, die dem Winkel α gegenüeliegt sin α Gk Hy SF SM tn α Gk Ak SF MF sin cos α α cos α Ak Hy MF SM cot α Ak Gk MF SF cos sin α α

20 Mthemtisch-physiklische Vokus ußedem: sec α cos α und: cosec Kpitel : Elemente Gundlgen us Geometie und Alge α sin α Im Einheitskeis ( Hypotenuse zw. ) ist dhe de Sinus diekt die Länge de Gegenkthete, de Cosinus die Länge de Ankthete. Vozeichenegeln II. Qudnt 90 < α < 80 sin () cos (-) tn, cot (-) III. Qudnt 80 < α < 70 sin (-) cos (-) tn, cot () I. Qudnt 0 < α < 90 sin () cos () tn, cot () IV. Qudnt 70 < α < 360 sin (-) cos () tn, cot (-)

21 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel : Elemente Gundlgen us Geometie und Alge nch π wiedeholt sich ds Gnze, d.h. Winkel < 0 ode > π können imme duch Addition ode Sutktion von Vielfchen von π uf ds Intevll π α 0 zuückgefüht weden Cosinus ist Sinus des Komplementwinkels (lt. complementi sinus) cos α sinβ ; β 90 -α cos α sin π α nlog: sin α cos π α tn α cot π

22 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel : Elemente Gundlgen us Geometie und Alge Seh wichtige Beziehungen (folgen us Pythgos): sin ² α cos ² α sin α cos ² α cos( α) cos( α) cos: gede Funktion symm. zu 0 sin( α) sin( α) tn( α) tn α cot( α) cot α sin: ungede Funktion Alle Winkel können uf den. Qudnten zuückgefüht weden.

23 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel : Elemente Gundlgen us Geometie und Alge Additionstheoeme: (die wichtigsten) sin (αβ) sin α cos β cos α sin β sin (α-β) sin α cos β - cos α sin β cos (αβ) cos α cos β - sin α sin β cos (α-β) cos α cos β sin α sinβ sin α cos α sin α cos α cos²α - sin² α sin² α! ( - cos ) cos² α! ( cos )...usw. Dmit knn mn oft Rechnungen veeinfchen.

24 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel : Elemente Gundlgen us Geometie und Alge Koodintensysteme Polem: Mn will Position und/ode Bewegung von Punkten zw. Köpen im Rum mthemtisch efssen, möglichst so, dss die Rechnung esondes einfch wid. dzu Koodintensysteme Uspung (-spunkt) igendwelche Koodinten (Zhlen), pssend zum Polem

25 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel : Elemente Gundlgen us Geometie und Alge Koodintensysteme de Eene (-dimensionl) Ktesisches KS: - im Uspung schneiden sich zwei Geden, die ufeinnde senkecht stehen - Koodinten eines Punktes sind die senkechten Astände von deen Achsen : y Scheiweise:P (, y ) - De Uspung ht die Koodinten O (0,0); in Pfeilichtung sind positive Wete ngegeen. ndee Möglichkeit: Polkoodinten: - P (,ϕ) - chkteisiet den Punkt eenso eindeutig und mit Koodinten

26 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel : Elemente Gundlgen us Geometie und Alge Die veschiedenen Koodinten können ineinnde umgeechnet weden, mn spicht dnn von Koodintentnsfomtionen P (, y ) (, ϕ) cos ϕ y y y sinϕ tn ϕ y ϕ ctn y

27 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel : Elemente Gundlgen us Geometie und Alge Beispiele: suche Zusmmenhng y f() zw. f(ϕ) ) gedlinige Bewegung, d.h. y (Gedengleichung) Steigung Odintenschnitt d.h. die Gleichung steht in de Fom des Ktesischen Koodintensystems Polkoodinten: y nch Def. esetzen: sinϕ cosϕ sinϕ - cosϕ sin ϕ cos ϕ fü gedlinige Bewegung sind Polkoodinten offensichtlich unpktisch; ußedem hen hie, keine nschuliche Bedeutung)

28 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel : Elemente Gundlgen us Geometie und Alge ) Welche Gleichung escheit eine Keishn mit dem Rdius R? - Polkoodinten: R const., nu ϕ ändet sich - Ktesisch: y R y R - lso: - Polkoodinten fü: punktsymmetische Poleme, Dehewegungen - ktesische Koodinten fü: Poleme ohne Symmetie, gedlinige Bewegungen In Wiklichkeit ist de Rum ntülich 3-dimensionl, lso: 3 Koodinten

29 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel : Elemente Gundlgen us Geometie und Alge Koodintensysteme des Rumes z y - Koodinten Astnd von P zu yz-eene y - Koodinten Astnd von P zu z-eene z - Koodinten Astnd von P zu y-eene Ktesisches, echtshändiges System, y, z Dumen, Zeige-, Mittelfinge

30 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel : Elemente Gundlgen us Geometie und Alge fü viele Poleme git es esse pssende Koodintensysteme, Bsp. Edoefläche: Wie mcht mn dus eine Lndkte? jede Position uf de Edoefläche knn duch zwei Winkel eindeutig ngegeen weden Längen- und Beitengde Mecto-Pojektion (uf Zylinde)

31 Mthemtisch-physiklische Vokus Zylindekoodinten: Kugelkoodinten Kpitel : Elemente Gundlgen us Geometie und Alge P (, ϕ, z) const. Zylindeoefläche P (, θ, ϕ) const. Kugeloefläche Tnsfomtionen:, ϕ, z, y, z cos ϕ y sin ϕ z z, θ, ϕ, y, z sin θ cos ϕ y sin θ sin ϕ z cos θ

32 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel : Elemente Gundlgen us Geometie und Alge Tnsfomtionen - Fotsetzung:, y, z, ϕ, z, y, z, θ, ϕ y y z tn ϕ z z y cos θ tn ϕ y z y z Weitee Beispiele fü Kugelkoodinten: Anlyse von Dehewegungen eines Köpes mth. Bescheiung de Elektonen- Schlen von Atomen, Molekülen...

