Übungen zu Numerische Mathematik (V2E2) Sommersemester 2008

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1 Übungen zu Numerische Mathemati (V2E2) Sommersemester 2008 Prof. Dr. Martin Rumpf Dr. Martin Lenz Dipl.-Math. Nadine Olischläger Übungsblatt 1 Abgabe: 24. April 2008 Aufgabe 1 Zur Berechnung der Quadratwurzel einer Zahl löst man die Gleichung f (x) := x 2 c = 0. Eine Gleitommazahl c wird im Rechner durch die Mantisse a und Exponent p N dargestellt: c = a 2 p mit 0.5 < a 1. Geben Sie ausgehend von dieser Darstellung ein Verfahren zur Berechnung der Quadratwurzel an das auf einem Vorverarbeitungsschritt der Mantisse und einer anschließenden Newton-Iteration besteht. Es gilt c = {2 m a falls p = 2m 2 m a 0.5 falls p = 2m 1 wobei 0.5 < a 1. Wird 0.5 gesondert berechnet und auf die erforderliche Anzahl von Ziffern gespeichert so bleibt nur noch das Problem f (x) := x 2 a = 0 für a (0.5 1] zu lösen. Da f (x) = 2x = 0 für x (0.5 1) ist das Newton-Verfahren anwendbar und wir erhalten als Iterationsfuntion φ(x) = x f (x) f (x) = x x2 a = x x 2x 2 + a 2x = 1 ( x + a ) 2 x

2 also die Newton-Iteration x +1 := 1 ) (x 2 + ax. Aufgabe 2 Betrachten Sie das folgende Verfahren zur Nullstellensuche von Polynomen: Sei p n (x) = x n + a n 1 x n a 1 x a 0 ein Polynom mit reellen Koeffizienten. Für ein gegebenes quadratisches Polynom q rs (x) = x 2 rx s erhält man durch Polynomdivision p n (x) = q rs (x)p rsn 2 (x) + A(r s)x + B(r s) wobei A B und die Koeffizienten von p rsn 2 von den Parametern r und s abhängen. Falls A(r s) = B(r s) = 0 so ann man darüber zwei Nullstellen von p n bestimmen. Geben Sie ein Newton-Verfahren an das diese Eigenschaft verwendet um Paare reeller oder omplex onjugierter Nullstellen von p n zu finden. Zur Berechnung der Jacobimatrix betrachten Sie die beiden Gleichungen p n (x) = q rs (x)p rsn 2 (x) + A(r s)x + B(r s) (1) p rsn 2 (x) = q rs (x)p rsn 4 (x) + Â(r s)x + ˆB(r s). (2) Zeigen Sie dass dann A(r s) = Â(r s) A(r s) = râ(r s) + ˆB(r s) B(r s) B(r s) solange die beiden Nullstellen von q rs verschieden sind. = ˆB(r s) = sâ(r s) ( ) ( ) r +1 r = s +1 s ( A(r s ) B(r s ) A(r s ) B(r s ) ) 1 ( A(r s ) B(r s ) definiert ein Newtonverfahren zur Bestimmung einer Nullstelle (r s) von A und B. Aus r und s lassen sich dann zwei reelle oder omplex onjugierte Nullstellen von q rs berechnen die (da A(r s) = B(r s) = 0) auch Nullstellen von p n sind. Differenziert man (1) nach r und s so erhält man 0 = r p n (x) = q rs (x) r p rsn 2 (x) xp rsn 2 (x) + r A(r s)x + r B(r s) 0 = s p n (x) = q rs (x) s p rsn 2 (x) p rsn 2 (x) + s A(r s)x + s B(r s). )

3 Schreiben wir xp rsn 2 (x) = q rs (x) r p rsn 2 (x) + r A(r s)x + r B(r s) (3) p rsn 2 (x) = q rs (x) s p rsn 2 (x) + s A(r s)x + s B(r s) (4) so hat (4) die Form von (2) und wir erhalten durch Koeffizientenvergleich die Ableitungen nach s. Zur Berechnung der Ableitungen nach r seien x 1 und x 2 die Nullstellen von q rs. Aus (2) erhalten wir p rsn 2 (x 12 ) = Â(r s)x 12 + ˆB(r s). Setzen wir dies in (3) ein so ergibt sich x 12 (Â(r s)x 12 + ˆB(r s)) = r A(r s)x 12 + r B(r s). Sofern x 1 = x 2 ist dieses Gleichungssystem eindeutig lösbar und als en ergeben sich die Formeln für die Ableitungen nach r. Dabei ist x 1 + x 2 = r und x 1 x 2 = s. Aufgabe 3 Bestimmen Sie die Nullstellen von p n (z) := z n 1 für n gerade mit dem omplexen Newton-Verfahren: z +1 = Φ(z ) := z p n(z ) p = n(z ) Es sei L(s) := {te i π n s t R} 0 s < n. 1. Zeigen Sie z L(s) z +1 L(s) für ganzzahlige s. 2. Fertigen Sie eine Sizze an in der Sie das Konvergenzverhalten darstellen. Berechnen Sie K(s) := L(s) {z Φ (z) < 1} und alle Fixpunte von Φ auf L(s) für s = n 1 und s = n Sei z = t e i π n s 0 s < n s ganzzahlig. Dann gilt z +1 =z zn 1 n z (n 1) =t e i π n s tn ei π n s n 1 n t (n 1) =t e i π n s t n ei π n s + 1 ( = t t n e i π(n 1) n s ) e i π n s + 1 nt (n 1) e i π n s(1 n) nt (n 1) e i( π n s π s)

