Komplexe Zahlen. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d) (a, b) (c, d) := (a c b d, a d + b c)

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1 Komplexe Zahlen Wir betrachten Zahlenpaare (a, b, (c, d R und definieren eine Addition und eine Multiplikation wie folgt: (a, b + (c, d := (a + c, b + d (a, b (c, d := (a c b d, a d + b c Satz: R mit dieser Addition und Multiplikation erfüllt alle Körperaxiome. Dabei ist (0, 0 das additive Neutralelement und (1, 0 das multiplikative Neutralelement. Das ( additive Inverse zu (a, b ist ( a, b und das multiplikative Inverse zu (a, b = (0, 0 ist a b,. a +b a +b Definition: Den obigen Körper der komplexen Zahlen nennen wir C. Bemerkung: Wir finden die reellen Zahlen in den komplexen Zahlen wie folgt wieder: Wir betrachten die komplexen Zahlen (a, 0 und (b, 0 mit a, b R. Dann ist mit der komplexen Addition und Multiplikation: (a, 0 + (b, 0 = (a + b, 0 und (a, 0 (b, 0 = (a b 0 0, a b = (a b, 0 Wenn wir 1 = (1, 0 und i = (0, 1 definieren, so läßt sich jedes Paar (a, b eindeutig schreiben als (a, b = a (1, 0 + b (0, 1 = a 1 + b i = a + b i Es ist i = (0, 1 (0, 1 = ( 1, 0 = 1. In dieser Schreibweise erhalten wir für die Addition und Multiplikation: a + b i + c + d i = a + c + (b + d i (a + b i (c + d i = a c b d + (a d + b c i Fazit: Wir können mit komplexen Zahlen im wesentlichen so rechnen, wie wir es gewohnt sind (unter Berücksichtigung von i = 1. Bemerkung: Der Körper der komplexen Zahlen kann nicht angeordnet werden. In einem angeordneten Körper gilt a + b = 0 a = b = 0. In C gilt allerdings i + 1 = 0 und i, 1 = 0. Definition: Für eine komplexe Zahl z = a + b i C mit a, b R definieren wir die konjugiert komplexe Zahl z := a b i, den Realteil Re(z := a R, den Imaginärteil Im(z := b R, den Betrag z := a + b Lemma : Sei z, z 1, z C. Dann gilt: z 1 + z = z 1 + z. z 1 z = z 1 z z R z = z

2 z = z Grund: Ist z 1 = a + bi, z = c + di, so ist z 1 + z = a + bi + c + di = a + c + (b + di = a + c (b + di = a bi + c di = z 1 + z und z 1 z = (a bi (c di = ac bd (ad + bci = z 1 z. Die beiden restlichen Aussagen sind klar. Folgerung: Ist f (x = n k=0 a k x k ein Polynom mit reellen Koeffizienten a k R und ist z C eine Nullstelle von f (x, also f (z = 0, so gilt: 0 = f (z = f (z = n a k z k = k=0 n a k z k = k=0 n a k z k k=0 Also ist mit z auch z eine Nullstelle von f (x. Komplexe Nullstellen von reellen Polynomen treten also immer paarweise auf. Lemma: Sei z = a + b i, z 1, z C. Dann gilt: z = z z, z 1 z = z 1 z. z = a + b Re(z = z + z, Im(z = z z i Grund: Für z = a + bi ist z z = (a + bi (a bi = a + b und z 1 z = z 1 z z 1 z = z 1 z 1 z z = z 1 z Definition: Der Abstand zweier komplexer Zahlen z 1 = a 1 + b 1 i und z = a + b i ist z 1 z = (a 1 a + (b 1 b Lemma: Sind z 1, z C,so ist z 1+z der Mittelpunkt von z 1 und z. Grund: Zunächst ist z 1+z von z 1 und z gleich weit entfernt: z 1+z z 1 = z z 1 und z 1+z z = z 1 z. Und genauer ist: z 1 + z z 1 = z 1+z z 1 = z 1+z Satz: Der Mittelpunkt der Hypothenuse eines rechtwinkeligen Dreiecks ist von allen Eckpunkten des Dreiecks gleich weit entfernt. Grund: Seien o.e. die komplexen Zahlen 0, a und bi die Eckpunkte des Dreiecks. Dann ist der Hypothenusenmittelpunkt a + bi