33 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel : Elemente Gundlgen us Geometie und Alge Linee Gleichungssysteme geneell:... n M m m... mn n m heißt linees Gleichungssystem. Je nch Zhl de Uneknnten und Gleichungen heißt dieses System üeestimmt, wenn m > n (meh Gleichungen ls Uneknnte) unteestimmt, wenn m < n (wenige Gleichungen ls Uneknnte) dnn keine eindeutige Lösung qudtisch, wenn m n eindeutige Lösung

34 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel : Elemente Gundlgen us Geometie und Alge Beispiel fü ds Aufteten linee Gleichungssysteme: elektische Schltungen: U R I (Ohmsches Gesetz) U 5V Kichhoffsche Mschenegel: R Ω. R 0Ω. U 0V I I I 3 3. R 3 0 Ω R 4 5Ω Σ Spnnungsfälle in Msche Quellspnnung. ( R R ) I - R I U. ( R R 3 ) I - R 3 I 3 U 3. ( R 3 R 4 ) I 3 - R 3 I 0 üesetzt :

35 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel : Elemente Gundlgen us Geometie und Alge Lösung: Gleichungen so mnipulieen, dss m Schluss in jede Gleichung nu Uneknnte steht (einsetzen, eliminieen, Gleichungen ddieen / suthieen...) hie einfch: z.b.,5 Gl. Gl.3 : in. und 3. Einsetzen: / 48,0467 0,75 3 0,5

36 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel : Elemente Gundlgen us Geometie und Alge Fü umfngeichee Systeme sind die Beechnungen schwieige, e dzu git es (z.t. computeisiete) Lösungsvefhen. Bsp.: Gleichungen mit Uneknnten Definitionen: Deteminn te: D - D - D -

37 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel : Elemente Gundlgen us Geometie und Alge Stz (Cmesche Regel): Ist D Lösung D D 0, so ht ds, D D. Gleichungs system die eindeutige ußedem : D 0, D D D D 0 ode 0 D 0 keine Lösung unteestimmt, "unendlich viele Lösungen"

38 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel : Elemente Gundlgen us Geometie und Alge Qudtische Gleichungen. Allgemeine Fom und Lösung Die llgemeine Fom de qudtischen Gleichung lutet: ² c 0. Sie ht zwei Lösungen:, - ± - 4 c Hieei titt die Schwieigkeit uf, dss die qudtische Gleichung im Beeich de eellen Zhlen nicht meh lös ist, wenn de Rdiknd negtiv wid, d.h. wenn gilt 4c > ². Dieses Polem füht zu Einfühung de kompleen Zhlen ( Kp. 5). Bsp. fü ds Aufteten qudt. Gleichungen: Spung vom 0m-Tum 0 0 v 0 die Peson spingt nch oen weg mit z.b. v 0-5 m/s Ednziehung Fge: Wie lnge duet de Flug?

39 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel : Elemente Gundlgen us Geometie und Alge Lösung: phys.: (t) 0 v 0 t g / t² (g 0 m / s² ) { gesucht ist de Zeitpunkt t, zu dem (t) 0m } 0m 0m m 5 s t m 0 s² t² m m 5 t² - 5 t - 0m s² s 0 Fomel: t / m 5 s ± m² m s² s² m 5 s² (-0 m) 5 ± 5 0 s

40 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel : Elemente Gundlgen us Geometie und Alge 5 ±5 0 s mthemtisch git es Lösungen, e physiklisch ist nu eine sinnvoll, nämlich jene mit de positiven Zeitnge. Diskiminnte t s Den in de llgemeinen Lösung uftetenden Rdiknden nennt mn uch die Diskiminnte. Ihe Göße entscheidet üe die At de Lösung: D > 0 D 0 D < 0 D ² - 4c eelle Lösungen eelle Lösung (Doppelwuzel ode uch enttete Lösung) keine eellen Lösungen Die veschiedenen Fälle wollen wi nhnd von Beispielen etchten.

41 Mthemtisch-physiklische Vokus 3. Beispiele 3. D > 0 ² Kpitel : Elemente Gundlgen us Geometie und Alge D ² - 4c ² > 0 eelle Lösungen: 3. D 0 ² ± 6, -3 ± -5 - D 8² Doppelwuzel : -

42 Mthemtisch-physiklische Vokus 3.3 D < 0 5 ² Kpitel : Elemente Gundlgen us Geometie und Alge D < 0 keine eelle Lösung Heleitung de Lösungsfomel ² c 0 c ² 0 ² c

43 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel : Elemente Gundlgen us Geometie und Alge (qudtische Egänzung) ² 4 ² ² 4 ² ² c c ² 4 ² c ± ² 4 ², c 4 ², ±

44 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 3: Vektoen 3. Vektoen 3. Begiffe und Definitionen ) Enegiemenge: z.b. Stomechnung eläuft sich uf 5000 kwh (uf Joule umechen) duch Ange eines Zhlenwetes (ntülich mit de koekten physiklischen Einheit) vollständig chkteisiet skle Göße ) Geschwindigkeit: z.b. Auto-Tchomete zeigt 30 km/h n uch hie: Zhlenwet Einheit ABER: zusätzlich ist hie die Richtung seh wichtig, mn denke z.b. n Geistefhe etc.! ein Vekto ist imme duch die Mßnge Richtung chkteisiet! Ds Mß eines Vektos (Zhlenwet Einheit) heißt Betg eines Vektos. Polemfälle: z.b. Msse (Skl) & Gewicht (Kft, Vekto!)

45 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 3: Vektoen Dstellungen und Scheiweisen von Vektoen - geometische Dstellung: Länge: Pfeilichtung: Betg des Vektos Richtung des Vektos - lgeische Scheiweisen: meist:, uch in Büchen oft uch nu duch Fettduck gekennzeichnet Betg : Betg des Vektos

46 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 3: Vektoen Gleichheit: Zwei Vektoen sind gleich, wenn sie in Betg und Richtung üeeinstimmen. d.h. geometisch ist eine Pllelveschieung möglich und es efolgt keine Ändeung: lle Pfeile sind de gleiche Vekto! dmit ist uch eine Veschieung zum Koodintenuspung möglich, dies emöglicht die Komponentenscheiweise: (,, 3 ) 3

47 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 3: Vektoen Einheitsvekto, Nullvekto, negtive Vekto - Einheitsvekto: Vekto mit dem Betg, vogegeene Richtung, häufig in Richtung de Achsen eines Koodintensystems Scheiweisen z.b.: e, e y, e z ˆ, ŷ, ẑ ; ; ê, ê i, j, k y, ê z ;... uch: in Nomlen -Richtung eine Fläche ( Flächennomle) Scheiweisen : e ; ê ; nˆ n n - Nullvekto: Vekto mit Betg Null, Richtung unestimmt; Scheiweise : O

48 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 3: Vektoen - negtive Vekto: Vekto mit gleichem Betg, e entgegengesetzte Richtung Komponenten : -

49 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 3: Vektoen 3. Vektolge Vektoddition: c geometische Bedeutung: kommuttiv : c c in Komponenten : c (,, 3 3) komponentenweise ddieen! c

50 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 3: Vektoen ode mit Pllelogmm: (nu fü Vektoen möglich!) ei Addition mehee Vektoen: c d ( c d) uch ds Assozitivgesetz gilt, d.h. die Additionseihenfolge ist elieig!

