Dieses Kapitel widmet sich den komplexen Zahlen. Die in den folgenden Kapiteln dargestellten Themen können damit

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1 Komplexe Zahlen Dieses Kapitel widmet sich den komplexen Zahlen. Die in den folgenden Kapiteln dargestellten Themen können damit komplex gelesen werden. Allerdings ist diese Sichtweise nicht unbedingt nötig; die meisten Darstellungen können auch reell verstanden werden. Entsprechend des Gebrauchs in der Elektrotechnik wird die imaginäre Einheit mit gekenneichnet; in anderen Disiplinen ist die Schreibweise i gebräuchlich.. Grundlagen Die Gleichung x = hat in den reellen Zahlen keine Lösung. Daher wird eine neue Zahl, die imaginäre Einheit (oft auch als i geschrieben), eingeführt, die = erfüllen soll. Definition.. (komplexe Zahlen) Die Menge C := {a + b a, b R} heißt Menge der komplexen Zahlen. Zwei komplexe Zahlen addiert, subtrahiert und multipliiert man wie üblich mit als Parameter unter Berücksichtigung von =. Bemerkung.. ur Schreibweise Bei komplexen Zahlen wird standardmäßig der Variablen-Buchstabe verwendet, während x meist für eine reelle Variable steht. Manchmal wird ein Variablenname auch unterstrichen, um kenntlich u machen, dass es sich um einen komplexen Wert handelt. G. Hoever, Höhere Mathematik kompakt, DOI 0.007/ _, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 03 47

2 48 Komplexe Zahlen Bemerkungen..3 (Gaußsche Zahlenebene). Die komplexen Zahlen kann man in der Gaußschen Zahlenebene darstellen (s. Abb..): Die Zahl = a + b eichnet man als Punkt (a, b) oder als Pfeil (oft Zeiger genannt) vom Ursprung u (a, b). imaginäre Achse b = a + b a reelle Achse Abb.. Gaußsche Zahlenebene.. Die Addition komplexer Zahlen geschieht in der Gaußschen Zahlenebene durch Aneinanderseten der Zeiger, wird durch den am Ursprung gespiegelten Zeiger repräsentiert; entsprechend kann man als +( ) durch Zeiger veranschaulichen (s. Abb.. links). 3. Bei der Multiplikation werden die Längen der Zeiger multipliiert und die Winkel wischen Zeiger und reeller positiver Achse addiert (s. Abb.. rechts). Beispiel..4 Die Summe und Differen der komplexen Zahlen 3 + und +ist (3 + ) + ( +) = 3+ + = 3 + ( + ) = + 3, (3 + ) ( +) = 3++ = 3++( ) = 4 +. Die Multiplikation ergibt (3 + ) ( +) = 3 ( +)+ ( +) = = 3+(3 ) + ( ) = 5+. Abb.. veranschaulicht die Rechnungen in der Gaußschen Zahlenebene ( +)= Abb.. Addition, Subtraktion und Multiplikation in der Gaußschen Zahlenebene.

3 . Grundlagen 49 Definition..5 Zu einer komplexen Zahl = a + b C mit a, b R heißt a Realteil ( ) und b Imaginärteil ( ), = a + b Betrag (oder Länge) von, := a b dieu konugiert komplexe Zahl. Bemerkungen..6 u Definition..5. Wie man an Abb..3 sieht, entspricht der Betrag einer komplexen Zahl nach dem Sat des Pythagoras der Länge des entsprechenden Zeigers.. Die konugiert komplexe Zahl erhält man in der Gaußschen Zahlenebene durch Spiegelung von an der reellen Achse (s. Abb..3). Sie besitt also den entsprechend negativen Winkel bgl. der reellen Achse. 3. Die u konugiert komplexe Zahl wird manchmal auch mit beeichnet. Beispiele..7. Zu der Zahl =3+ist { b = a + b = 3, =, = 3 + = 3, = 3. } {{ } a Abb..3 Realteil, Imaginärteil, Betrag und konugiert komplexe Zahl u.. Man kann nachrechnen, dass sich bei der Multiplikation (3 + ) ( +) = 5+ (s. Beispiel..4) tatsächlich die Längen multipliieren: Mit 3+ = 3 (s..) und + = ( ) + = ist 5+ = ( 5) + = 6 = 3 = Lit.: [KSt].,.; [Wal]..,..; [Knorr] 4.; [Stingl] 4., 4.; [Dürr].4; [Rie] 0., 0.; [SS] 9., 9.3; [Pap] III.. bis.3

