Komplexe Zahlen. Die bildliche Vorstellung einer komplexen Zahl z = (a, b) stellt ein Punkt in der Bildebene dar. Die Elemente der Menge:

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1 Komplexe Zahlen Die bildliche Vorstellung einer komplexen Zahl z = (a, b) stellt ein Punkt in der Bildebene dar. Die Elemente der Menge: R = R R = {(a, b) a, b R} heißen komplexe Zahlen wenn für die Verknüpfung + (Addition) und (Multiplikation) gilt: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) Die Menge aller komplexen Zahlen heißt C Anschauung der Addition: b+d (a+c, b+d) b d a c a+b Anschauung der Multiplikation: (später) C stellt einen Körper dar, wenn folgende Axiome bzgl. der Addition und Multiplikation erfüllt sind: Kommutativgesetz Assoziativgesetz neutrale Element inverse Element

2 Axiome Addition Kommutativgesetz z + z = (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) = (c + a, d + b) = (c, d) + (a, b) = z + z Assoziativgesetz (ohne Beweis) neutrale Element (0,0) z + (z + z 3 ) = (z + z ) + z 3 (a, b) + (0, 0) = (a, b) inverse Element (a, b) + ( a, b) = (0, 0) Multiplikation Kommutativgesetz (Beweis s.o.) z z = z z Assoziativgesetz (ohne Beweis) neutrale Element (,0) z (z z 3 ) = (z z ) z 3 (a, b) (, 0) = (a b 0, a 0 + b ) = (a, b) inverse Element ( a b a +b, a +b ) a b a (a, b) ( a + b, a + b) = (a C ist einen Körper a + b b b a + b, a b a + b + b a a + b ) ab a + b + ab a + b) = (, 0) = ( a + b a + b,

3 3 Eigenschaften Definition der Differenz (Subtraktion): Ist z = (a, b) und z = ( a, b) so bezeichnen wir z als z Definition des Quotienten (Division): Ist z = (a, b) und z = ( a b a +b, a +b ) so bezeichnen wir z als z Definition der Potenz (analog zu den reellen Zahlen): z 0 = z = z z n = zz n R stellt eine Teilmenge von C dar a = (a, 0) Die reellen Zahlen liegen auf der waagerechten Koordinatenachse Die Zahl (0,) wird als i bezeichnet, häufig aber als j geschrieben j = (0, )(0, ) = (0, 0 + 0) = (, 0) = Potenzen von j j 0 = j = j j = j j = j 3 = j = j j 4 = j j =

4 4 Eigenschaften j stellt die Einheit für den imaginären Teil einer komplexen Zahl dar, und ermöglicht eine einfachere Schreibweise für komplexe Zahlen: (a, b) = a + jb a + jb = (a, 0) + (0, )(b, 0) = (a, 0) + (0 0, 0 + b) = (a, b) Sei z = a + jb so ist a der Real und b der Imaginärteil von z: a = R{z} b = I{z} Ist z = a+jb und z = a jb so bezeichnen wir z als z, die konjugiert komplexe Zahl zu z Spiegelung von z an der waagerechten Koordinatenachse b a+jb a -b a-jb Rechenregeln für konjugiert Komplexe R{z} = (z + z) I{z} z R wenn z = z = j (z z) z z = a + b wenn z = a + jb z = z z + w = z + w z w = z w z n = z n

5 5 Eigenschaften Der Betrag einer komplexen Zahl wird mit z bezeichnet: z = a + b z = a + b = z z a+jb aa+bb b a der Abstand zweier komplexer Zahlen z, w C beträgt: z w = (c a) + (d b) und wird auch als euklidsche Distanz bezeichnet

6 6 Anwendung Mandelbrotmenge Die Mandelbrotmenge gehöhrt zu den sog. Fliehfractalen Jeder Punkt c = x + jy der Bildebene wird in die Iterationsfolge: z n+ = zn + c eingesetzt, wobei z 0 = 0 gesetzt wird. Nach jeder Iteration wird geprüft, ob z sich innerhalb eines gegebenen Radius um den Ursprung befindet: z n < r Verlässt z den Radius, so wird der Punkt c weiss gefärbt long lmandel(double x, double y, long maxiter) { double z_re=0,z_im=0,tmp; long iter=0; while(iter++ < maxiter) { tmp=z_re*z_re-z_im*z_im+x; z_im=*z_re*z_im+y; z_re=tmp; if((z_re*z_re + z_im*z_im) > 4.0) return (iter); } return(maxiter); }