51 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 3: Vektoen Vektosutktion efolgt, indem mn einfch einen negtiven Vekto ddiet geometisch: - Beispiel: Ein Rudee vesucht einen Fluss uf küzestem Wege zu üequeen, d.h. e fäht imme senkecht zu Fließichtung: Ziel - Fließgeschwindigkeit v F v B Resultt: v B v F v B v F v eff Ds Boot wid getieen.

52 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 3: Vektoen Um zu vehinden, dss ds Boot teit muss de Rudee um den Winkel α in die ndee Richtung stten. Ziel v v F B v eff v B v F zw geingee Effektiv-Geschwindigkeit, e dfü wid ds Ziel eeicht lässt sich ntülich uch lgeisch lösen!

53 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 3: Vektoen Multipliktion mit Vektoen Es sind 3 veschiedene Aten de Multipliktion mit Vektoen definiet:. Multipliktion eines Vektos mit einem Skl: Bsp.: de Rudee us vohegehendem Bsp. vedoppelt seine Geschwindigkeit v ' B v B die Richtung leit ehlten, e de Betg wid veändet d.h. ds Egenis de Multipliktion ist wiede ein Vekto!

54 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 3: Vektoen. Sklpodukt zweie Vektoen: Egenis: skle Göße Bsp.: ein Auto ollt eine schiefe Eene unte Schwekfteinwikung hinunte: s (Weg) F G gesucht: Welche Enegie ( Aeit ) wid dei veichtet? physiklisch: Aeit Kftkomponente in Wegichtung Wegstecke W F cos α s in vektoielle Scheiweise : W F s cos α F s

55 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 3: Vektoen 3. Vektopodukt zweie Vektoen: Egenis: Vekto (Beispiel dzu späte) Definitionen und Rechenegeln ei Vektomultipliktion. Multipliktion mit Skl: mit : eelle Zhl, : Vekto gilt ist Vekto mit gleiche Richtung wie (ei < 0 ntülich, entgegengesetzte Richtung) 0,5-0,5 e - fche Länge - etc. ußedem : Assozitivgesetz Distiutivgesetz ( y) (y ) ( y) y [ uch : ( ) ]

56 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 3: Vektoen in Komponentenscheiweise: (,, ) (,, ) 3 3 Begiff: Vektoen, die sich nu um einen sklen Fkto untescheiden, heißen kolline.. Ds Sklpodukt (Innees Podukt; Punktpodukt) cos, Definition: ( ) cos α in Komponenten: (,, 3 ) (,, 3) 3 3

57 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 3: Vektoen. Stehen zwei Vektoen ufeinnde senkecht, so wid ds Sklpodukt Null (und umgekeht). 0. Es gelten: - Assozitivgesetz: ) ( - Distiutivgesetz: c c c ) ( (wegen Fkto cos α in Definition) - Kommuttivgesetz: Folgeungen us de Definition:

58 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 3: Vektoen Geometische Bedeutung des Sklpodukts: cos α ist die "Pojektion" des Vektos uf (und umgekeht). die Richtung von Dmit knn lso z.b. die Komponente eine Kft in eine estimmte Richtung estimmt weden. (siehe Rudee-Bsp. m Anfng) Die Pojektion knn ntülich uch einen negtiven Wet (ei α > 90 ) nnehmen.

59 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 3: Vektoen Mth. Anwendungseispiel: Heleitung des Kosinusstzes ( ) γ - 80, Fsst mn die Seiten des Deiecks ls Vektoen uf, dnn ist: c / Qudieen ( ) ( ) ( ) c ( ) ( ) ( ) ( ) γ - 80 cos γ cos - c z Kosinusst

60 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 3: Vektoen 3. Ds vektoielle Podukt (äußees Podukt; Keuzpodukt) Definition: ( ). sin, sin c : gilt c Betg Fü den Rechtssys tem ilden. ein c,, so dss und steht, de senkecht uf Vekto c, ist ein c α c c in Komponentenscheiweise: c - c - c c c c c

61 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 3: Vektoen Folgeungen us de Definition:. Sind zwei Vektoen pllel ode ntipllel, so egit ds Vektopodukt den Nullvekto (und umgekeht). 0. dus folgt uch: 0 3. Kommuttivgesetz gilt nicht: ( ) - ( ) 4. Es gelten Assozitiv- und Distiutivgesetz: Assozitivgesetz : Distiutivgesetz : y ( ) y y ( ) c ( c) ( c)

62 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 3: Vektoen Geometische Bedeutung des Vektopodukts: De Betg des Vektopodukts ist die Fläche des von den Vektoen ufgespnnten Pllelogmms: c sin α Physiklisches Beispiel: Dehmoment M F Heelm Kft

63 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 3: Vektoen von oen etchtet: M F sin α 443 Betg de senkecht zum Heelm wikenden Kft (-komponente)

64 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 3: Vektoen Mthemtisches Anwendungseispiel: Heleitung des Sinusstzes 0 c : Deieck gilt dieses Fü O O c : dsegit (von links); multipliziet mit Diese Gleichung wid nun (vektoiell) 443 O O c

65 Mthemtisch-physiklische Vokus - c c ( 80 - γ) c sin ( 80 - β) sin sin γ sin β Kpitel 3: Vektoen sin β c sin γ nlog duch... folgt : sin α c sin γ zusmmen : sin α sin β c sin γ Sinusstz

66 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 4: Funktionen 4. Funktionen In de Physik (und ntülich uch in ndeen Ntuwissenschften) sucht mn nch Zusmmenhängen zwischen veschiedenen vilen Gößen, lso z.b. die Dehnung eine Fede in Ahängigkeit von dem ngehängten Gewicht, d.h. de uf sie usgeüten Kft: gesucht ist ein F 0 F N mthemtische Zusmmenhng, de lle und F eindeutig ve - F N knüpft F 3N Funktion!

67 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 4: Funktionen Dstellung von Funktionen - Telle: (ekommt mn nomleweise us Epeiment!) Bsp.: Kolen im Zylinde V viiet, T const., wie vehält sich p? p / ,5 0, V / m 3 0,5 6, Voteil: Knn ohne Rechnung vewendet weden, e Nchteil: Polem de Zwischenwete entwede Intepoltion ode seh goße Tellen, dicke Büche (z.b. Steuetellen)

68 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 4: Funktionen In de Pis wid häufig die nlytische Funktion nhnd de Messwete gesucht, lso ngepsst ; zu gut deutsch: es wid ein Fit duchgefüht. - gphische Dstellung eine Funktion: Odinte p 6 4 Gph / Bildkuve / Digmm de Funktion Aszisse V / m³ Diese linee Dstellung muss nicht imme die Idele sein.