4 50 Komplexe Zahlen. Eigenschaften Sat... In den komplexen Zahlen gelten bgl. + und die gleichen Gesete wie in den reellen Zahlen.. Es gilt = sowie + = und =. 3. Für 0ist =. 4. Es gilt ( ± ) = ±,( ) = und ( ) =. 5. Es ist =, = und =. 6. Es gilt die Dreiecksungleichung + +. Bemerkungen.. u Sat... Die Beiehung = aus Sat..,., ergibt sich rechnerisch für = a + b wegen = (a + b) (a b) 3. binomische = Formel = a b ( ) = a + b =. a (b) = a b Da und ueinander gespiegelte Winkel haben, ist = auch mit Bemerkung..3, 3., klar. Die beiden anderen Beiehungen von Sat..,., lassen sich ähnlich nachrechnen, sind aber auch in der Gaußschen Zahlenebene plausibel (s. Abb..4). + } {{ } Abb..4 Addition und Subtraktion von und.. Sat.., 3., erhält man durch Erweiterung mit der konugiert komplexen Zahl : Merkregel: =..,., =. Man dividiert durch eine komplexe Zahl, indem man mit der konugiert komplexen Zahl erweitert.

5 . Eigenschaften 5 Beispiel... Es ist + = = ( + )( ) ( + = ) 5 = 5 5. Abb..5 Kehrwert einer komplexen Zahl. Die Lage von in der Gaußschen Zahlenebene kann man sich mit Bemerkung..3, 3. folgendermaßen überlegen (s. Abb..5): Die Multiplikation von mit ergibt, also den Winkel 0 ur rellen positiven Achse. Der Winkel des Zeigers u muss also u dem von gespiegelt sein, und somit dem von entsprechen. Die Längen müssen multipliiert ergeben, also = (vgl. auch Sat.., 5.). 3. Der Name Dreiecksungleichung ur Ungleichung von Sat.., 6., wird in der Gauß- schen Zahlenebene plausibel, wie Abb..6 eigt: Die Länge des Zeigers u + ist kleiner oder gleich der Summe der Länge der Zeiger u und. Bemerkung..3 + Abb..6 Dreiecksungleichung. Auf C gibt es keine größer- oder kleiner-relationen. Aussagen wie < sind sinnlos. Bemerkungen..4 ( Wureln aus komplexen Zahlen). Für edes w C gibt es ein C mit = w. Grafischerhält man ein solches durch Halbierung des Winkels und Wurel-Nehmen des Betrags, s. Abb..7 links. Mit gilt dann auch für =, dass =( ) = = w ist. Man erhält auch, indem man den Winkel u w in negativer Richtung (im Uhreigersinn) betrachtet und halbiert. Beispiel..4. Zu w = gilt für = und = =, dass = = w ist (s. Abb..7 Mitte).

6 5 Komplexe Zahlen Beispiel..4. Zu w = gilt für = + : = ( + ) = ( ) + = + + = + = = w. Damit gilt auch ( ) = = w (s. Abb..7 rechts). ( ) + w w w Abb..7 Lösungen u = w allgemein und konkret u w = und w =.. Da man nicht festlegen will, welche der beiden Lösungen u = w als Wurel aus w gemeint sein soll, ist die -Funktion weiterhin nur für reelle Zahlen x 0 definiert. 3. Umgangssprachlich sagt man oft =, aber genauso könnte man = sagen. Ein u unbekümmerter Umgang mit Wureln aus negativen Zahlen kann u Fehlschlüssen führen,.b. = = = ( ) ( ) = =. 4. Die Wurel aus negativen oder komplexen Zahlen kommt bei der üblichen Anwendung der p-q-formel (Sat..) ur Lösung quadratischer Gleichungen x + px + q =0vor.DieLösungsformel x = p ± D mit D = ( p ) q, ist weiterhin gültig (auch bei komplexen Koeffiienten p und q), wenn man den Ausdruck ± D so interpretiert, dass hier beide Lösungen ( und ) u = D u nehmen sind. Beispiel..4.3 Die Gleichung x +x + 3 = 0 hat nach der p-q-formel die Lösungen x = ± ( ) 3 = ±.

7 . Eigenschaften 53 Mit ± sind die beiden Lösungen u =, also = ± gemeint (vgl. Beispiel..4.), also x = ±. Man erhält also das richtige Ergebnis, wenn man (mathematisch nicht gan sauber) rechnet. ± = ± ( ) = ± = ± Beispiel..4.4 Die Gleichung +( ) = 0 hat die Lösungen ( = ) ± ( ) = ± ++ = ±. Nach Beispiel..4., sind ± ( + ) diebeidenlösungen, die quadriert ergeben, also ist weiter ( = ± + ). Die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung sind also = + (+ ) und = ( + ). Sat..5 (Fundamentalsat der Algebra) In C besitt edes Polynom p() =a n n + a n n + + a + a 0 mit a n 0 genau n Nullstellen (inklusive Vielfachheit),,..., n. Es gilt dann p() =a n ( )( )... ( n ). Man sagt auch: In C kann man edes Polynom in Linearfaktoren erlegen. Beispiele..6. Das Polynom p() = + besitt die Nullstellen ±. Es ist p() = + = ( )( +).. Das Polynom p() = besitt = als Nullstelle. Eine Polynomdivision oder Anwendung des Horner-Schemas bringt

