1 Grundlagen. 1.1 Elementare Logik

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1 Höhere Mathematik 7 1 Grundlagen 1.1 Elementare Logik Eine (mathematische) Aussage ist ein Satz, der entweder wahr oder falsch ist (keine Aussage ist sowohl wahr als auch falsch). Der Wahrheitswert v(a) einer Aussage A ist entweder wahr (v(a) = w) oder falsch (v(a) = f). Wahrheitstafel für logische Verknüpfungen (Junktoren): Negation Disjunktion Konjunktion Implikation Äquivalenz v(a) v(b) v( A) v(a B) v(a B) v(a B) v(a B) w w f w w w w w f w f f f f w w w f w f f f f f w w 1 Grundlagen Technische Universität Bergakademie Freiberg

2 Höhere Mathematik 8 Satz 1.1 Es seien A, B und C beliebige Aussagen. Dann sind die folgenden Aussagen immer wahr: [ ( A)] A, ( A) A, Kommutativgesetze: (A B) (B A), (A B) (B A), Assoziativgesetze: [(A B) C] [A (B C)], [(A B) C] [A (B C)], Distributivgesetze: [A (B C) [(A B) (A C)], [A (B C) [(A B) (A C)], De Morgansche Regeln: [ (A B)] [( A) ( B)], [ (A B)] [( A) ( B)], (A B) [(A B) (B A)], (A B) [( A) B]. 1.1 Elementare Logik Technische Universität Bergakademie Freiberg

3 Höhere Mathematik Mengen Eine Menge M ist eine Zusammenfassung von bestimmten, wohlunterschiedenen Objekten x unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen (Georg Cantor). Die Objekte x heißen Elemente dieser Menge M (x M). Mengen definiert man entweder durch Angabe einer Eigenschaft, die die Elemente charakterisiert, oder durch Aufzählen ihrer Elemente, P = {p : p ist Primzahl p < 10}, P = {2, 3, 5, 7}. Die leere Menge ( = { }) enthält kein Element. B heißt Teilmenge von A (B A), wenn jedes Element von B auch Element von A ist (x B x A). B heißt echte Teilmenge von A (B A oder B A), wenn B A und B A. 1.2 Mengen Technische Universität Bergakademie Freiberg

4 Höhere Mathematik 10 A B := {x : x A x B} heißt Durchschnitt von A und B (in der Abb. links oben). A B := {x : x A x B} heißt Vereinigung von A und B (in der Abb. rechts oben). A \ B := {x : x A x / B} heißt (mengentheoretische) Differenz von A und B (lies: A weniger B; in der Abb. links unten). Ist B A, so heißt A \ B heißt das Komplement von B bez. A (in der Abb. rechts unten). Für zwei Mengen A, B heißt die Menge aller geordneten Paare A B := {(a, b) : a A b B} das (Kartesische) Produkt von A und B. Abkürzend schreibt man A n := A A... A (n Faktoren). 1.2 Mengen Technische Universität Bergakademie Freiberg

5 Höhere Mathematik 11 A B A B A B A B 1.2 Mengen Technische Universität Bergakademie Freiberg

6 Höhere Mathematik 12 Satz 1.2 (Regeln für das Operieren mit Mengen) Es seien A, B, C Mengen. Dann gelten: A B = B A, A B = B A, A (B C) = (A B) C, A (B C) = (A B) C, A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C), A A = A, A A = A, A =, A = A, A \ B = A A B =, A \ B = A B, A \ (B C) = (A \ B) (A \ C), A \ (B C) = (A \ B) (A \ C). 1.2 Mengen Technische Universität Bergakademie Freiberg

7 Höhere Mathematik Die reellen Zahlen N := {1, 2, 3,...} N 0 := N {0} = {0, 1, 2, 3,...}, Z := {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} { } Q := p q p, q Z, q 0 natürliche Zahlen, ganze Zahlen, = {alle endlichen oder periodischen Dezimalbrüche} rationale Zahlen, R := {alle Dezimalbrüche} Beachte: Zwei rationale Zahlen, p q und r s, sind genau dann gleich, wenn ps = rq gilt. Insbesondere ist p q = pn qn n Z \ {0} ( bedeutet für alle ). reelle Zahlen. 1.3 Die reellen Zahlen Technische Universität Bergakademie Freiberg