7 7 Polarform alternative Darstellung komplexer Zahlen statt Koordinaten: Länge und Winkel des Vektors Winkel entspricht der Bogenlänge des Einheitskreises (u = π) b a+jb aa+bb ϕ a cos ϕ = a z a = cos ϕ z sin ϕ = b z b = sin ϕ z a + jb = z (cos ϕ + j sin ϕ) geometrische Anschauung der Produktformel: z w = z w (cos ϕ + j sin ϕ)(cos ψ + j sin ψ) = z w (cos ϕ cos ψ sin ϕ sin ψ + j(sin ϕ cos ψ + cos ϕ sin ψ)) nach dem Additiontheorem der sin, cos Funktion: ( ) = z w cos (ϕ + ψ) + j sin (ϕ + ψ) Multiplikation komplexer Zahlen bedeutet: Beträge multiplizieren Winkel addieren

8 8 Multiplikation in Polarform Bildung von j Winkel: π = π Betrag: = π/ π/ j j =- Bildung des Betrags Winkel: ϕ + π ϕ = π ist immer real(!) Betrag: z = a + b = a + b = z z a+jb ϕ ϕ+π ϕ=π aa+bb=zz π ϕ a-jb

9 9 Exponentialfunktion Reihenentwicklung der reellen Exponentialfkt.: exp(x) := x n n! R R Reihenentwicklung der komplexen Exponentialfkt. (komplexe Sinusfkt.): z n exp(z) := C C n! Reihenentwicklung der komplexen Exponentialfkt. Argument ohne reellen Anteil: jx n exp(x) := R C n! Eigenschaften: e jx = weil z = z z e jx = e jx e jx = e jx e jx = e 0 = graphische Darstellung: sin(x) jx e x cos(x) Euler sche Formel: e jx = cos(x) + j sin(x) cos(x) = R{e jx } sin(x) = I{e jx }

10 0 Cos und Sin Funktion Berechnung der Cos und Sin Funktion: cos(x) = (ejx + e jx ) sin(x) = (ejx e jx ) graphische Darstellung: sin(x) jx e -jx - e sin(x) jx e jx e -jx + e cos(x) cos(x) -sin(x) -jx e

11 orthogonale Funktionen Aus Vektorrechnung: Vektoren heissen orthogonal zueinander, wenn das Skalarprodukt verschwindet: x y = 0 x i y i = 0 Analogie zu Funktionen Funktionen heissen orthogonal auf einen Wertesatz {x 0, x,, x }, wenn gilt: f(x n )g(x n ) = 0 für n kontinuierliche Funktionen in [a, b] b a f(t)g(t)dt = 0 betrachte Fkt-satz aus Sin und Cos Funktionen mit Vielfachen einer Grundfrequenz f 0 = T 0 HARMONISCHE Alle Funktionspaare (mit Ausnahme der identischen) sind orthogonal über ein Intervall der Breite T 0 : i T 0 T 0 T 0 T 0 T 0 T 0 T 0 T 0 cos (kt) = sin(kt) sin(mt) = 0 cos(kt) cos(mt) = 0 cos(kt) sin(mt) = 0 T 0 T 0 sin (kt) = T 0 k m k m k, m

12 Fourierreihe Idee: Periodische Signale durch Summe harmonischer Sin(Cos)- Funktionen approximieren Rückschluss auf das Frequenzspektrum und Phaseninformation x(t): Zeitsignal ausdrücken durch cos( t) t normieren auf die Grundperiode T 0 und den Wertebereich der Sin (Cos) Funktion π cos( π π t) mit := ω 0 cos(ω 0 t) T 0 T 0 Fourier Reihe x(t) = A k α k A k cos(kω 0 t) }{{} +α k Harmonische = Amplitude der k-ten Harmonischen = Phasenverschiebung der k-ten Harmonischen A k und α k sind der Parametersatz der Fourierreihe (und somit zu berechnen) Um die Ortogonalität zu nutzen, muss die Phasenverschiebung verschwinden. Ersetze daher A cos( ) + α durch a cos( ) + b sin( ) Alternative Darstellung x(t) = A k = a k cos(kω 0 t) + b k sin(kω 0 t) a k + b k α k = arctan( b k a k )

13 3 komplexe Darstellung beliebte Darstellungsform in der Elektrotechnik (kompakt) x(t) = c k e jkω 0t Achtung: Summe startet bei k= negative Frequenzen, dabei gilt: c k = c k x(t) = c k e jkω0t = k= c k e jkω0t + c k e jkω 0t mit Hilfe der Euler schen Formel: x(t) = = c k (cos(kω 0 t) + j sin((kω 0 t)) + c k (cos(kω 0 t) j sin((kω 0 t)) (c k + c k ) cos(kω }{{} 0 t) + j(c k c k ) }{{} a k b k sin((kω 0 t)) a k = c k + c k = R{c k } b k A k = = j(c } k {{ c } k ) = j I{c k } = I{c k } imaginär }{{} real a k + b k = c k α k = arctan( b k a k ) = arctan( I{c k} R{c k } )

