Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2013/14 Blatt

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1 Übungen zu Ingenieu-Mathematik III WS 3/4 Blatt 7..4 Aufgabe 38: Betachten Sie eine Ellipse (in de Ebene) mit den Halbachsen a und b und bestimmen Sie die Kümmung in den Scheitelpunkten. Lösung:Eine Paametisieung diese Ellipse ist: { x a cos(θ) Dies egibt den Tangentialvekto ( ) x(θ) am Punkt M. y(θ) Die Ableitung von t nach θ ist t t θ y ( x ) θ y θ ( x θ y θ b sin(θ) ) ( ) a sin(θ) b cos(θ) ( ) a cos(θ) b sin(θ) und nach de Volesung ist die Kümmung an M definiet als ( ) 3 t κ(m) κ(θ) t θ t ab t a sin (θ) + b cos (θ) 3 ab a y + b b x a 3, weil sin(θ) y b und cos(θ) x a. Die Scheitelpunkte diese Ellipse sind ( ) ( a a A, A ), B ( ) ( ), B b. b Die entspechende Kümmungen sind κ(a ) κ(a ) a b und κ(b ) κ(b ) b a.

2 Aufgabe 39: Betachten ( ) wi einen Keis vom Radius, de mit de Geschwindigkeit v die x-achse entlang ollt. Es sei P dejenige Punkt, mit dem de Keis den Koodinaten-Uspung beüht. a) Geben Sie eine Paametisieung de Kuve an, die P duchläuft. b) Zu welchem Zeitpunkt und wo beüht de Punkt P zum zweiten Mal die x-achse? c) Beechnen Sie die Bogenlänge de Kuve, entlang dee sich de Punkt P bis zu zweiten Beühung entlang bewegt hat. Tipp: cos(α) sin (α) Lösung: ( ) ( ) a) Sei G de Mittelpunkt dieses Keises und G(t) G + vt + t die Paametisieung de Bewegung von G, wobei t die Zeit ist. ( ) sin(ωt) P otiet um G und daaus kann man X G als X G cos(ωt) paametisieen, dabei ist ω die Winkelgeschwindigkeit, die sich als ω egibt. Dies wid anschaulich kla, wenn man sich übelegt, dass bei gleiche Geschwindigkeit ein halb so goße Keis doppelt so oft otiet. Damit schließen wi, dass die Paametisieung von X sich scheiben lässt als ( ) ( ) ( t sin( X(t) + + t) ) ( ) ( t sin( cos( t) t) ) cos( t). b) De Punkt P beüht imme dann die x-achse, wenn die y-komponente von X(t) gleich Null ist, das heißt wenn ( ) cos t ( ) cos t t πj mit j N t πj mit j N. Zu Zeit t beüht de Punkt P die x-achse also zum esten Mal und die zweite Beühung findet zu Zeit t π statt.

3 c) Die Bogenlänge de Kuve, entlang dee sich de Punkt P von de esten bis zu zweiten Beühung mit de x-achse bewegt hat, beechnet sich wie folgt: s(π) Ẋ(ξ) dξ ( ( cos ξ) ) sin ( ξ) dξ ( ( ( )) ( ) ) cos ξ + sin ξ ( ( )) cos ξ dξ ( ) cos ξ dξ ( sin ( ξ )) dξ sin ( ξ ) dξ. dξ Da sin ( ξ) fü ξ [, π] gilt ( ) s(π) sin ξ dξ ( ) π 4 cos ξ 4 ( ) 8.

4 Aufgabe 4: In diese Aufgabe soll gezeigt weden, dass de beste Looping in eine Achtebahn ein Klothoiden-Looping ist. Eine Klothoide ist eine Kuve x : [, b] R mit de Eigenschaft, dass die Kümmung an jedem Punkt popotional zu Länge bis zu diese Stelle ist. Das folgende Bild zeigt den Übegang von eine Geaden zum Keis mit eine sogenannten Klothoiden im allgemeinen Fall (aus De Looping besteht also aus einem Keisbogen und zwei Klothoiden, an den Übegangsstellen zum Keisbogen bzw. zu Geaden stimmen die Ableitungen bis zu Odnung übeein. Wi nehmen zusätzlich an, dass sowohl de Achtebahnzug als auch die Fahgäste einen einzigen Massenpunkt bilden und es wede Reibung noch Luftwidestand gibt (Einneung: g 9.8 m s ). a) Beechnen Sie den Radius R und die Kümmung κ Keis des Keisbogens, wenn man davon ausgeht, dass die Fahgäste bei eine Geschwindigkeit von m im obeen Punkt schweelos sind. s b) Die Klothoide x efüllt folgende Bedingungen: x(), ẋ() e und κ(t) A t. Zeigen Sie, dass die Gleichung de bogenlängenpaametisieten Klothoide folgendemaßen gegeben ist: ( ) t x(t) cos s A ( ds. () s sin A ) c) Sei im Folgenden A R. Was ist die Länge eine de beiden Klothoiden bis zum Beühpunkt mit dem Keis? Lösung: d) Geben Sie die Taylo-Entwicklung de Klothoiden mit Restglied O(t 4 ) um den Uspung an.

