29 Komplexe Zahlen und Polynome

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1 29 Komplexe Zahlen und Polynome 30 Komplexe Zahlen und Polynome 147 Lernziele: Konzepte: Komplexe Zahlen Resultate: Fundamentalsatz der Algebra Methoden: Polarkoordinaten Kompetenzen: Lösung kubischer Gleichungen, Faktorisierung von Polynomen, Partialbruchzerlegung rationaler Funktionen 29.1 Komplexe Zahlen. a) Gewisse quadratische Gleichungen wie x = 0 besitzen bekanntlich keine reelle Lösung; trotzdem wurden spätestens seit dem 16. Jahrhundert solche Lösungen als zunächst mysteriöse imaginäre und komplexe Zahlen gefunden. Diese komplexen Zahlen können als Punkte einer Ebene veranschaulicht werden, welche die reelle Zahlengerade als x-achse enthält; die präzise Fassung dieser Vorstellung wurde von C.F. Gauß und W.R. Hamilton im ersten Drittel des 19. Jahrhunderts entwickelt. b) Man definiert auf C := R 2 eine Addition durch (x,y)+(u,v) := (x+u, y +v) (1) wie in (28.2) und zusätzlich eine Multiplikation durch (x,y) (u,v) := (xu yv, xv +yu); (2) für die imaginäre Einheit i := (0,1) gilt dann i 2 = ( 1,0). Für (x,y) C erhält man daraus (x,y) = (x,0) + (0,y) = (x,0) + (0,1)(y,0) = x + iy mit der Identifizierung R x (x,0) C. Es ist z = x+iy, x,y R, (3) die Standardbeschreibung komplexer Zahlen z C. Dabei heißen Rez := x und Imz := y (4) Realteil und Imaginärteil von z. Durch z := x iy = Rez iimz (5) wird die zu z komplex konjugierte Zahl definiert. Damit gilt stets z + z = 2Rez, z z = 2iImz und z z = (x+iy)(x iy) = x 2 +y 2 R. c) Unter der oben definierten Addition und Multiplikation ist C ein Körper, d. h. es gelten die Axiome K aus Abschnitt 1. Dies wird einfach durch Nachrechnen bewiesen; für 0 z = x+iy etwa gilt (x+iy) x iy x 2 +y 2 = 1. Die Nenner komplexer Brüche z w

2 148 V. Topologische Grundlagen der Analysis können durch Erweitern mit w stets reell gemacht werden: z w = z w w w. d) Rechnungen in R, die nur die Körperaxiome K benutzen, bleiben auch in C gültig, so etwa die geometrische Summenformel (2.5), der binomische Satz 3.2 oder der Euklidische Algorithmus 11.5 für Polynome. e) Auf C existiert keine Ordnung, die Axiom O genügt. Aus diesem würde nämlich 1 = 1 2 > 0 und auch 1 = i 2 > 0 folgen. f) Durch x (x, 0) wird R mit einem Unterkörper von C identifiziert. g) Die komplexe Konjugation z z ist eine Bijektion von C auf C; stets gilt z +w = z + w und z w = z w. Man hat z = z z R. h) Der Abstand einer komplexen Zahl z = x + iy C zum Nullpunkt (vgl. 28.2) heißt Betrag oder Absolutbetrag von z. Aufgrund des Satzes von Pythagoras ist dieser gegeben durch z := x 2 +y 2 = z z. (6) Offenbar gilt stets z = z. Weiter gelten die in Feststellung?? formulierten Eigenschaften des Absolutbetrages auch im Komplexen: 29.2 Satz. Für z,w C gelten: z 0; z = 0 z = 0, (7) zw = z w, (8) z +w z + w (Dreiecks-Ungleichung). (9) Beweise