69 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 4: Funktionen Logithmische Skl: log (p/) Gede mit Steigung -! 0, 0,0 E log (V/m³) Vosicht ei Achsen, Einheiten! logithmisch geteiltes Ppie

70 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 4: Funktionen Wenn mn den Zusmmenhng eeits kennt, knn mn schließlich die Funktion nlytisch dstellen. in de Physik ist dies ds Egenis eine Theoie! - Anlytische Dstellung eine Funktion: Die Gößen weden einnde duch eine Gleichung mit eine estimmten Rechenopetion zugeodnet. z.b.: f() y Addition y Qudt y e ep () Eponentil-Funktion y log log () y sin Logithmus Sinus

71 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 4: Funktionen kompliziete Opetionen: sin y ³ y ² - 4 llgemeine Scheiweisen: y y() ; p p(v) ; v v(t) ; mth.: f(), y() symolisiet eindeutige Zuodnung, z.b. ei eellen Funktionen: jedem R wid genu ein y zugeodnet! Definitionseeich eine Funktion : lle, fü die es ein y() git Weteeeich eine Funktion : Intevll, in dem lle möglichen y() liegen

72 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 4: Funktionen nlog ei meheen Vilen: f f (,, 3) v v (, y, z) p p ( V, T ) ode V V ( p, T ) usw. Einzelne wichtige Funktionen:. Linee Funktionen ( Gede ): llgemeine Fom: y - Spezilfll: y y ist popotionl zu ist ein Popotionlitätsfkto MN BC y tn α ON AB : Steigung de Geden konstnt

73 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 4: Funktionen - Allgemeine Fll: y - tn α ändet nichts n Steigung! Linee Regession : Anpssung eine Geden n Messwete, so dss möglichst minimle Aweichungen von llen Messpunkten ufteten Regessionsgede

74 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 4: Funktionen Sollte die Messpunkteveteilung jedoch eispielsweise so ussehen wid die Gluwüdigkeit de Anpssung deutlich sinken. (die Aussgekft eine solchen Anpssung ist meß, und wid usgedückt duch den sog. Koeltionskoeffizienten )

75 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 4: Funktionen Beispiele fü linee Zusmmenhänge: Zuückgelegte Weg ei konstnte Geschwindigkeit: v v const.; (t) v t 0

76 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 4: Funktionen Winkel j ei gleichfömige Keisewegung mit konstnte Dehfequenz ( ω ω const. ); z.b. Kussell ϕ: Winkel im Bogenmß ; ϕ ω t t 0 : ϕ 0 p t : ϕ p ( ˆ 80 )? t π ω : ϕ π ( ˆ 0 ) Peiodizität 4 π t : ϕ 4 π ( ˆ π ˆ 0 ) ω

77 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 4: Funktionen peiodische Funktion, Peiode T wichtig: Ot (t) wäe hie lles ndee ls line (sonden ein Sinus...); dhe wählen die Physike fü die Bescheiung von Dehewegungen meist den Winkel ls Vile!

78 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 4: Funktionen Zuwchs: Zuwchs de unhängigen Vilen: - Zuwchs de Funktion zw. hängigen Vilen: y y - y y( ) - y( ) gphisch fü Gede: - Zuwchs knn positiv ode negtiv sein! - Diffeenze nquotient : y ( const. ) - ei Geden ist de Diffeenzenquotient konstnt und entspicht de Steigung!

79 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 4: Funktionen. Die Pel (Qudtische Funktion): y ² (llgemein: y c ) z.b. feie Fll zuückgelegte Höhenunteschied ls Funktion de Zeit: h (t) g t² (t > 0) y 0 t/sec jedes physik. Gesetz ht einen (meist endlichen) Gültigkeitseeich! -4 Diffeenzenquotient nicht meh konstnt Fkt. unhängig vom Vozeichen de unhängigen Vilen gede Funktion: f(-) f() -6-8 h(t) / m

80 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 4: Funktionen Die Pel knn imme uch (mit qudt. Egänzung) ls (y - y 0 ) A ( - 0 )² geschieen weden. Beechnung de Achsenveschieungen 0, y 0 (duch Koeffizientenvegleich): y - y 0 A ( - 0 ) A - A 0 A 0 y A - A 0 (A 0 y 0 ) ( c ) A (!) - ; y0 0 c - ² 4 Peln weden in de Physik häufig ls Näheung vewendet um Kftwikungen zwischen Teilchen zu escheien, z.b. Molekülschwingungen.

81 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 4: Funktionen 3. Die Hypeel llg.: y m / m - y m const. Bsp.: p V const. (ei const. T) ode: Bechkft D() eine Linse mit Kugeloefläche: n n > n - n n D () f Dioptie: D() m -

82 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 4: Funktionen Bennweite f ist popotionl zu (veeinfcht) y 4 Hypeel f()

83 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 4: Funktionen 4. Potenzfunktionen y, y, y - dies sind eigentlich lles nu Spezilfälle von y n n-te Potenz;, n sind elieige Konstnten, woei n R zulässig ist -n n n speziell : y n

84 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 4: Funktionen 5. Eponentilfunktionen llgemein: y : Bsis ( > 0) (konstnt) : Eponent (viel) Definition: ( N Podukt, z.b. 4 ) < 0 ; nlog geochen : Potenzfun ktion p q, y p, q Z - p q y q p wichtige "Genzwete ": 0, - 0

85 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 4: Funktionen - () f y 8 6 f () 0 f 3 () 3 f 4 ()

86 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 4: Funktionen Rechenegeln ( > 0 ; 0,) : - ( ) 0 Spezilfll: e lim, n n n e : ep() ( eigentliche Eponentilfkt.) escheit viele Vogänge in de Ntu, z.b. unegenztes Wchstum eine Popultion

87 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 4: Funktionen [ Umkehfunktionen ] Polem: mn sucht eine estimmte physiklische Göße, kennt e nu eine Funktion diese Göße, z.b.: eknnt: Höhe h und Beite gesucht: Winkel ϕ de Dchneigung tn ϕ h mn enötigt nun die Umkehfunktion (hie ctn), um ϕ zu estimmen: ctn (tn ϕ) ϕ ctn h llgemein: wenn y f() eine Funktion ist, lässt sich die gleiche Funktion uch mit y ls unhängige Vile uffssen, d.h. y f() F(y) Invese Funktion / Umkehfkt.

88 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 4: Funktionen gphisch: mn vetuscht die - und y-achse miteinnde und spiegelt den Gphen de Funktion f n de -y-winkelhlieenden y 4 f() ² Winkelhlieende f() F() hie sieht mn, dss sich de Definitionseeich fü Umkehfunktionen änden knn (nu positive Wete fü Wuzel zw. F() elut) eindeutige Zuodnung muss leien! (Bezeichnung ode y willkülich!)