8 Höhere Mathematik 14 Operationen in Q: p q ± r s p r q s = pr qs, p q r s = ps ± rq qs = p q, s r = ps qr. Satz Q, d.h. 2 ist keine rationale Zahl. Jedem Punkt der Zahlengeraden entspricht genau eine reelle Zahl. -7/4-1 -1/ 2 0 1/2 1 π/ Die reellen Zahlen Technische Universität Bergakademie Freiberg

9 Höhere Mathematik 15 Die arithmetischen Gesetze in R: (1) (a + b) + c = a + (b + c) a, b, c R (Assoziativgesetz der Addition), (2) a + 0 = a a R (neutrales Element der Addition), (3) a + ( a) = 0 a R (inverse Elemente der Addition), (4) a + b = b + a a, b R (Kommutativgesetz der Adddition), (5) (ab)c = a(bc) a, b, c R (Assoziativgesetz der Multiplikation), (6) a 1 = a a R (neutrales Element der Multiplikation), (7) a 1 a = 1 a R, a 0 (inverse Elemente der Multiplikation), (8) ab = ba a, b R (Kommutativgesetz der Multiplikation), (9) a(b + c) = ab + ac a, b, c R (Distributivgesetz). 1.3 Die reellen Zahlen Technische Universität Bergakademie Freiberg

10 Höhere Mathematik 16 Vereinbarung: Sei a R. a 1 := a, a n := aa n 1 ( n N, n > 1), d.h. a 2 = aa, a 3 = aaa,... Falls a 0: a 0 := 1, a 1 := 1 a, a n := 1 a n ( n N 0 ). Satz 1.4 (Rechenregeln in R) Für alle a, b R gelten a 0 = 0, ab = 0 a = 0 b = 0, a 2 = b 2 a = b a = b, ( a) = a, (a + b) = a b, ( a)b = a( b) = ab, ( a)( b) = ab, a n a m = a n+m m, n Z (falls a 0), a n b n = (ab) n n Z (falls a, b 0). 1.3 Die reellen Zahlen Technische Universität Bergakademie Freiberg

11 Höhere Mathematik 17 Die Ordnungsrelation in R: (10) Zwischen zwei reellen Zahlen a und b besteht immer genau eine der folgenden drei Größenbeziehungen: a < b (a kleiner b), a = b (a gleich b), a > b (a größer b). (11) a < b b < c a < c a, b, c R (Transitivität), (12) a < b a + c < b + c a, b, c R (Monotonie der Addition), (13) a < b 0 < c ac < bc a, b, c R (Monotonie der Multiplikation). Definition: a b (a kleiner oder gleich b) bedeutet a < b a = b. a b (a größer oder gleich b) bedeutet a > b a = b. 1.3 Die reellen Zahlen Technische Universität Bergakademie Freiberg

12 Höhere Mathematik 18 Satz 1.5 (Regeln für das Operieren mit Vorzeichen) Für a, b, c, d R gelten: a b c d a + c b + d, a b c < 0 ac bc a c b c, a b b a, 0 < a b 0 < 1 b 1 a, a b < 0 1 b 1 a < 0, a < 0 < b 1 a < 0 < 1 b. 1.3 Die reellen Zahlen Technische Universität Bergakademie Freiberg

13 Höhere Mathematik 19 Intervalle: Für a, b R mit a b: [a, b] := {x R : a x b} (abgeschlossenes Intervall), (a, b] := {x R : a < x b} (halboffenes Intervall), [a, b) := {x R : a x < b} (halboffenes Intervall), (a, b) := {x R : a < x < b} (offenes Intervall), [a, ) := {x R : a x}, (a, ) := {x R : a < x}, (, b] := {x R : x b}, (, b) := {x R : x < b}, (, ) := R. Betrag: Der Betrag von a R ist durch a := { a, für a 0, a, für a < 0 definiert. 1.3 Die reellen Zahlen Technische Universität Bergakademie Freiberg

14 Höhere Mathematik 20 Satz 1.6 (Regeln für das Rechnen mit Beträgen) Für a, b R gelten a 0, a = 0 a = 0, a = a, a = α a = α a = α, a + b a + b (Dreiecksungleichung), a + b a b, ab = a b, a α α a α. 1.3 Die reellen Zahlen Technische Universität Bergakademie Freiberg