zu diesem Abschnitt findet man in [A1], Abschnitte 27 und 28. Aus (9) folgt für die Abstände oder Distanzen von Punkten z 1,z 2,z 3 C sofort z 1 z 2 z 1 z 3 + z 3 z 2, (10) wodurch die Bezeichnung Dreiecks-Ungleichung auch für (9) motiviert wird Polarkoordinaten. a) Komplexe Zahlen können gemäß (3) durch ihre rechtwinkligen oder kartesischen Koordinaten x, y, aber auch durch Polarkoordinaten r, ϕ beschrieben werden: b) Für z C setzt man zunächst r := z. Für z 0 liegt dann z auf der Kreislinie r S = {ζ C ζ = 1}, und aufgrund der Konstruktion von Sinus und Kosinus am Anfang von Abschnitt 24 gibt es Zahlen ϕ R mit z = r(cosϕ+isinϕ). (11) c)gilt(11),sogibtϕ den(imbogenmaßgemessenen) Winkelan,dendieStrecke [0,z] mit der positiven reellen Achse bildet. Jede solche Zahl ϕ R heißt ein Argument der komplexen Zahl z C\{0}. Ist ϕ 0 ein Argument von z, so ist argz := {ϕ = ϕ 0 +2kπ k Z} (12)

3 30 Komplexe Zahlen und Polynome 149 die Menge aller Argumente von z. Es ist also argz eine Äquivalenzklasse reeller Zahlen unter der Äquivalenzrelation ϕ 1 ϕ 2 ϕ 1 ϕ 2 2πZ. Ähnlich wie bei Stammfunktionen (vgl. Bemerkung 17) schreibt man aber oft ϕ = argz statt ϕ argz. (13) Mit Argz wird der Hauptwert des Arguments von z C\{0}, d.h. das eindeutig bestimmte Argument im Intervall ( π, π] bezeichnet. Die Abbildung z Arg z kann als Schraubenfläche über der gelochten Ebene C\{0} veranschaulicht werden. d) Zur Berechnung von Argz = Arg(x+iy) kann man mehrere Fälle unterscheiden (vgl. [A1], 27.5b). Mit { 1, y 0 signy := (14) 1, y < 0 hat man die Formel Arg(x+iy) = signy arccos x x 2 +y 2. (15) e) In reeller Schreibweise ist dann mit X = R 2 \{(0,0)} und U := (0, ) ( π,π] Ψ : U X, Ψ(r,ϕ) := (rcosϕ, rsinϕ), (16) die Transformation auf Polarkoordinaten. Es wird nun zur Abkürzung die Notation (vgl. Satz 37.5) E(ϕ) := cosϕ+isinϕ für ϕ R (17) eingeführt. Aus den Funktionalgleichungen von Sinus und Kosinus ergibt sich: 29.4 Satz. Für komplexe Zahlen z 1 = r 1 E(ϕ 1 ) und z 2 = r 2 E(ϕ 2 ) gilt z 1 z 2 = r 1 r 2 E(ϕ 1 +ϕ 2 ). (18) 29.5 Beispiele und Bemerkungen. a) Bei der Multiplikation komplexer Zahlen werden also die Beträge dieser Zahlen multipliziert und ihre Argumente addiert. Insbesondere liefert die Multiplikation mit E(ϕ) eine Drehung der Ebene um den Winkel ϕ. b) Durch Ausrechnen des Produkts (cosϕ + isinϕ)(u + iv) erhält man die reelle Schreibweise D ϕ (u,v) = (cosϕ u sinϕ v, sinϕ u+cosϕ v). (19) Für ϕ = π 4 gilt sinϕ = cosϕ = 1 2 2; die Drehung Dϕ führt beispielsweise das Polynom Q(x,y) = xy über in (Q D ϕ )(u,v) = 1 2 (u2 v 2 ). c) Aus Satz 29.4 ergibt sich die Formel arg(z 1 z 2 ) = argz 1 +argz 2 := {ϕ = ϕ 1 +ϕ 2 ϕ 1 argz 1, ϕ 2 argz 2 }. Insbesondere gilt stets Argz 1 + Argz 2 arg(z 1 z 2 ); diese Summe muß aber nicht = Arg(z 1 z 2 ) sein. So gilt etwa Argi+Arg( 1) = π 2 +π = 3π 2 = Arg( i)+2π.

