Übungsblatt 1 Geometrische und Technische Optik WS 2012/2013

Transkript

1 Übungsblatt 1 Geometrische und Technische Optik WS 2012/2013 Gegeben ist eine GRIN-Linse oder Glasaser) mit olgender Brechzahlverteilung: 2 2 n x, y, z n0 n1 x y Die Einheiten der Konstanten bzw. n 1 sind [ ]=1 und [n 1 ]=m -2. a) Berechnen Sie mit Hile der Strahlgleichung in inhomogenen Medien den Strahlverlau in einem solchen Medium, wobei die optische Achse die z-achse sei und nur paraxiale Strahlen betrachtet werden, so dass x und y nur kleine Werte annehmen düren und immer 2 2 gilt n1 x y n0. b) Welches Vorzeichen muss n 1 ür >0 haben, damit Licht mit Hile des Elements geührt werden kann? c) Berechnen Sie die paraxiale 2x2-Matrix dieses Elements und überlegen Sie sich, wann dieses Element eine reelle Abbildung erzielen kann. d) Für die Abbildung mit GRIN-Linsen sind besonders die beiden Fälle mit Abbildungsmaßstab +1 oder 1 interessant. Was muss ür diese gelten?

2 224 KAPITEL 9. WELLENOPTISCHE SIMULATION OPTISCHER SYSTEME hat. Der Restehler nach Korrektur durch die Transmissionsunktion mit Phasenunktion aus Gleichung 9.4.3) lautet also: y, z) n) d 2πinx, cos θ 1) t Rest x, y, θ) = e λ 9.4.7) Im paraxialen Bereich mit kleinen Winkeln θ sind die Fehler also relativ klein cosθ 1 θ 2 /2), bei großen Winkeln wird es aber immer ungenauer. Außerdem muss die Dierenz nx, y, z) n klein sein, weshalb man auch die mittlere Brechzahl n als Bezug wählt. Eine weitere Berücksichtigung der Richtungsabhängigkeit kann nur im Ortsrequenzraum geschehen und dies passiert erst bei der im nächsten Abschnitt 9.5 zu behandelnden WPM Geschwindigkeit des Verahrens Für jede Freiraumausbreitung mit der Planwellenmethode müssen zwei FFTs durchgeührt werden, die die meiste Zeit in Anspruch nehmen. Weiterhin müssen die mittlere Brechzahl in jeder Scheibe und die Korrektur durch die Transmissionsunktion berechnet werden. Da jede FFT bei N x N y Stützstellen N x log 2 N x )N y log 2 N y ) Rechenoperationen benötigt, und noch die vielen Scheiben gerechnet werden müssen, ist die Rechenzeit relativ hoch. Bei normalen Linsen aus einem homogenen Material bringt die BPM gegenüber der im nächsten Abschnitt zu besprechenden WPM kaum Geschwindigkeits Vorteile und ist im nicht paraxialen Bereich deutlich ungenauer. Bei Gradientenindex Optik ist sie aber wesentlich schneller als die WPM, wie wir noch sehen werden Beispiel: Simulation einer GRIN Linse Geometrisch optische Betrachtung Als Beispiel zur Demonstration der BPM bietet sich die Simulation einer GRIN Linse mit der Brechzahlverteilung nr) = n 1 r ) an, wobei r = x 2 + y 2 der Abstand von der optischen Achse ist. Um die spätere Simulation zu verstehen, sollen zuerst ein paar geometrisch optische Betrachtungen zu GRIN Linsen angestellt werden. In der geometrischen Optik gilt in GRIN Medien die Strahldierentialgleichung 2.2.2). In unserem Fall gilt also ür den Ortsvektor r, der die Bahnkurve des Strahls als Funktion der Bogenlänge s beschreibt: d n dr ) = n = ds ds 2n 1 x 2n 1 y ) Aus der z Komponente der Gleichung olgt: d n dzs) ) = 0 n dzs) ds ds ds = const. z = s ) Im letzten Schritt wurde dabei die paraxiale Näherung n verwendet, die ür kleine Abstände von der optischen Achse mit guter Näherung gilt, und die Integrationskonstanten wurden so