4 Wenn s gerade ist ergibt sich für den letzten Term da die e-funtion 2π Z periodisch ist e i( π n s πs) =e i( π n s πs+2π s 2 ) =e i π n (s ns+ns) =e i π n s. Falls s ungerade ist dann erhält man wegen der Periodizität und da e iπ = 1 ist dass e i( π n s πs) = e iπ e i( π n s πs) = e i(π+ π s 1 n s πs+2π 2 ) = e i π n s In beiden Fällen liegt z +1 somit auch in L(s): ( z +1 = t t ( ) + 1 n ) nt (n 1) e i π n s Aufgabe 4 Das Einheitsquadrat Ω = [0 1] 2 sei durch ein regelmäßiges Gitter der Maschenweite h = 1/N disretisiert. Für Gitterfuntionen u h auf Ω h sei mittels E[u h ] := 1 + ( h xu h ) 2 + ( yu h h ) 2 dx Ω eine Approximation der Fläche des Graphen von u h definiert wobei die stücweise onstante Approximation der Ableitungen von u h auf jedem Quadrat [x i x i+1 ] [y j y j+1 ] durch Differenzenquotienten der Form h xu h = 1 2h ( u h(x i y j ) u h (x i y j+1 ) + u h (x i+1 y j ) + u h (x i+1 y j+1 )) h yu h = 1 2h ( u h(x i y j ) + u h (x i y j+1 ) u h (x i+1 y j ) + u h (x i+1 y j+1 )) gegeben sei. Entwiceln Sie ein Newtonverfahren das zu gegebenen Randwerten u h = g h auf Ω h die Fläche E[u h ] minimiert. Tipp: Stellen Sie E als Summe über Flächenstüce A ij dar. Geben Sie notwendige Bedingungen zur Minimierung in Bezug auf die Koeffizienten u ij = u h (x i y j ) an.

5 Zur Berechnung der Iterationsmatrix ist es hilfreich eine einfache Bezeichnung für benachbarte Freiheitsgrade zu wählen. Man interpretiert E als Funtion von R (N 1) (N 1) nach R (d. h. die feststehenden Randwerte sind eine Freiheitsgrade). Zur Minimierung betrachtet man die notwendige Bedingung E[U] = 0. Nun betrachtet man einen Eintrag von E und verwendet dazu die folgende Notation: Der Wert von u h am entsprechenden Knoten sei mit u M bezeichnet die acht Nachbarn entsprechend der Richtungen mit u N u NO u O u SO... und die Flächenapproximation h ( h xu h ) 2 + ( h yu h ) 2 der vier angrenzenden Flächenstüce mit A NO A SO... Dann ist um E = um A = 1 u M u 2 h2. A {NOSOSWNW} {NOSOSWNW} Dies sind die Komponenten der vetorwertigen Funtion deren Nullstelle gesucht wird. Wir müssen also noch deren Jacobimatrix (d. h. die Hessesche von E) berechnen dabei erhalten wir um um E = 1 2h 2 + (u (y) u (x) ) 2 4 h4 (yx) {NOSOSWNW} A 3 (yx) ( uw um E = 1 (um u SW )(u S u W ) 4 h4 A 3 SW usw um E = 1 4 h4 2h2 + (u S u W ) 2 A 3 SW + (u M u NW )(u N u W ) A 3 NW ) sowie analoge Ergebnisse (die sich diret aus Symmetrieüberlegungen gewinnen lassen) für die Ableitungen nach den anderen diret oder diagonal benachbarten Komponenten. In allen Fällen gilt: Die Werte von u h an inneren Gitterpunten ergeben sich aus der atuellen Position im R (N 1) (N 1) Werte die zu Randnoten gehören sind gegebene Konstanten. Daher treten insbesondere eine Ableitungen nach Funtionswerten auf dem Rand auf. Ein letzter wesentlicher Punt ist die Wahl der Anordnung der Gitterpunte. Verwendet man die übliche lexiographische Sortierung so ergibt sich (aufgrund der obigen Überlegung welche zweiten Ableitungen tatsächlich relevant sind) eine Matrix mit der Besetztheitsstrutur

6 wobei jeweils für eine (N 1) (N 1)-Tridiagonalmatrix steht.