89 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 4: Funktionen 6. Logithmus y log ist die Umkehfunktion de Eponentilfunktion nu fü > 0 definiet! Spezilfälle: y 0 log lg Dekdische Logithmus y 4 y e log ln y 0 ntüliche Logithmus negtive Seite: ep. Zefll, (Aklingen) 3 y e y ln y log -

90 Mthemtisch-physiklische Vokus - e t t y(t) Vile muss dimensionslos sein! Kpitel 4: Funktionen t τ y,5,3 Beispiele: dioktive Zefll Zählte Zefälle Zeiteinheit,0 0,8 Entldung eines Kondenstos 0,5 0,37 0,3 0,0 0 3 U(t) U 0 e - t R C

91 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 4: Funktionen Beispiel fü Anwendung des Logithmus ls invese Funktion: Lichtsoption in eine Poe: Tnsmission T I ep ε I 0 ( c d ) ε - Mteilkonstnte c - Konzenttion d - Dichte ln T - ε c d c - ln T ε d

92 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 4: Funktionen Rechenegeln (unhängig von Bsis ): log ( ) log log log log - log ( ) log log log 0 log Umechnung zwischen veschiedene Bsis: y log y / (dvon ntülichen Logithmus) ln ( y ) y ln ln y log ln ln

93 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 4: Funktionen insesondee lso: lg ln 0 ln 0,4343 ln nlog: ln lg ( e) lg,306 lg

94 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 4: Funktionen 7. Tigonometische Funktionen und deen Invese Funktionen Definition im Einheitskeis ( ): y y sin cos QP OQ ( ˆ ϕ) QP y tn OQ OQ y cot QP sin cos cos sin

95 Mthemtisch-physiklische Vokus y.0 sin cos Kpitel 4: Funktionen π π -.0 P eiode Weteeei ch : - sin, cos cos sin π sin - 3 π Kosinus phsenveschoene Sinus (um 90 zw. p / )

96 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 4: Funktionen Beispiel us de Physik: hmonische Schwingung (Fedependel) Esetze ω t ( ω const. Fequenz de Schwingung) t 0 0 d.h. Ausdehnung y ls Funktion de Zeit y (t) A sin ω t ; y A y (t) A sin (ω t) Schwingung mit doppelte Fequenz 0 3π π "Phse" (t) Zeit -A π ω π ω

97 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 4: Funktionen π ω π π f T (Schwingungsdue) Bei whe Schwingung ist Zeitnullpunkt (Phse) willkülich y(t) A sin (ω t ϕ) ϕ : Phsenwinkel (Auslenkung) zum Zeitnullpunkt gedämpfte Schwingung nehmendes A wegen z.b. Reiungsvelusten: y 0 y t τ τ A A e y A e cos? t t "Einhüllende" ep(-t / τ) π ω τ π ω τ 3π ω t ( τ und T sind unhängige Konstnten)

98 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 4: Funktionen - Additionstheoeme gelten ntülich uch fü Funktionen! ußedem : lim 0 sin Gphen von Tngens und Kotngens: Tngens: y 4 Steigung ± eim Nullduchgng π - -4 π tn Polstellen ei π ± k π Bei Definitions- und Weteeeich de Umkehfunktion zu echten!

99 Mthemtisch-physiklische Vokus Kotngens: y 4 Kpitel 4: Funktionen π 4 6 π cot π - -4 Umkehfunktionen: Funktion Umkehfunktion Nme y sin y c sin Akussinus y cos y c cos Akuskosinus y tn y c tn Akustngens y cot y c cot Akuskotngens

100 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 4: Funktionen Polem: Weteeeiche de tigonometischen Funktion Definitionseeiche de Umkehfunktion Funktion Definitionseeich () Weteeeich (y) y c sin - - π y π y c cos - 0 y π y c tn - - π y π y c cot - 0 y π

101 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 4: Funktionen Gphen: π π y - - y c sin π π y 3 y c cos

102 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 4: Funktionen y 3 π π y c tn π Beziehungen zwischen den invesen tigonometischen Funktionen: π c sin - c cos c tn - ² π c cos - c sin c cot - ²

103 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 4: Funktionen c tn π - c cot c sin ² c cot π - c tn c cos ² 8. Hypeolische Funktionen y sin h ( e e ) y tn h e e e e y cos h ( e e ) y cot h tn h Additionstheoeme ähnlich den nomlen tigonometischen Funktionen! i i - inteessnte Pllele mit kompleen Zhlen: z.b. : cos ( e e )

104 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 4: Funktionen Beispiele zu Anwendung de Additionstheoeme:. Üelgeung zweie Schwingungen veschiedene Fequenz: z.b. 0 sin ω t 0 sin ω t ; ω ω ω ( sin ω t sin ω t) sin t cos t sin ω t cos ω t Schweung ω ω ω ω ( ω ω ) ω ( ω ω ) ω < ω

105 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 5: Komplee Zhlen 5. Komplee Zhlen Anknüpfungspunkt: Qudtische Gleichungen; ein Polem titt uf, flls die Diskiminnte D < 0 ist Lösung Ws mcht mn z.b. mit - 5 : mn definiet i - ls? komplee " Einheit" (nlog zu physikl. Einheiten ), dmit wid us i 5 ode ndes heum : i! Dieses I i R nennt mn imginäe Zhl; R ist (ntülich) eine eelle Zhl Eine komplee Zhl ht im Allgemeinen einen Rel- und einen Imginäteil, d.h. Z i Z: komplee Zhl ( Z ;, )

106 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 5: Komplee Zhlen Venschulichung: Komplee Zhleneene (Guss sche...) (4 3 i) Komplee Zhl ähnlich zu -Komponenten-Vekto! lle eellen Zhlen pssen uf eine Koodintenchse, die (ein) imginäen eenflls; Komplee Zhlen kommen in de Physik us Günden vo:. oft Recheneleichteung ei Schwingungen, Wellen, Felden... duch i e cos i sin Eule sche Fomel ( ). es git Phänomene, u.. in de Quntenmechnik u.ä., die mn komple escheien muss, d kiegen Teilchen ttsächlich imginäe Eigenschften!

107 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 5: Komplee Zhlen Definition, Eigenschften und Rechenegeln komplee Zhlen in Polkoodinten: Z i cos ϕ i sin ϕ Relteil Re(Z) Imginäteil Im(Z) De Betg de kompleen Zhl ist dei gegeen duch: ² ² Z Weitee Beziehungen: cos ϕ, sin ϕ ² ² ² ² tnϕ Im(Z) Re( Z ) Rechenegeln: mn ehndelt i ls gnz nomlen Pltzhlte, echtet, dss i ist, füht lle Rechenopetionen duch und tennt dnn wiede in Rel- und Imginäteil.