15 Höhere Mathematik 21 Sei M R, M, eine Teilmenge der reellen Zahlen. M heißt nach oben beschränkt [nach unten beschränkt], wenn es eine Zahl C R gibt mit x C [x C] für alle x M. Jede solche Zahl C heißt obere Schranke [untere Schranke] von M. Jede Zahl C b ist z.b. eine obere Schranke von jedem der Intervalle (a, b), (a, b], [a, b) und [a, b]. M heißt beschränkt, wenn M sowohl nach oben wie auch nach unten beschränkt ist. Die kleinste obere Schranke [größte untere Schranke] einer nach oben [nach unten] beschränkten Menge M wird Supremum [Infimum] von M genannt (Bezeichnung: sup M [inf M]). Gilt sup M M [inf M M], so heißt sup M [inf M] auch Maximum [Minimum] von M. Z.B.: sup(a, b) = b, sup(a, b] = b, sup[a, b) = b und sup[a, b] = b. Die Intervalle (a, ), [a, ) und (, ) besitzen kein Supremum. (a, b) und [a, b) haben kein Maximum, während [a, b] und (a, b] das Maximum b besitzen. 1.3 Die reellen Zahlen Technische Universität Bergakademie Freiberg

16 Höhere Mathematik 22 Die Vollständigkeit der reellen Zahlen: (14) Jede nach oben beschränkte Menge reeller Zahlen besitzt ein Supremum in R. Beachten Sie, dass (1) (13) auch für die rationalen Zahlen Q gelten, während (14) in Q nicht erfüllt ist. So hat die nach oben beschränkte Menge {q Q : q 2 < 2} Q kein Supremum in Q. Folgerungen: Jede nach unten beschränkte Menge reeller Zahlen besitzt ein Infimum in R. Jede beschränkte Menge reeller Zahlen besitzt ein Supremum und ein Infimum in R. 1.3 Die reellen Zahlen Technische Universität Bergakademie Freiberg

17 Höhere Mathematik Elementare Kombinatorik Das Prinzip der vollständigen Induktion: Eine Aussage A(n) ist für alle ganzen Zahlen n n 0 wahr, wenn A(n 0 ) wahr ist (Induktionsanfang) und A(n) A(n + 1) für alle n n 0 gilt (Induktionsschritt). Weitere Bezeichungen: Sind a m, a m+1,..., a n 1, a n reelle Zahlen, so ist n j=m n j=m a j := a m + a m a n 1 + a n, a j := a m a m+1 a n 1 a n. 1.4 Elementare Kombinatorik Technische Universität Bergakademie Freiberg

18 Höhere Mathematik 24 n! := n j=1 j (n Fakultät) für n N, 0! := 1. Satz 1.7 Es gibt n! verschiedene Permutationen (Anordnungen) von n Objekten. Es seien n, k N 0 und k n. Der Binomialkoeffizient ( n k) (lies: n über k) ist definiert als die Anzahl aller k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge. Satz 1.8 Für alle n, k N 0, k n, gelten: ( ( n 0) = n ( n) = 1 und n ) ( 1 = n n 1) = n (n 1), ( ) ( n k = n n k), ( ) ( n+1 k = n ( k 1) + n k), ( ) n k = n! k!(n k)! = (n k+1)(n+k+2) (n 1)n k!. 1.4 Elementare Kombinatorik Technische Universität Bergakademie Freiberg

19 Höhere Mathematik 25 Zeilenweise Berechnung der Binomialkoeffizenten im Pascalschen Dreieck: ( 0 ) k : 1 ( 1 ) k : 1 1 ( 2 ) k : ( 3 ) k : ( 4 ) k : ( 5 ) k : Satz 1.9 (Binomischer Satz) Für alle a, b R und alle N N gilt: n ( ) ( ) n n (a + b) n = a j b n j = a 0 b n + j 0 j=0 ( ) n a 1 b n ( ) n a n b 0. n 1.4 Elementare Kombinatorik Technische Universität Bergakademie Freiberg

20 Höhere Mathematik 26 Folgerungen: n j=0 ( n j) = 2 n für alle n N 0. Eine n-elementige Menge besitzt 2 n Teilmengen. Satz 1.10 (Arithmetische Summen) Für alle n N gilt: n j = n = j=1 n(n + 1). 2 Satz 1.11 (Geometrische Summen) Für alle q R, q 0 und alle n N 0 gilt: n q j = 1 + q + q q n = j=0 { (n + 1), q = 1, 1 q n+1 1 q, q Elementare Kombinatorik Technische Universität Bergakademie Freiberg