4 150 V. Topologische Grundlagen der Analysis Aus Satz 29.4 ergibt sich die Formel von de Moivre: 29.6 Folgerung. Für z = re(ϕ) und n N gelten z n = r n E(nϕ), 1 = 1 E( ϕ). (20) z r 29.7 Satz. Für n N und w C\{0} gibt es genau n Lösungen der Gleichung z n = w Einheitswurzeln. Die Gleichung z n = 1 hat die n verschiedenen Lösungen z n,k = ǫ k n, k = 0,...,n 1, mit ǫ n := E( 2π ). Diese n-ten Einheitswurzeln bilden die n Eckpunkte eines regelmäßigen n-ecks mit Umkreis S = {z C z = 1} Polynome mit komplexen Koeffizienten sind gegeben durch P(z) := m a k z k C[z], a k C; (21) k=0 sie definieren stetige (vgl. Abschnitt 31) Funktionen P : C C. Wie in Abschnitt 11 ist im Fall a m 0 der Grad von P gegeben durch m = degp. Einige elementare Überlegungen unter Verwendung von Satz 29.7 und Folgerung genügen bereits zum Beweis des folgenden wichtigen Resultats (vgl. [A1], 27.16). Ein sehr kurzer Beweis wird in der Analysis III behandelt Theorem (Fundamentalsatz der Algebra). Für jedes Polynom P(z) = m a k z k vom Grad m 1 gibt es z 0 C mit P(z 0 ) = 0. k=0 Wie in Satz 11.6 (Abspalten von Nullstellen) ergibt sich daraus: Folgerung. Für ein Polynom P C[z] vom Grad m gilt P(z) = α r (z z j ) m j, α, z j C, j=1 r m j = m. (22) j= Beispiele und Bemerkungen. a) Die in (22) auftretenden Zahlen m j heißen Vielfachheiten der Nullstellen z j ; dabei wird z j z k für j k angenommen. Im Fall m j = 1 heißt z j einfache Nullstelle von P. b) Bekanntlich lassen sich quadratische Gleichungen z 2 + 2pz + q = 0 explizit lösen durch die Formel (man beachte Satz 29.7) z = p± p 2 q. (23) c) Kubische Gleichungen z 3 +bz 2 +cz+d = 0 werden durch die Substitution z = w b 3 auf die Form w 3 + pw + q = 0 reduziert. Setzt man w = v p, so erhält man für 3v v 3 die quadratische Gleichung 27(v 3 ) qv 3 p 3 = 0 und somit wieder explizite Lösungen.