108 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 5: Komplee Zhlen Addition und Sutktion: ) ( i ) ( ) i ( ) i ( z z ± ± ± ± Multipliktion: i ) ( i ) i ( ) i ( z z ) ( i ) - ( i - ) i ( - ) i ( z z - ; : Spezilfll z heißt dnn konjugiet komplee Zhl zu z, üliche Scheiweise: z * * z z z i

109 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 5: Komplee Zhlen Division: ( ) ( ) ( ) ( ) i i i i i i z z ( ) i i geneell: z und z sind gleich, wenn und! komplee Zhl ist Null, wenn 0! Tennen in Relund Imginäteil

110 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 5: Komplee Zhlen Multipliktion in Poldstellung z z z (cos ϕ i sin ϕ) (cos ϕ i sin ϕ) Additionstheoeme [(cosϕ cos ϕ sin ϕ sin ϕ) i (sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ) ] [ cos ( ϕ ϕ ) i sin ( ϕ )] ϕ Addition von ϕ ϕ im Egenis wie ei Multipliktion de Eponentilfunktion : ϕ ϕ ϕ ϕ ( ) Ttsächlich gilt die Eulesche Fomel: e i cos i sin e i cos i sin z e i ϕ (cos ϕ i sin ϕ)

111 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 5: Komplee Zhlen dmit wid die Multipliktion einfch: ) ( i i i e e e z z ϕ ϕ ϕ ϕ und eenso die Division: ) - ( i i i i i e e e e e z z ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ imginä und komple weden Betgund knn eell, ht den e i ϕ us Summe und Diffeenz de Euleschen Fomel: ( ) i i e e cos ( ) i i e e sin

112 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 5: Komplee Zhlen Anwendungseispiele: gedämpfte Schwingung: τ eelle Dstellung: (t) 0 e sin ω t komple: ξ (t) t i i ω t t τ iω t τ 0 e 0 e e Relteil : Imginäteil : Re( ξ) Im( ξ) t τ 0 e cos ω t t τ 0 e sin ω t eides escheit eine gedämpfte hmonische Schwingung Wechselstomkeis elektomgnetische Wellen etc.

113 Mthemtisch-physiklische Vokus 6. Diffeentilechnung Kpitel 6 : Diffeentilechnung Gundpolem: Mn kennt den funktionlen Zusmmenhng zwischen ode meh Gößen, lso z.b. y f() ode y g(,y,z,t), und will diese Funktionen diskutieen, d.h. mthemtische Fgen entwoten wie z.b.: An welchen Stellen eine Funktion liegen deen Etemwete (Minim, Mim)? wo ist de Zuwchs (die Steigung) m gößten/kleinsten? wo ht die Steigung einen estimmten Wet? Ode ( physiklisch ): mn ht einen funktionlen Zusmmenhng mühevoll us Theoie ode Messung emittelt, und will weitee Infomtionen dus leiten (!): z.b. Tumspinge (Kp. ): Ot ls Fkt. de Zeit estimmt (h(t), Wufpel); Geschwindigkeit v(t) Veändeung des Otes po Zeiteinheit Aleitung von h(t) nch de Zeit! Beschleunigung (t) Veändeung de Geschwindigkeit po Zeit Aleitung von v(t) nch de Zeit (. Aleitung von h(t) nch de Zeit)!

114 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 6 : Diffeentilechnung Ds Folgende gilt lles eigentlich nu fü stetige eelle (komplee) Funktionen. In de Ntu git es e oft spunghfte Veändeungen, z.b.: ) Phsenüegänge (Schmelzen, Vedmpfen) ) Wchstum von Popultionen: diskete Wete, d nu ntüliche (gnze) Zhlen möglich in solchen Fällen knn mn: () stückweise diffeenzieen () die Stufen-Kuve duch eine stetige Funktion nnähen und dnn mit de Näheung echnen

115 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 6 : Diffeentilechnung Diffeenzenquotient: mittlee Ändeung y eine Funktion in einem Intevll y - y - y y - y - y y - von Intevlleite hängig! Diffeenzilquotient: lokle Ändeung eine Funktion n eine Stelle, Def.: dy d y lim lim 0 0 { f( ) - f() }

116 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 6 : Diffeentilechnung Weitee gängige Scheiweisen fü den Diffeenzilquotienten ( die Aleitung ): dy d y' f '() d d f() df() d speziell fü Aleitung nch de Zeit scheit mn oft: dy(t) dt y Anschuliche (gphische) Bedeutung: die Aleitung eine Funktion y() n de Stelle entspicht de Steigung de Tngenten n die Kuve im Punkt. tnα y

117 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 6 : Diffeentilechnung Wichtige Aleitungen elemente Funktionen: y konst. y' y sin y ' y e y ' y ln y ' y n y ' 0 cos y cos y ' - sin y tn y ' cos e n n - Beispiele zu Aleitung von y y y' y y ' y y ' y y ' n : y 3 5 y '

118 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 6 : Diffeentilechnung Diffeenzitionsegeln: Lineität: f() g() f '() g '() Summenegel: f() g() h() f '() g '() h '() Poduktegel: f() g() h() f '() g '() h() g() h '() Quotientenegel: f() g() h() f '() g '() h() { h() } g() h '() Spezilfll Aleitung de ezipoken Funktion: f() h() { h() } - f '() h '() { h() } Kettenegel: f() g ( h() ) f '() g ' ( h() ) h '() Nchdiffeenzieen

119 Mthemtisch-physiklische Vokus Beispiele zu Summenege l : ) y y' ) y Kpitel 6 : Diffeentilechnung sin - cos y' cos sin Beispiele zu Poduktegel ) y sin cos : ) y e sin y' cos cos sin (- sin ) y' e sin e cos cos - sin e ( sin cos ) Beispiele zu Quotienten egel ) y 4 : y' (4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) 8

120 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 6 : Diffeentilechnung ) y tn sin cos cos cos - sin (- sin ) cos sin y' cos cos cos c) y cot cos sin - sin sin - cos cos - sin - cos y' - sin sin sin Beispiele zu Aleitung eine ezipoken Funktion : - ) y y' - 4 3

121 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 6 : Diffeentilechnung ) y y' - ( ) Beispiel zu Lineität de Aleitung : y n k 0 k k y' n d d k 0 k k n k 0 d d k k n k 0 k d d k n k 0 k k k - Aleitungen von tigonometischen Umkehfunktionen: y csin y ' - y ccos y ' - - ctn y ' ( ) y ccot y ' - ( ) y

122 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 6 : Diffeentilechnung Beispiele 3 ( ) 3 y' ( ) ) y zu Kettenegel : 3 6 dy ) y sin ω t y' y ω cos ω t dt 5 6 c) y sin y' sin cos d) y sin y' cos cos e) y e y' e f) y e f() y' f '() e f() g) y y'