21 Höhere Mathematik Abbildungen und Funktionen Seien A und B Mengen. Eine Abbildung oder Funktion f : A B ist eine Vorschrift, durch die jedem x A genau ein y = f(x) B zugeordnet wird. A =: D f heißt Definitionsbereich von f und f(a) := {f(x) : x A} B heißt Wertebereich oder Bild von f. Für x A heißt y = f(x) Bild von x unter f oder Funktionswert von f an der Stelle x. Schreibweise: f : A B y = f(x) oder f : A B x f(x). Zwei Funktionen f : D f B, x f(x), und g : D g C, x g(x), heißen gleich (f = g), wenn D f = D g und f(x) = g(x) für alle x D f = D g gelten. 1.5 Abbildungen und Funktionen Technische Universität Bergakademie Freiberg

22 Höhere Mathematik 28 Funktionen f : A B kann man auf verschiedene Weise beschreiben : Analytisch (d.h. durch Angabe der Zuordnungsvorschrift x f(x)). Tabellarisch (d.h. durch eine Wertetabelle). Graphisch; die Menge Graph(f) := {(x, f(x)) x A} A B heißt der Graph von f. Für f : R R ist dies eine Kurve im R 2. Für reelle Zahlen a 0, a 1,..., a n 1, a n (a n 0) heißt p : R R, x p(x) := a 0 + a 1 x + a n 1 x n 1 + a n x n, ein Polynom vom Grad deg(p) = n oder eine ganzrationale Funktion vom Grad n. Die Zahlen a j nennt man die Koeffizienten dieses Polynoms. Beim Nullpolynom (p(x) = 0 x R) sind alle Koeffizienten 0 (Schreibweise p = 0, man definiert deg(0) := 1). Sind p, q Polynome mit q 0, so heißt r : R \ {x R : q(x) = 0} R, x r(x) := p(x) q(x) eine (gebrochen)rationale Funktion. 1.5 Abbildungen und Funktionen Technische Universität Bergakademie Freiberg

23 Höhere Mathematik 29 Sind p, q Polynome mit q 0 und deg(p) deg(q), so gibt es Polynome s 0 und t mit deg(t) < deg(q) sowie p = sq + t bzw. p q = s + t q. Die Polynome s und t können mit dem Euklidschen Algorithmus berechnet werden. Beispiel: (3x 4 + 7x 3 + x 2 + 5x + 1) : (x 2 + 1) = 3x 2 + 7x 2 3x 4 + 3x 2 7x 3 2x 2 + 5x + 1 7x 3 + 7x 2x 2 2x + 1 2x 2 2 2x Abbildungen und Funktionen Technische Universität Bergakademie Freiberg

24 Höhere Mathematik 30 Ergebnis: (3x 4 + 7x 3 + x 2 + 5x + 1) = (3x 2 + 7x 2)(x 2 + 1) + ( 2x + 3) oder 3x 4 + 7x 3 + x 2 + 5x + 1 x = (3x 2 + 7x 2) + 2x + 3 x Folgerungen: Sei a R und p ein Polynom vom Grad n 1. Es gibt ein Polynom s vom Grad n 1 mit p(x) = (x a)s(x) + p(a). Im Spezialfall von q(x) = (x a) kann man mit dem Euklidschen Algorithmus also p(a) berechnen (Horner-Schema). p ist genau dann (ohne Rest) durch x a teilbar, wenn p(a) = 0 gilt. 1.5 Abbildungen und Funktionen Technische Universität Bergakademie Freiberg

25 Höhere Mathematik Die komplexen Zahlen Eine komplexe Zahl z ist ein Ausdruck der Form z = a + ib mit a, b R. Die Zahl i (i 2 = 1) heißt imaginäre Einheit. Zwei komplexe Zahlen z = a + ib und w = c + id (a, b, c, d R) sind genau dann gleich, wenn a = c und b = d gelten. a = Re(z) ist der Realteil und b = Im(z) der Imaginärteil von z = a + ib. Operationen: Für z = a + ib, w = c + id C (a, b, c, d R) definiert man z + w := (a + c) + i(b + d), z w := (a c) + i(b d), zw := (ac bd) + i(ad + bc), z w := ac+bd c 2 +d 2 + i bc ad c 2 +d 2 (w 0). Die arithmetischen Gesetze der reellen Zahlen (vgl. S. 15) und die Rechenregeln (vgl. Satz 1.4) gelten auch für komplexe Zahlen. 1.6 Die komplexen Zahlen Technische Universität Bergakademie Freiberg