8 54 Komplexe Zahlen p() = ( )( + +3). Die Nullstellen von sind nach Beispiel..4.3 = ±. Damit ist p() =( ) ( ( + ) )( ( ) ). Sat..7 Ist p() ein Polynom mit reellen Koeffiienten, so gilt:. Für alle C ist p( )= ( p() ).. Ist 0 eine Nullstelle von p, soistauch 0 Nullstelle von p. Bemerkungen..8 u Sat..7. Das folgende Beispiel verdeutlicht, warum bei Polynomen mit reellen Koeffiienten p( )= ( p() ) gilt: Beispiel..8. Sei p() = Mehrfache Anwendung von Sat.., 4., ergibt ( ) 3 =( 3 ) und damit p( ) = ( ) 3 +4 = ( 3 ) +4. Für relle Zahlen a R gilt a = a, so dass man die reellen Koeffiienten auch konugiert komplex schreiben kann. Entsprechend Sat.., 4., kann man dann die komplexe Konugation auf den gesamten Ausdruck beiehen: p( ) = ( 3 ) +4 = ( 3 +4 ) ( ). = p(). Die weite Aussage von Sat..7 folgt direkt aus der ersten: Ist 0 eine Nullstelle von p, so gilt p( 0 )=(p( 0 )) =0 =0. 3. Ist 0 / R, soführt die Zusammenfassung der Linearfaktoren ( 0 ) und ( 0 ) u einem reellen quadratischen Polynom: ( 0 ) ( 0 ) = ( ) = Re ( 0 ) + 0. Dieses quadratische Polynom ist in den reellen Zahlen nullstellenfrei.

9 .3 Polardarstellung 55 Beispiel..8. Das Polynom p() = 4 + besitt als Nullstellen die Lösungen u 4 =, also u = ±: / = ±, 3/4 = ±. Nach Sat..5 ist damit 4 + = ( )( )( 3 )( 4 ). Abb..8 Die Lösungen von 4 =. Die Zusammenfassung der Linearfaktoren u den ueinander konugiert komplexen Nullstellen und führt nach Bemerkung..8, 3. u ( )( ) = Re ( ) + und die u 3 und 4 entsprechend u = + = +, ( 3 )( 4 ) = Re ( 3 ) + 3 = + +. Damit erhält man (vgl. Beispiel..33) p() = 4 + = ( + ) ( + + ). Lit.: [KSt].,.3; [Wal]..; [Knorr] 4.; [Stingl] 4.; [SS] 9..5, 9.3.3, 9.4.4, Polardarstellung Die Exponentialfunktion x e x kann man in natürlicher Weise auf komplexe Werte erweitern (s. Bemerkung 3.3.5, 3.) und so e für C definieren. Es gilt dann weiterhin e + = e e. Insbesondere gilt also für a, b R: e a+b =e a e b ; dabei ist e a durch die reelle Exponentialfunktion bekannt. Der folgende Sat.3. klärt die Bedeutung von e b. Sat.3. (Euler-Formel) Es gilt e x = cos x +sinx und e x = cos x sinx.

10 56 Komplexe Zahlen Die komplexe Zahl e x = cos x +sinx u x R liegt also in der Gaußschen Zahlenebene auf dem Einheitskreis im Winkel x ur reellen positiven Achse, s. Abb..9. Insbesondere gilt e x =für edes x R. e π sinx e x x cos x e π e π 4 e 0 =e π Abb..9 Die komplexe Exponentialfunktion in der Gaußschen Zahlenebene. Beispiele.3. Es ist e 0 = e 0 = cos 0 + sin 0 =, e π 4 = cos π 4 +sinπ 4 = +, e π = cos π +sinπ = 0+ =, e π = cos π +sinπ = + 0 =, e π = cos(π)+sin(π) = + 0 =. Bemerkungen.3.3 u Sat.3.. Eigentlich heißt nur die erste Formel ( e x = cos x +sinx) Euler-Formel. Die weite Gleichung folgt direkt aus der Euler-Formel wegen e x = e ( x) = cos x +sin( x) = cos x +( sin x) = cos x sinx. Jedes C ist eindeutig beschrieben durch den Abstand r u 0 und den Winkel ϕ ur reellen Achse, s. Abb..0. Es besitt also die Darstellung r sin ϕ r = r e ϕ e ϕ = r e ϕ = r (cos ϕ + sin ϕ) = r cos ϕ + r sin ϕ. ϕ }{{} r cos ϕ Abb..0 Polardarstellung.

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