3 Als Mittelpunkt ist er natürlich von den Punkten a und bi gleich weit entfernt. Dieser beträgt a+bi a = bi a 1 = 4 (a + b Der Abstand zu 0 ist a + bi Satz: Jedes Element von C ist ein Quadrat. 0 1 = 4 (a + b Grund: Sei z = a + bi C. Dann ist ( z + a z a + i = z Warum diese Multiplikation? Wenn wir fordern, daß R mit einer Multiplikation zu einem Körper wird und z 1 z = z 1 z für alle z 1, z R gilt. dann erhalten wir: 1 = i = = 1 und i = i = = 1 Weiter ist 1 ± i = 1 ± 1 i = = Nun ist: i = a + b i Wegen i = i i = 1 1 = 1 ist a + b = 1 Wegen der Körperaxiome gilt aber: (1 i (1 + i = 1 i = 1 a b i = (1 a b i Norm bilden auf beiden Seiten liefert: = (1 a + b = 1 a + a + b = a also = 1 a, mithin a = 1, was wiederum, wegen a + b = 1, b = 0 nach sich zieht. Damit haben wir folgende Multiplikationstabelle: Für die Multiplikation ergibt sich daher: 1 i 1 1 i i i 1 (a 1 + b i (c 1 + d i = a c 1 + a d 1 i + b c 1 e + b d i = (a c b d 1 + (a d + b c i (* Matrizenrealisierung: Wir können komplexe Zahlen auch als Matrizen darstellen: ( a b z = a + b i b a

4 Dann ist ( a b b a ( c d + d c ( a + c b + d = (b + c a + c und ( a b b a ( c d d c ( ac bd ad + bc = (ad + bc ac bd Polarkoordinaten Jeder Punkt auf dem Einheitskreis, der mit der positiven x Achse den Winkel α [0, π] einschließt, hat als x Koordinate den Wert cos(α und als y Koordinate sin(α. (In der Mathematik und den Naturwissenschaften ist der Vollwinkel π, im Alltag normalerweise 360 o. Jede komplexe Zahl z = a + bi kann man als Punkt der Ebene betrachten. Dann hat diese Punkt den Abstand r := a + b = z zum Nullpunkt und schließt einen Winkel ϕ [0, π mit der positiven x Achse ein. Es ist aus elemtargeometrischen Gründen: a = r cos(ϕ und b = r sin(ϕ. Wir haben also insgesamt: z = z (cos(ϕ + sin(ϕ i Die Größen z und ϕ sind die Polarkoordinaten von z. Kurzschreibweise: e i ϕ := cos(ϕ + sin(ϕ i Additionstheoreme für sin und cos: cos(α + β = cos(α cos(β sin(α sin(β sin(α + β = sin(β cos(α + sin(α cos(β Grund: Wir betrachten die folgende Konstruktion

5 U = (cos(α + β, sin(α + β P = (cos(α, sin(α β β α T = (1, 0 R = (cos( β, sin( β Mit den folgenden Bezeichnungen gilt dann Es gilt (Drehung um den Winkel β: cos(α =: p, sin(α =: q p + q = 1 cos(α + β =: u, sin(α + β =: v u + v = 1 cos( β =: r, sin( β =: s r + s = 1 UT = PR (u 1 + v = (p r + (q s u u v = p pr + r + q qs + s u + = pr qs u = pr + qs cos(α + β = cos(α cos(β sin(α sin(β Die andere Beziehung erhält man aus sin(α = cos ( π α und damit sin ( π α = cos ( π ( π α = cos(α. Es ist: ( π (( π sin(α + β = cos (α + β = cos α + ( β ( π ( π = cos α cos( β sin α sin( β

6 = sin(α cos(β + cos(α sin(β Aus den Additionstheoremen erhält man: e iϕ e iψ = (cos(ϕ + i sin(ϕ (cos(ψ + i sin(ψ = cos(ϕ cos(ψ sin(ϕ sin(ψ+ i(cos(ϕ sin(ψ + sin(ϕ cos(ψ = cos(ϕ + ψ + i sin(ϕ + ψ = e i(ϕ+ψ Beispiel n-te Einheitswurzeln: Sei ζ n := e π n i. Dann gilt: für k = 1,..., n. (ζ k n n = ζ kn n = e k πi = cos(kπ + i sin(kπ = 1 Fundamentalsatz der Algebra: Sei f (x = n k=0 a kx k ein Polynom mit reellen Koeffizienten a k R. Dann läßt sich f (x darstellen als: mit λ j R und a j, b j, c j R mit a j c j > 0 f (x = (x λ 1... (x λ k (a 1 (x + b 1 + c 1... (a l (x + b l + c l Dabei sind λ 1,..., λ k die reellen Nullstellen von f (x. Die Faktoren a j (x + b j + c j entsprechen den Paaren konjugiert komplexer Nullstellen. Grund: ohne Begründung Beispiel: Das Polynom f (x = x 3 1 hat offensichtlich in x = 1 eine Nullstelle. Division mit Rest liefert: x 3 1 = (x 1 (x + x + 1. Dabei ist (x + x + 1 = ((x