3 9.4. BEAM PROPAGATION METHOD 225 gewählt, daß die Bogenlänge identisch zur z Koordinate wird. Dies ist natürlich keine willkürliche Wahl der Integrationskonstanten, sondern z könnte sich im paraxialen Fall von s höchstens durch eine additive Konstante unterscheiden, die hier Null gesetzt wurde. Damit olgt ür die beiden verbleibenden Komponenten der Strahldierentialgleichung wiederum unter der Näherung n, wobei hier nur die x Komponente ausgewertet wird, da Analoges ür die y Komponente gilt: xz) dz 2 = 2n 1 xz) xz) = acos ) z + b sin ) z ) a und b sind die beiden Integrationskonstanten. Der Strahl bewegt sich also au einer periodischen Sinus bzw. Cosinus artigen Kurve. Die Periode p einer vollständigen Schwingung des Strahls ist: p = 2π p = 2n0 n 1 π ) Die Bedeutung der beiden Integrationskonstanten a und b wird klar, wenn wir den Beginn der GRIN Linse au z = 0 legen. Dann gilt: x 0 = x0) = a ) und ϕ z) = dx dz = [ ) )] asin z + b cos z ϕ 0 = ϕ 0) = b ) Dabei wurde verwendet, daß in der paraxialen Näherung ür die Steigung dx/dz = tanϕ ϕ gilt, wobei ϕ der Strahlwinkel innerhalb des GRIN Mediums mit der Brechzahl n ist, da die Variationen der Brechzahl in der paraxialen Näherung nur beim Gradienten berücksichtigt werden. ϕ 0 ist der Strahlwinkel des einallenden Strahls unmittelbar hinter der Grenzläche der GRIN Linse. Berücksichtigen wir noch die Brechung an der Grenzläche der GRIN Linse unter der Annahme, daß der einallende Strahl den Strahlwinkel in Lut bzw. Vakuum hat, so gilt wiederum in paraxialer Näherung: = ϕ 0 b = 2n0 n ) Fällt eine ebene Welle unter dem Winkel au die GRIN Linse, so daß b ür alle Strahlen den gleichen Wert hat, so gilt unabhängig vom Abstand x 0 = a des Strahls von der optischen Achse in der Ebene z = p/4: π π xp/4) = acos + b sin = b = 2) 2) ) 2n0 n 1 Es bildet sich also ein Fokus im lateralen Abstand / 2 n 1 von der optischen Achse. Weitere Foki der Strahlen treten auch nach den Distanzen z = mp + p/4 bzw. z = mp + 3p/4 au, wobei m eine ganze Zahl ist. Nach der Distanz z = p/2 hat der Strahl eine halbe Periode durchlauen, so daß er nun die invertierten Strahlparameter xp/2) = x 0 und ϕ p/2) = ϕ 0 hat. Es sollte sich also eine ähnliche, wenn auch an der optischen Achse gespiegelte Intensitätsverteilung wie am Anang der Linse ergeben. Nach der Distanz z = p ist alles wieder wie am Anang. Analoges gilt ür Abstände mp/2 mit ganzzahligem Wert m.