5 30 Komplexe Zahlen und Polynome 151 d) Es wird die von R. Bombelli im 16. Jahrhundert diskutierte Gleichung z 3 15z 4 = 0 (24) gelöst. Mit z = v + 5 v erfüllt dann also u := v 3 die quadratische Gleichung 27u u+15 3 = 0 oder u 2 4u+5 3 = 0. Es folgt v 3 = u ± = 2± = 2±i 121 = 2±11i. Es ist u ± = 125, also v = 5 für jede Lösung von v 3 = u ±. Man hat Argu + = arctan 11 2, für eine Lösung v +,0 von v 3 = u + also Argv +,0 = 1 3 arctan 11 2 = arctan 1 2. Somit gilt v +,0 = 2+i; in der Tat läßt sich (2+i) 3 = 2+11i unmittelbar nachrechnen. Für die entsprechende Lösung von (24) ergibt sich z +,0 = 2+i+ 5 2+i = 2+i+ 5(2 i) 5 = 4, was man durch Einsetzen sofort bestätigt. Ähnlich findet man fünf weitere Lösungen v +,1, v +,2,v,0,v,1 und v,2 von v 3 = u ± ; aus den sechs Lösungen dieser Gleichung ergeben sich aber nur die drei verschiedenen Lösungen 4 und 2± 3 von (24). e) Natürlich kann man in d) auch die Lösung 4 raten und dann mit dem Euklidischen Algorithmus den Faktor z 4 abspalten. Man erhält dann z 3 15z 4 = (z 4)(z 2 +4z +1) und hat nur noch eine quadratische Gleichung zu lösen. f) Ähnlich wie für kubische Gleichungen gibt es auch explizite Lösungsformeln für Gleichungen 4. Ordnung, was aber ab der Ordnung 5 nach einem berühmten Resultat von N.H. Abel (1826) nicht mehr der Fall ist Rationale Funktionen. a) Quotienten R = P von Polynomen werden als Q rationale Funktionen bezeichnet, Notation: R C(z). Nach (29.22) lassen sich Zähler und Nenner in Produkte von Linearfaktoren zerlegen; durch Kürzen gemeinsamer Linearfaktoren läßt sich daher erreichen, daß für alle w C stets P(w) 0 oder Q(w) 0 gilt. b) Eine Zahl w C heißt Pol von R = P C(z), falls Q(w) = 0 und P(w) 0 gilt. Q Die Vielfachheit m von w als Nullstelle von Q heißt Polordnung von R in w. Im Fall m = 1 heißt w einfacher Pol von R Lemma. Es seien P, Q C[z] mit degp < degq+k für ein k N, und es gelte Q(a) 0 für ein a C. Zu R(z) := P(z) (z a) k Q(z) C(z) (25)

6 152 V. Topologische Grundlagen der Analysis gibt es dann P 1 C[z] mit degp 1 < max{degp,degq} und c C mit R(z) = c (z a) + P 1 (z) k (z a) k 1 Q(z). (26) Durch (26) sind P 1 und c eindeutig bestimmt Theorem (Partialbruchzerlegung). Es sei R = P C(z) eine rationale Q Funktion, und Q(z) = α r (z z j ) m j sei die Zerlegung von Q in Linearfaktoren j=1 gemäß (29.22). Dann gibt es T C[z] und c j,k C mit R(z) = T(z) + r m j j=1 k=1 c j,k (z z j ) k. (27) Durch (27) sind T C[z] und die c j,k C eindeutig bestimmt Beispiel. Zur praktischen Durchführung einer Partialbruchzerlegung setzt man (27) mit unbestimmten Koeffizienten an und berechnet diese anschließend. Beispiel: R(z) = z2 +1 z 3 2z 2 +z Faktorisierung und Partialbruchzerlegung im Reellen. a) Hat ein Polynom Q R[z] reelle Koeffizienten, so folgt aus Q(a) = 0 auch Q(ā) = Q(a) = 0. Mit (x a) k enthält dasproduktin(22)auchdenfaktor(x ā) k, insgesamt mita = b+id also den reellen Faktor ((x b) 2 +d 2 ) k. Somit haben also irreduzible Polynome über R den Grad 2; jedes Polynom Q R[x] ist ein endliches Produkt von Konstanten, Linearfaktoren (x a), a R, und von quadratischen Faktoren (x 2 + 2px+q) mit p,q R und p 2 < q. c (x a) k b) In der Partialbruchzerlegung (27) von R R(z) tritt mit Term c auf. Für a = b+id erhält man dann die reellen Terme (x ā) k c (x a) + c = 2Re(c(x b+id)k ). k (x ā) k ((x b) 2 +d 2 ) k stets auch der Mittels des Euklidischen Algorithmus kann man diese in Summen von Termen der αx+β Form, l k, zerlegen. ((x b) 2 +d 2 ) l b) Damit sind die bisher unbewiesenen Aussagen aus 21 und 21 auf den Fundamentalsatz der Algebra zurückgeführt.