Motivation: Zentralsymmetrische Felder spielen wichtige Rolle in der Physik. Zwei Beispiele:

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Franziska Acker
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1 .4 Sphäische Koodinten Motivtion: Zentlsymmetische Felde spielen wichtige Rolle in de Physik. Zwei Beispiele: (i) Zwei-Köpe-Polem: Bewegung zweie usschließlich stndshängig wechselwikende Mssen ode Ldungen ei und (ohne äußees Feld) ist uf eine eindimensionle Bewegung zuückfüh Lgnge-Fomlismus ( kommendes Semeste) L(x m, x&, y&, z&, x&, y&, z& ) T U... ( & + & U() ), y, z, x, y, z ) L m & ( ih ) (ii) H-Atom: Ĥ ψ E ψ, Ĥ + U() wid in sphäischen Koodinten enötigt. m m & L + U( 44 m Ueff Tnsfomtion: x sin ϑcos y sin ϑsin z cos ϑ Koodintenlinien, ϑ const vom Uspung usgehende Sthlen: <,,ϑ const zu x-y-eene pllele Keise mit Zentum uf de z-achse: π,, const Hlkeis mit Zentum im Uspung duch z-achse endet: ϑ π. Bechte: Kugelkoodinten - Astnd vom Koodintenuspung Zylindekoodinten - Astnd von de z-achse Bsis e sin ϑcos sin ϑsin, e cosϑ cosϑcos ϑ cosϑsin, e sin ϑ ϑ ϑ sin cos Einheitsvektoen, ϑ -hängig (lso nicht otsfest), e othogonl.

2 Funktionldeteminnte: x (x, y, z) y (, ϑ, ) z sin x ϑ y ϑ z ϑ ϑ sinϑ cos x y z + sin ϑcos sin ϑsin cos ϑ sin ϑ sin + cos ϑcos ϑsin sin ϑ cos cos ϑ sinϑ sin sin ϑsin sin ϑcos + sin ϑ cos sinϑ Volumenelement: d dx dy dz sin ϑ d dϑd geometisch: d d dϑ ( sin ϑ) d Def.: Rumwinkelelement d Ω sin ϑdϑd d d dω Flächenelement d Ω ls Vellgemeineung von Rdius Bogenelement d Rdius Addition lle Rumwinkelelemente egit π π π 4π R Kugeloefläche d Ω sin ϑdϑ d ( cosϑ) π 4π. R Rdius Kugelvolumen (Rdius R) R R d d dω 4π d infin.dünne Kugel V schicht de Dicke d V 4π R 4π R x + y + z R ( sttt d dx dy V dz ) V

3 metische Koeffizienten: g, g, g sin ϑ ϑ Nl-Opeto: e + e ϑ ϑ + e sin ϑ Bem.: D EHV, ϑ -hängig, müssen sie stets links von den Diffeentitionen stehen. Gdient eines kugelsymmetischen Sklfelds: φ() gd φ () φ() e φ () umständliche: φ φ φ dφ dφ x dφ x y z gdφ() ex + ey + ez ex +... ex +... ex + ey + ez φ () x y z d x d d Lplce-Opeto: cos ϑ Δ (...) (...)...Poduktegel egit ϑ sin ϑ ϑ sin ϑ Rdilnteil Winkelnteil kompkt: Δ ( φ) φ φ φ + ϑ ϑ ϑ + ( ) sin sin ϑ sin ϑ Rdilnteil eines kugelsymmetischen Sklfelds Δφ() φ φ + ( φ) φ Mn üepüft z.b. leicht (φ) (φ) φ φ φ + + φ + φ φ φ +

4 . Integle ls Summe üe geeignet gewählte infinitesimle Beitäge. Zu Einneung Geometische Intepettion des estimmten Riemnn-Integls: dx f (x) Fläche "unte" f(x) zwischen und ls Genzwet Δ x de Summe f (x) Δx infinitesiml schmle Steifen f (x) Δ x. Integl ls linee Opeto: dx [ f (x) + βg(x) ] αdx f (x) + β α dx g(x) Stmmfunktion F(x): d F(x) f (x) dx "Huptstz de Integlechnung und Integlechnung": dx f (x) F() F() Integl ls Funktion de oeen/unteen Genze: d d dx f (x) d f () dx f (x) f () d. 4

5 Uneigentliche Integle: dx f (x) : lim dx f (x) Gängige Integtionsmethoden wiedeholen x x(t) t() Vilensustitution: dx f (x) dx f ( x(t) ) t() Ptiluchzelegung ptielle Integtion d cos d cos, d(sin ) cos sin cos d cos. d sin( sin ) d ( cos ), Diffeenzieen nch einem Pmete I dx x e x denn x d x d x d I () dx x e dx e e d d d Integle in symmetischen Genzen: dx f (x), wenn f (x) f ( x) gede dx f (x), wenn f (x) f ( x) ungede 5