5 a) Es gilt R v g ( m s ) 9,8 m s 4.77m und fü die Kümmung κ R.45 m. b) Aus den Annahmen folgt ẋ(t) (cos(φ(t)), sin(φ(t))) T mit φ() und ẍ(t) φ(t) t. Es egibt sich φ(t) t und damit die Gleichung. A A c) Im Beühpunkt gilt κ Klothoide (t) κ Keis, also (R/) t R und damit t R 4, 9m. d) Aus den Annahmen folgt ẋ () und ẍ () ẋ () ẍ (). Weitehin gilt wegen b) ( )... sin(φ(t)) φ(t) cos(φ(t))( φ(t)) x (t) cos(φ(t)) φ(t) sin(φ(t))( φ(t)) also... x () und... x (). Dahe gilt x A (t) t + O(t 4 ) und x (t) t 3 + O(t 4 ). 6A Fü weitee Infomationen siehe Rollecoaste loop shapes Aufgabe 4: Bestimmen Sie mit eine Pogammiespache Ihe Wahl das Integal in Gleichung () aus Aufgabe 4 fü t Beühpunkt aus 4c), indem Sie die Sinus- bzw. Kosinus-Reihe bis zu Odnung, 4, 6, 8 komponentenweise integieen. Vegleichen Sie Ihe Egebnisse mit den exakten Weten x x und de Taylo-Entwicklung aus 4d). Lösung:Die Fomeln fü die Sinuseihe und die Kosinuseihe sind sin(x) x 3! x3 + 5! x und cos(x)! x + 4! x Integiet man diese Reihen komponentenweise und wetet das Integal bei t R 4 bis zu Odnung n, 4, 6, 8 aus, so egibt sich folgendes: 9.8 Iteation Integal des Kosinus absolute Fehle Iteation Integal des Sinus absolute Fehle

6 Absolute Fehle bzgl. Taylo (Kosinus): Absolute Fehle bzgl. Taylo (Sinus): Man ekennt, dass de absolute Fehle sowohl bei de Taylo-Entwicklung als auch bei de komponentenweisen Integation de tigonometischen Reihen gegen konvegiet. Matlab-Code: c l e a a l l ; c l o s e a l l ; c l c ; t / 9. 8 ; A / 9. 8 ; %E x a k t e Wete X A; Y A; f p i n t f ( Exakte Wete : x%.6 f y%.6 f \n,x,y) ; f o l : : 8 i f l xt ; e l s e xx+( ) ˆ( l /) (/ f a c t o i a l ( l ) ) ( ( / ( Aˆ) ) ˆ l ) /( l +) t ˆ( l +) ; end f p i n t f ( I n t e g a l des Kosinus nach I t e a t i o n %. f : %.6 f A b s o l u t e F e h l e : %.6 f \n, l, x, abs ( x X) ) ; end x ; f o l : : 7 xx+( ) ˆ ( ( l ) /) (/ f a c t o i a l ( l ) ) ( ( / ( Aˆ) ) ˆ l ) /( l +) t ˆ( l +) ; f p i n t f ( I n t e g a l des S i n u s nach I t e a t i o n %. f : %.6 f A b s o l u t e F e h l e : %.6 f \n, l, x, abs ( x Y) ) ; end %T a y l o fpintf ( Absolute Fehle bzgl. Taylo ( Kosinus ) : %.6 f \n, abs ( t X) ) ; f p i n t f ( A b s o l u t e F e h l e b z g l. Taylo ( S i n u s ) : %.6 f \n, abs ( ( t ˆ3) /(6 Aˆ) Y) ) ;

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