4 226 KAPITEL 9. WELLENOPTISCHE SIMULATION OPTISCHER SYSTEME Interessant ist auch noch die Berechnung der numerischen Apertur im Fokus. Dazu wird die Ableitung dx/dz = tanϕ sin ϕ am Ort z = p/4 berechnet, wobei wieder die paraxiale Näherung verwendet wird, so daß sinϕ tanϕ gilt. Es ergibt sich: NA = sin ϕ dx = dz = r max 2n0 n 1 = 2 n ) z=p/4,a=rmax wobei hier a = r max der maximale Abstand eines Strahls zur Achse ist und n = n0) nr max ) = n 1 r 2 max die Brechzahldierenz zwischen Achse und Rand der Apertur ist. Die numerische Apertur einer GRIN Linse im Fokus hängt also im wesentlichen von der Quadratwurzel der Brechzahldierenz n zwischen Achse und Rand ab. Wenn man in einem Material eine maximale Brechzahldierenz von n = 0.1 erreicht und = 1.5 beträgt, so würde rein rechnerisch eine numerische Apertur vo.55 olgen. Natürlich düren wir dann nicht mehr paraxial rechnen, so daß dieser Wert nicht exakt ist und nur als Anhaltspunkt zu nehmen ist. Er zeigt aber, daß mit GRIN Linsen auch recht hohe numerische Aperturen erreicht werden können. Der GRIN Linse kann wegen Gleichung ) auch ein Parameter zugeordnet werden, der im Fall einer Linse mit einer Länge p/4 auch gleich deren Brennweite ist: Es gilt also auch p = 2π. = xp/4) = b = Paraxiale Matrix einer GRIN Linse 1 2n0 n ) Zusammenassend kann unter Verwendung der Gleichungen ),9.4.13),9.4.14),9.4.15) und ) ür die laterale Koordinate x und den Strahlwinkel ϕ bezogen au Lut, also außerhalb der GRIN Linse) geschrieben werden: ) ) xz) = x 0 cos z + sin z ) ϕz) = x ) ) 0 sin z + cos z ) Unter Verwendung der Abkürzung α = 2n 1 / z lässt sich daraus eine paraxiale Matrix Beziehung konstruieren: ) ) ) ) x x0 cos α sin α x0 = M ϕ GRIN = ) sinα/ cos α Wenn z gleich der Länge der GRIN Linse ist, so verbindet die Matrix M GRIN die Strahlhöhe x und den Strahlwinkel ϕ unmittelbar hinter der GRIN Linse mit den Größen x 0 und unmittelbar vor der Linse. Die paraxiale Matrix M von einer Ebene im Abstand d 1 vor der GRIN Linse bis zu einer Ebene im Abstand hinter der GRIN Linse lautet dann: ) ) 1 d2 cos α sinα = ) 1 d sinα/ cos α cos α sin α d 1 cos α + sin α + cos α d 1 sin α 1 sinα cos α d 1 sinα = ) ) )

5 9.4. BEAM PROPAGATION METHOD 227 Interessant ist nun zu berechnen, wann eine Abbildung von der ersten Ebene zur zweiten Ebene stattinden kann. Dabei werden wir uns au die beiden Fälle α = mπ bzw. α = 2m+1)π/2 mit m N 0 beschränken. Im ersten Fall α = mπ gilt: 1) m 1) m ) d 1 + ) 0 1) m ) Damit ist keine reelle Abbildung B = 0) möglich, es sei denn mit Abständen d 1 = = 0. Dieser Fall ist aber nicht interessant, da dann Objekt und Bild in unmittelbarem mechanischen Kontakt zur GRIN Linse sein müssten. Im zweiten Fall α = 2m + 1)π/2 gilt: ) ) 1) m 1) m d ) 1)m 1) m d 1 Eine reelle Abbildung liegt also vor bei: Für einen allgemeinen Abbildungsmaßstab β gilt weiterhin: B = 0 d 1 = 2 d 1 = ) β = A = 1) m ) Da > 0 und > 0 gelten, gibt es ür β > 0 nur Lösungen, wenn m ungerade ist kleinster Wert m = 1 α = 3π/2 bzw. z = 3p/4), und ür β < 0 nur Lösungen ür gerades m kleinster Wert m = 0 α = π/2 bzw. z = p/4). In beiden Lösungs Fällen gilt also: = β d 1 = 2 = β ) Um z.b. eine 1:1 Abbildung mit Abbildungsmaßstab β = +1 zu erhalten, muss d 1 = = gelten und m muss ungerade sein. Das kleinste m ist also eins und die Länge z der GRIN Linse ist in diesem Fall z = 3p/4. Ein Objekt im Abstand vor der GRIN Linse wird also durch eine GRIN Linse der Länge 3p/4 mit Abbildungsmaßstab +1 au eine Ebene im Abstand hinter der GRIN Linse abgebildet. Soll das Bild umgedreht sein, also β = 1, so gilt auch d 1 = =, aber die GRIN Linse muss die Länge p/4 oder p/4 + kp, k N) haben. Damit haben wir die wichtigsten Kenngrößen einer GRIN Linse bestimmt und können die numerische Simulation beginnen Numerische Simulation mit der BPM Die Beleuchtung der GRIN Linse geschehe zuerst mit einer on axis ebenen Welle, die mit Hile einer Blende au einen Durchmesser vo.2 mm abgeschnitten wird, so daß r max = 0.1 mm gilt. Die Wellenlänge sei λ = 0.5 µm. Die Parameter der GRIN Linse seien = 1.5 und n 1 = 0.1 mm 2. Mit den oben angegebenen Gleichungen ür eine GRIN Linse erhalten wir p = 17.2 mm und NA = Die Simulation mit der BPM wird eindimensional durchgeührt, damit die