123 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 6 : Diffeentilechnung Höhee (mehfche) Aleitungen: Entsteht ls Egenis des Diffeenzieens wiede eine diffeenziee Funktion, so knn mn diese eneut leiten, d.h. die., 3.,... n-te Aleitung ilden. Scheiweisen fü die zweite Aleitung: y' () d f d ' f ''() f () d d f() d d d d f() d d f '() llgemein fü die n-te Aleitung: y (n) f (n) () n d f d n d d n n f()

124 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 6 : Diffeentilechnung Beispiele fü mehfche Aleitungen: ) y sin d y sin cos d d y sin cos - sin d d d ) geg. : y n gesucht : n - te Aleitung y (n) n d d n n d d n - n - n n - n d d n - n - n - n (n -) d d n - n - n - n (n -) (n - )... d d ( n - (n - ) ) n (n -) (n - )... n! (spich: n Fkultät)

125 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 6 : Diffeentilechnung Anwendung de Diffeenzilechnung zu Kuvendiskussion: Mit Hilfe de esten und zweiten Aleitung läßt sich die Lge und At von Etemweten (Mim ode Minim) zw. sogennnten Wendepunkten jede elieigen Funktion f() estimmen. Ist n eine Stelle die. Aleitung gleich Null, so ht die Kuve eine wgechte Tngente; dmit egeen sich 3 Möglichkeiten, je nch dem Wet de. Aleitung n de Stelle : (): y (0) 0 ; y (0) < 0 (): y (0) 0 ; y (0) > 0 (3): y (0) 0 ; y (0) 0 Mimum Minimum Wendepunkt wichtig fü Optimieungsufgen (De Fll (3) ist ntülich KEIN Etemum)

126 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 6 : Diffeentilechnung Bsp.: () Mn estimme die Etemwete de Funktion y y' 3 6 y' und 0. Aleitung : y'' y'' - 6 < 0 Mimum 0 y'' 6 > 0 Minimum () Mn estimmedie Etemwete de Funktion y 3 y' 3 y' 0 / 0 y'' 6 0 y'' 0 wgeechte Wendepunkt

127 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 6 : Diffeentilechnung Aleitungen ei Funktionen mehee Vile ptielle Aleitungen nlog zu Aleitung eine Funktion nu eine Vilen; mn diffeenziet lediglich n eine estimmten Stelle, d.h. hält die üigen Vilen fest (zw. etchtet diese ls Konstnten) Definition: Ptielle Aleitung de Funktion z f(,y) nch : z f (, y )? z lim 0? lim 0 f (?, y )? f (, y ) y const. z y f (, y ) y? yz lim 0?y?y lim?y 0 f (, y?y)?y f (, y ) const. Die Definition gilt ntülich fü elieige Koodinten, z.b. Polkoodinten. - geometische Bedeutung: eine Funktion f(,y) definiet eine (Oe-)Fläche, ihe ptielle Aleitung n eine estimmten Stelle ( 0,y 0 ) entspicht de Steigung de Tngenten n diese Fläche in Richtung de Koodinte, nch de geleitet wid

128 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 6 : Diffeentilechnung Z f/ ( 0,y 0 ) ( 0,y 0 ) 4 X 6 Y f (,y )) ˆ Tngente n Fläche in - y 0 0 Richtung m Punkt (, )

129 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 6 : Diffeentilechnung Die Aleitung eine mehdimensionlen Funktion git es eigentlich nicht; stttdessen definiet mn ds totle zw. vollständige Diffeentil, ds den Zuwchs de Funktion in Ahängigkeit von den Zuwächsen lle Vilen ngit. Vollständiges Diffeentil von z f(,y): dz z d z y dy Ein Diffeentil git es ntülich uch ei Fkt. eine Vilen y f(): df() dy df() f ()d d d dy d d Ds d steht dei fü ein infintesimles, und mn knn dmit wie mit nomlen Pltzhlten echnen; Physike vewenden dies häufig, um Zusmmenhänge hezuleiten zwischen de Ändeung (dem Zuwchs) ein Göße und dem Zuwchs eine ndeen (de gesuchten) Göße Bsp. nch Kp. 7.

130 Mthemtisch-physiklische Vokus 7. Integlechnung Kpitel 7 : Integlechnung Ds Integieen ist im Wesentlichen die Umkehung des Diffeenzieens. Bei de Einfühung de Diffeenzilechnung wude die Steigung eine Kuve in einem estimmten Punkt emittelt duch den Diffeenzilquotienten, lso den Genzwet fü infitesimle Intevlleite de mittleen Steigung in einem Intevll. Anlog dzu knn mn die Integlechnung geometisch einfühen, indem mn die Fläche unte eine Kuve etchtet und diese zunächst duch eine Summe von Rechteck-Flächen nnähet; de ekte Wet fü die Fläche egit sich dnn wiede ls Genzwet unendlich schmle Rechtecke (s. nächste Seite) Numeische Vefhen zum Diffeenzieen und Integieen pe Compute vewenden (ntülich) imme nu Diffeenzenquotienten zw. Summen!

131 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 7 : Integlechnung Die Fläche A wid näheungsweise duch die Summe A n de Rechtecke mit den Flächen A k f( k ) k eechnet: n An?A f( k)? n k k k k De Genzwet fü infinitesiml kleine Intevlle zw. viele Rechtecke egit die whe Fläche A estimmtes Integl von f() zwischen und : A lim A n n lim n n k?ak lim f( k)?k n n k f()d oee Integtionsgenze untee

132 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 7 : Integlechnung Polem Umkehung de Diffeenzition: Zu eine Funktion f() wid eine Funktion F() gesucht, fü die gilt: F () f() Eine solche Funktion heißt Stmmfunktion; sie ist gegeen duch ds sogennnte unestimmte Integl: F() f()d llg. : f()d F() C D eim Diffeenzieen eine Funktion dditive Konstnten wegfllen, ist uch jedes G() F() C (C konst.) eine Stmmfunktion von f()! Ds Integieen ist lso in de Pis imme die Suche nch eine Stmmfunktion des Integnden (ds ist f()!) Ht mn diese gefunden, so knn mn mit ih uch gnz einfch ds estimmte Integl eechnen (ohne Beweis): f()d [ F() ] F() F() Die Integtionskonstnte C fällt hie wegen de Diffeenzildung weg!