26 Höhere Mathematik 32 Statt x + i0 schreibt man x, d.h. R C. Statt 1/z schreibt man auch z 1. z n = zz n 1 = zzz n 2 = = z } {{ z } und z 0 := 1 (z 0). n Faktoren z := a ib ist die zu z konjugiert komplexe Zahl. z := a 2 + b 2 = z z 0 heißt (Absolut-) Betrag von z. Mit Ausnahme der vierten und siebten gelten die Regeln für das Rechnen mit Beträgen von Satz 1.6 auch für komplexe Zahlen. θ = arg(z) heißt das Argument von z, wenn sin(θ) = b z und cos(θ) = a z gelten. arg(z) ist nur erklärt, wenn z 0 gilt, und ist dann nur modulo 2π durch z festgelegt. Insbesondere kann arg(z) in [0, 2π) gewählt werden. Jede komplexe Zahl z = a + ib 0 läßt sich in der Form z = z (cos(θ) + i sin(θ)) mit θ = arg(z) darstellen (Polarkoordinaten). 1.6 Die komplexen Zahlen Technische Universität Bergakademie Freiberg

27 Höhere Mathematik 33 Die Menge aller komplexen Zahlen wird mit C bezeichnet. Eine komplexe Zahl z veranschaulicht man sich als Punkt der Gaußschen Zahlenebene mit den Koordinaten (Re(z), Im(z)). imaginäre Achse Re(z) z = Re(z) + i Im(z) 1 0 i 1 i θ z Im(z) Im(z) reelle Achse z = Re(z) i Im(z) 1.6 Die komplexen Zahlen Technische Universität Bergakademie Freiberg

28 Höhere Mathematik 34 Geometrische Interpretation der Addition/Subtraktion in C: z+w w z z w w 1.6 Die komplexen Zahlen Technische Universität Bergakademie Freiberg

29 Höhere Mathematik 35 Geometrische Interpretation der Multiplikation/Division in C: w z 1 zw 1/w z/w 1.6 Die komplexen Zahlen Technische Universität Bergakademie Freiberg

30 Höhere Mathematik 36 Satz 1.12 (Rechenregeln in C) Für z, w C gelten: z = z, Re(z) = 1 2 (z + z), Im(z) = 1 2i (z z), z = z z R, z = z, arg( z) = arg(z) = 2π arg(z) für z 0, z ± w = z ± w, zw = z w, ( ) z w = z w für w 0, 1 z = z z für z Die komplexen Zahlen Technische Universität Bergakademie Freiberg

31 Höhere Mathematik 37 Satz 1.13 (Weitere Rechenregeln in C ) Für z, w C gelten: arg(zw) = arg(z) + arg(w) für z, w 0, arg ( ) z w = arg(z) arg(w) für z, w 0, zw = z w, z w = z w z = z, für w 0, arg( z) = arg(z) + π, z n = z n (cos(nθ) + i sin(nθ)) mit θ = arg(z) für z 0 (Formel von de Moivre). 1.6 Die komplexen Zahlen Technische Universität Bergakademie Freiberg

32 Höhere Mathematik 38 Satz 1.14 (Fundamentalsatz der Algebra) Jedes komplexe Polynom vom Grad n hat n komplexe Nullstellen (wobei Vielfachheiten mitgezählt werden), d.h. jede Gleichung der Form a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0 (a j C, j = 0, 1,..., n und a n 0) hat n Lösungen in C. Insbesondere hat x n 1 = 0 genau n (hier sogar verschiedene) Lösungen, die sogenannten n-ten Einheitswurzeln ( ) ( ) 2jπ 2jπ ζ j = cos + i sin, j = 0, 1,..., n 1. n n Allgemeiner: Jedes z 0 C, z 0 0, besitzt n verschiedene n-te Wurzeln (das sind Lösungen von x n z 0 = 0) η j = n [ ( ) ( )] arg(z0 ) + 2jπ arg(z0 ) + 2jπ z 0 cos + i sin, j = 0,..., n 1. n n 1.6 Die komplexen Zahlen Technische Universität Bergakademie Freiberg

33 Höhere Mathematik 39 Die fünften Einheitswurzeln ( ) und die fünften Wurzeln ( ) von z = i ( ). 1.6 Die komplexen Zahlen Technische Universität Bergakademie Freiberg