14 4 Funktionsapproximation Darstellung einer Funktion durch (Linear)Kombination anderer Funktionen Basisfunktionen Bsp: Fourieranalyse durch Harmonische Funktionen Warum: Quellenfunktion oft unbekannt, Funktionswerte nur als Stichprobe vorhanden Wasserstandsvorhersage: Wie sieht die Funktion des Flusses aus Welche Basisfunktionen sind die richtigen Wie lautet der Parametersatz Bekanntes Beispiel: Taylorreihen f(x) = a 0 + a x + a x + + a x = a n x n Bestimmung des Parametersatzes a n, n : 0 N, abhängig von der Anzahl der Funktionsbeispiele f(x) unterbestimmtes System: Anzahl Funktionsbeispiele < Anzahl Parameter Lösungsschar, welche stimmt??? dadurch meist unbrauchbar bestimmtes System: Anzahl Funktionsbeispiele = Anzahl Parameter Funktionsbeispiele werden exakt approximiert aber wird die erzeugende Funktion getroffen??? überbestimmtes System: Anzahl Funktionsbeispiele > Anzahl Parameter Funktionsbeispiele werden nur annähernd getroffen aber meist bessere Annäherung an die eigentliche Funktion

15 5 Funktionsapproximation Beispiel: Approximation der Funktion f(x) = x sin(x) durch taylorreihen.5 x sin(x).5 f(x) x Funktionswerte aus der Funktion x sin(x) mit überlagertem Rauschen Funktionsbeispiele mit Polynom 0-ten Grades genau approximierbar Abb: Taylorreihen mit -ten, 3-ten und 0-ten Grad Polynom 3-ten Grades (überbestimmtes System) trifft die eigentliche Funktion x sin(x) am besten Parameterbestimmung bei überbestimmten Systemen Ziel: Minimaler Fehler über den Funktionsbeispielen Definition einer Fehlerfunktion Minimierung durch partielle Ableitung in Richtung der Parameter Fehlermaß: quadratischer Abstand

16 6 Bestimmung der Fourierkoeffizienten Allgemeine Form der Fourier Analyse: x(t) = a k cos(kω 0 t) + b k sin(kω 0 t) wird der n-te Funktionswert x(t n ) mit K-Harmonischen approximiert, so gilt: x(t n ) = K a k cos(kω 0 t n ) + b k sin(kω 0 t n ) Der Fehler für den n-ten Funktionswert bei quadratischen Fehlermaß: E n (a, b) = (x(t n ) K a k cos(kω 0 t n ) + b k sin(kω 0 t n )) Der Gesamtfehler als Summe über alle gegebenen N Funktionswerte: [ E(a, b) = x(t n ) K a k cos(kω 0 t n ) + b k sin(kω 0 t n ) Durch Substitution zu einer kompakten Schreibweise ] f kn = a k cos(kω 0 t n ) + b k sin(kω 0 t n ) [ ] K E(a, b) = x(t n ) f kn

17 7 Bestimmung der Fourierkoeffizienten Zur Parameterbestimmung minimiere E bilde alle partiellen Ableitungen für a m, b m m = 0 K und setze diese gleich Null [ ] E = K x(t n ) f kn = 0 Produktregel a m a m [ ] K = x(t n ) f kn cos(mω 0 t n ) = 0 denn es gilt für die partiellen Ableitungen: Vereinfachen K K 0 = = x(t n ) cos(mω 0 t n ) = x(t n ) cos(mω 0 t n ) = f kn a m = cos(mω 0 t n ) f kn b m = sin(mω 0 t n ) [ x(t n ) K x(t n ) cos(mω 0 t n ) K K f kn cos(mω 0 t n ) f kn ] cos(mω 0 t n ) K f kn cos(mω 0 t n ) (a k cos(kω 0 t n ) + b k sin(kω 0 t n )) cos(mω 0 t n )

18 8 Bestimmung der Fourierkoeffizienten x(t n ) cos(mω 0 t n ) = da orthogonal: x(t n ) cos(mω 0 t n ) = K x(t n ) cos(mω 0 t n ) = a m T 0 + a k cos(kω 0 t n ) cos(mω 0 t n ) K a m cos (mω 0 t n ) b k sin(kω 0 t n ) cos(mω 0 t n ) und wir erhalten für die Parameter a m, m = 0 K a m = T 0 x(t n ) cos(mω 0 t n ) Analog erfolgt die Berechnung der Parameter b m, m = 0 K b m = T 0 x(t n ) sin(mω 0 t n ) Die Rekonstruktion der Funktion erfolgt mit Hilfe der Ausgangsformel: x (t) = K a k cos(kω 0 t) + b k sin(kω 0 t) Wobei x (x) die Approximierte der ursprünglichen Funktion x(t) darstellt