133 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 7 : Integlechnung Eigenschften des estimmten Integls: f()d 0 f()d f()d f()d f()d c c f()d Diffeenzition und Integtion: die eiden Opetionen heen sich gegenseitig uf (is uf die Integtionkonstnte); dies folgt unmittel us de Definition de Stmmfunktion. Beweis : f() wid zuest integiet, dnn wiede nch diffeenziet: d d d d d d { f()d} { F() C} F() F () f() Dhe ucht mn nu die in Kp. 6 ngegeenen esten Aleitungen elemente Funktionen umdehen, d.h. die Aleitung y () ls Funktion f() und die Funktion y() selst ls Stmmfunktion F() uffssen, und knn sofot die zugehöigen (unestimmten) Integle ngeen:

134 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 7 : Integlechnung Integle (Stmmfunktionen) elemente Funktionen: Potenzen: d d n C d n n C (n ) (n ): d ln C ( 0 ) Bsp.: 3 3 C d C Tigonometische Funktionen: cos d sin C sin d cos C d tn C d cot C cos sin d csin C d ctn C Eponentilfunktion: e d e C

135 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 7 : Integlechnung Integtionsegeln (Umkehung de Diffeenzitionsegeln): konstnten Fkte voziehen : c f ( )d c Summenegel: f ( ) d { f ( ) g( )} d f ( ) d g( ) d ( 7 ) 8 Bsp.: sin d cos C 8 Ptielle Integtion (us Poduktegel de Diff.): f ( )g ( ) d f ( )g( ) f ( )g( ) d Sustitution (us Kettenegel de Diff.): ( g( t )) g ( t ) dt Bsp.: 3cos d 3sin f f ( ) d; g( t ), d g ( t ) dt C ucht mn in de Pis kum

136 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 7 : Integlechnung Beispiele fü estimmte Integle: 5 5 d 5 5 ) ( ) ( cos 0) ( cos p) ( cos sin d p 0 p 0 Beechnung de Fläche A zwischen den Kuven y und y : Schnittpunkte ( ) ei 0 und ; 0 0 d d A

137 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 7 : Integlechnung Beispiel zu Anwendung von Diffeentil und Integl in de physik. Bescheiung: Asoption von Licht in Mteie I I di I -I epe. Befund: Anhme di de d Intensität ist (ei dünnen Schichten) popotionl zu Länge d und Eingngsintensität I, Popotionlitätsfkto α (Asoptionskonstnte) Diffeentilgleichung : di di di α I d ode : α I( ) zw. α d I( ) Fü dicke Poe (Dicke D >> d): gednklich in viele dünne Schichten zelegen, ufsummieen zw. ufintegieen : I( D ) I( 0 ) di I( D [ ] [ ( )] D [ ( ) ( )] D α d ln I( D) ln I 0 ) 0 ln I D I 0 d ( D) I( 0) ep( D) T (Tnsmission de Poe) I

138 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 8: Reihenentwicklung etc. 8. Reihenentwicklung / Näheungslösungen / Diffeenzilgleichungen Entwicklung von Funktionen in Potenzeihen Polem: Theoie liefet oft funktionle Zusmmenhänge, mit denen es sich unschön echnet ode unte denen mn sich nichts vostellen knn. Hie wid dnn gene mit (unte estimmten Bedingungen gültigen) Näheungsfomeln geeitet, z.b.: 5 f(), 5 ( ) Ws edeutet hieei <<? Fustegel: 0.0 wenn Y <<. Näheung Oiginl Ds Bsp. ist nu die este Odnung, mn knn duch höhee Teme die Genuigkeit de Näheung veessen (im Pinzip elieig) X

139 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 8: Reihenentwicklung etc. Zhleneispiel (Funktion von vohin): ekt: 5 ( ). Odnung:. Odnung: 3. Odnung: K fü kleine Wete ( 0.0) ist schon die este Näheung gut (Aweichung < %), ei gößeen wid es schnell schlechte... Gundsätzlich lssen sich lle Funktionen in eine Reihe von steigenden Potenzen von entwickeln; mn spicht (nch dem Entdecke diese Ttsche) von de sogennnten Tylo-Entwicklung.

140 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 8: Reihenentwicklung etc. Tylo sche Fomel: Jede Funktion f(), die in einem Intevll den Punkt enthält und stetige Aleitungen is einschließlich de (n)-ten Odnung ht, knn fü lle in diesem Intevll nch Potenzen (Potenzfunktionen) de Diffeenz ( ) entwickelt weden gemäß: f ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) f f ( ) K!! nu de Vollständigkeit hle: wenn lim R ( ) 0, n ( ) n f dnn ( n ) ( ) konvegiet die Tyloeihe, d.h. mn knn duch Mitnehmen von imme meh Summnden (höheen Potenzen) die Funktion f() elieig genu nnähen. Fsst mn (-) y ls neue Vile uf und echtet, dss lles ndee Konstnten sind, so sieht mn, dss die Tylo-Fomel eine Potenzeihe dstellt von de Fom: A 0 A y A y A 3 y 3... De häufigste Fll ist die Entwicklung eine Funktion um eine Nullstelle heum, d.h. 0; dfü veeinfcht sich die Tylo-Entwicklung zu: n n! R n ( )

141 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 8: Reihenentwicklung etc. f ( ) f ( 0) ( ) ( ) ( n 0 f 0 f ) ( ) f n 0 K ( McLuin sche Fomel )!! n! Beispiele fü wichtige Reihenentwicklungen: f ( ) e e e ; f ( e! ( n ) f ) ( ) e e! K K 6 f ( ) sin f ( 0 ) 0 Näheung kleine Winkel (c. < 5 ) f ( ) cos f ( 0 ) fü tigonometische Funktionen: f ( f ( K ) sin ) von hie peiodisch sin cos f ( 0 ) 0 f ( 0 ) 5 K sin tn cos gilt so (ntülich) nu fü Winkel im Bogenmß!

142 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 8: Reihenentwicklung etc. Fouie-Entwicklung und Fouietnsfomtion: Jede peiodische Funktion f(t) f(t T) mit de Peiode Tπ/ω knn in eine Summe us tigonometischen Funktionen ( Fouieeihe) entwickelt weden: f ( t) 0 cos(n? t) n n sin(n? t) n n n ist dei gnzzhlig, d.h. eine Fundmentlschwingung und lle ihe hmonischen Oetöne eichen us, jede elieige Fom zu synthetisieen technologisch seh wichtig Umkehung: Fouie-Anlyse mn estimmt Fequenzkomponenten eines zeithängigen Signls, z.b. de Schwingung eine Gitensite; Auch ds menschliche Oh höt nu Fequenzen (ist lso physiklisch gesehen ein Fouie-Anlysto...)

143 Mthemtisch-physiklische Vokus Kpitel 8: Reihenentwicklung etc. uch nicht-peiodische Funktionen lssen sich nlog vom Zeit- ins Fequenzild üesetzen Fouie-Tnsfomtion: F ( t) ( ω) π e iω t dω iω t ( ω) f ( t) e dt π d.h. jede zeithängige Vogng knn uch ls (kontinuieliche) Fequenzveteilung eschieen weden; ds ht z.t. echt fundmentle Konsequenzen ( Heiseneg sche Unschäfeeltion), ist e uch wiedeum technologisch von Bedeutung, v.. im Beeich de Messtechnik.