6 . Kuvenintegle Beispiele fü Kuvenintegle sind die Aeit ei gekümmte Wegstecke, A d F() (d.h. entlng eine Rumkuve ),, die Länge eine Kuve L ds ode, die Bestimmung des Potenzils eines konsevtiven Kftfelds F() us φ ( ) d F() (wegunhängig). Weden ls Integnden nu Skle und Vektoen zugelssen, sind folgende Typen von Kuveninteglen denk: dsφ(), ds A(), d A(), d A(), d φ() Vogehensweise: Unteteile in Aschnitte de Länge ds d, pmetisiee duch Otsvektoen (t) ( "Bhnkuve" ) mit Anfngs- und End"zeit" t zw. t, summiee üe die infinitesimlen Beitäge t d A d F() dt F dt, t t ( (t) ) dt v(t) F( (t) ) t Gvittionspotenzil Pmetisiee duch Rdilsthl ( λ ) λ e dλ m M U() d F() + γ m M e e γ m M γ (nziehend!) λ λ potenzielle Enegie von m im Punkt ist gleich de zu veichteten Aeit, um m gegen ds von M ezeugte Gvittionsfeld us dem Unendlichen eginnend in zu positionieen. 6

7 Bei de Integtion Symmetien usnutzen: E-Feld E α( y, x, ) Entlng eines keisfömigen Weges (Rdius des Keises R) um die z-achse gilt - d E(), weil nu Beitäge gleich Null ddiet weden. c - c d E() c ds E() E(R) c ds α R πr α πr. Eene Flächenintegle d F Flächen element φ(x, y) x x dx y (x) dy φ(x, y) y (x) 44 4 Steifen (x, x + dx) Die Msse po Fläche eine eenen Glxie nehme exponentiell vom Zentum weg entspechend x + y ( x, y) ρ exp. Um die Gesmtmsse M de Glxie zu ρ estimmen, sind eene Polkoodinten m geeignetsten M F x cos y sin d ρ(x, y) ρ ρ π ρ d dz π (x, y) d e (, ) F d dz x + y d exp πρ d e z z ( e ) π ρ e π ρ. ρ dx π ρ x + y dyexp dz ze z Bem.: Nützlich ist die in diesem Zusmmenhng eknnte Beziehung x (x + y ) I dx e π denn I dx dy e π d e πe π. 7

8 .4 Oeflächenintegle.5 Volumenintegle.6 Dic'sche Delt-Funktion Motivtion/Beispiel: Ziehe eine Msse ode eine Ldung uf eine Fläche, Kuve ode einen Punkt zusmmen, die keine Fläche, Kuve ode Punkt im mthemtischen Sinne sind. Wie knn mn die Mssendichte zw. die Ldungsdichte ufscheien. Anschuliche Definition: Betchte eine "Funktion" δ(x) mit positive Fläche A, welche ei + x uf ein (- ε, ε) Intevll loklisiet ist, woei A dx δ(x) ist. Def.: definieende Eigenschft dx δ (x x) f (x) f (x) vousgesetzt, x x gehöt zum Integtionseeich seh hilfeich ei de Auswetung von Integlen. Bemekung: Diese Definition knn mit ε ε, < x < d ε(x) ε ls, sonst küzende Scheiweise fü die Fltung + ε x + lim dx d (x x ) f (x) lim dx f (x) lim f (x ~ ε ) f (x) ε ε ε ε ε ε ε x Mittelwetstz de Integlechnung f (x) stetig ufgefsst weden. 8

9 Beispiele (i) Ldungsdichte eine eweglichen "Punktldung q" m Ot (t): ρ (, t) q δ( (t)) e (ii) Mssendichte de "flchen" Glxie im oigen Beispiel: ρ () ρ(x, y) δ(z) m (iii) Ldungsdichte eine Hohlkugel (Q, R) in Kugelkoodinten ρ Q ) 4πR e( δ( R) (dmit V d ρ e () 4π d Q 4πR δ( R) Q R d δ( R) Q ) Viele Dstellungen de δ-"funktion" duch gltte Funktionen ( zeichne (x) + δ und üepüfe dx δ(x) ) (i) x ε ( x) e δ Guss-Veteilung mit Vinz/Beite ε ε π + x ε I dx e dz ε e ε π ε π + z π π ε (ii) δ (x), ε π x + ε (iii) Theoie de Fouie-Tnsfomtion: Fü stetige und qudtisch integle f(x) i kx kx f (x) dk g(k) e, g(k) dx f (x) e i lso π π f (x) π dx f (x ) dk e i k (xx ), zw. δ(x x) π dk e i k (xx ) 9

10 Nützliche Eigenschften δ ( x) δ( x), δ ( x) δ(x), f (x) δ (x) f () δ(x), z.b. x δ(x) δ( f (x)) δ(x x n ), woei x n die Nullstellen von f(x) n f (x) δ (x ) [ δ(x ) + δ(x + ) ] x n dx δ (x ) δ(x ) δ( ) (Def.) δ( ) δ(x) δ(y) δ(z), d δ(), zw. V d δ(, ) wenn in, sonst V zw.: d δ( )f () f ( ) fü elieige stetige und integiee f() sowie V. V Stufenfunktion (θ - Funktion) Im Zusmmenhng mit de δ - Funktion fühen wi die sogennnte θ - Funktion ein: x, x < d θ(x) Def.: dt δ(t) : θ(x), δ(x), x > dx Dstellungen de θ - Funktion egeen sich us denen fü die δ - Funktion ε d x x z.b. ctn θ(x) + ctn, ε π x + ε dx π ε π ε

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