HS Emden-Leer Ä Fachb. Technik, Abt. Elektrotechnik u. Informatik. 1. e 2. 3.

Transkript

1 HS Emden-Leer Ä Fachb. Technik, Abt. Elektrotechnik u. Informatik Prof. Dr. J. Wiebe 1. e

2 4. Komplexe Zahlen 4.1 Die ImaginÅre Einheit i und die ImaginÅre Zahl Bei der LÅsung von Gleichungen wie z.b. x = 0 ergab sich die Notwendigkeit, die GrÅÇe zu verwenden ( Geronimo Cardano, 1545 ). SpÉter wurde mit i ( Euler, ab 1777 ) oder in der Elektrotechnik mit j abgekñrzt. Mit der Festlegung iäi = -1 ist i als die ImaginÉre Einheit definiert. Anmerkung: Die Verwendung von nach den herkåmmlichen Rechenregeln ståçt auf WidersprÑche: Da a b = aäb, ergibt sich fñr = = Ö 1. iäi ist aber eindeutig gleich -1. _ Die Angabe bäi mit b IR ist damit eine ImaginÉre Zahl. ImaginÉre Zahlen und reelle Zahlen haben verschiedenartige Eigenschaften, sie kånnen z.b. nicht bezñglich ihrer GrÅÇe verglichen werden. 4.2 Die komplexe Zahl Die Summe einer reellen Zahl a und einer imaginéren Zahl bäi heiçt Komplexe Zahl z = a + bäi mit a : Realteil, b : ImaginÉrteil Damit léçt sich formulieren: FÑr jedes Polynom p(x) = x n + a n-1 x n a 1 x + a 0 gibt es komplexe Zahlen z k = a k + iäb k, so daç p(x) = ( x - z 1 ) ( x - z 2 )... ( x - z n ). Die z 1, z 2,..., z n heiçen Wurzeln des Polynoms. Rechengesetze: Seien a, b, c, x beliebige komplexe Zahlen, und speziell gelte 1 = 1 + iä0, 0 = 0 + iä0. Neben den Regeln der Addition und Subtraktion von Vektoren in der Ebene gilt: 1.) aä(bäc) = (aäb)äc 2.) aäb = bäa 3.) aä1 = 1Äa = a 4.) ( a+b ) Äc = aäc + bäc 4-2

3 4.3 Darstellung von komplexen Zahlen 1.) Kartesische Koordinaten, d.h. mit Real- und ImaginÉrteil z = a + iäb ( siehe 4.2 ) graphisch als Punkte mit den Koordinaten ( a,b ) in der GauÇschen Zahlenebene Re : Realteil Im : ImaginÉrteil Die Punkte kånnen fñr Rechenzwecke auch durch ihre Ortsvektoren gekennzeichnet werden. 2.) Polarkoordinaten, d.h. mit Betrag und Winkel r, : Polarkoordinaten von z Wertebereiche: r 0, 0 2 Die Addition + kä2, k, veréndert den Wert von z nicht. r heiçt Betrag von z, heiçt Argument (=Winkel) von z. Polardarstellungen von z : a) z = r ( cos + iäsin ) <== Real-/ImaginÉrteil b) z = r e iä <== Exponentialform Es gilt: cos + iäsin = e iä = 1 4-3

4 Die Verbindung zwischen den Formen (a) und (b) ist durch die Eulersche Beziehung gegeben: e iä = cos + iäsin Damit gilt auch: cos = à ( e iä + e -iä ) und sin = 1 / 2i ( e iä - e -iä ) 3.) Umrechnungen zwischen den Darstellungsformen: * Gegeben: Betrag r und Winkel von z, gesucht: Realteil und ImaginÉteil von z : Re(z) = a = r cos Im(z) = b = r sin * Gegeben: Realteil a und ImaginÉteil b von z, gesucht: Betrag r und Winkel von z : z = r = a 2 + b 2 Argument ( Winkel ) von z : b b a = arctan = arcsin = arccos a z z Achtung: die Funktion tan(x) ist nur im Bereich - x + definiert. 2 2 Winkel auçerhalb dieses Bereiches sind nur durch eine geeignete Abfrage zu erkennen. Definitionsbereich des tan( ) Ist Re(z) = a < 0, so muç der Winkelwert, der sich mit der arctan-funktion ergibt, um ( bzw. 180â) erhåht werden. ähnliche Probleme treten bei Verwendung von arcsin( ) und arccos( ) auf, die Korrektur ist aber nicht so einfach wie bei arctan( ). 4-4

5 4.) Spezielle Werte von z : 1 = e iä0 siehe Abb. zu 1.) Kartesische Koordinaten i = e iä( /2) -1 = e iä = e -iä -i = e -iä( /2) 4.4 Gleichheit komplexer Zahlen Zwei komplexe Zahlen sind genau dann gleich, wenn sie entweder a) gleiche Real- und gleiche ImaginÉrteile oder b) gleiche BetrÉge und gleiche Argumente ( Winkel ) haben. FÑr die Feststellung der Gleichheit mñssen immer zwei Bedingungen gleichzeitig erfñllt sein. zu a) Gegeben seien z 1 = a 1 + iäb 1, z 2 = a 2 + iäb 2 z 1 = z 2 heiçt: a 1 = a 2 und b 1 = b 2 zu b) Gegeben seien z 1 = r 1 e iä, z 2 = r 2 e iä z 1 = z 2 heiçt: r 1 = r 2 und 1 = 2 Merke: Eine Gleichung mit komplexen Zahlen ergibt immer zwei Gleichungen mit reellen Zahlen. Das gleiche gilt fñr 2-dimensionale Vektoren. 4.5 Die konjugiert komplexe Zahl FÑr z = x + iäy definieren wir die zu z konjugiert komplexe Zahl durch z _ : = x - iäy Schreibweise auch : z * _ Es gilt: z 1 + z 2 = z 1 _ z 1 Ä z 2 = z 1 _ + z2 _ Ä z2 z Geometrisch bedeutet die Konjugation: Spiegelung an der reellen Achse z _ 4-5

6 4.6 Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen Addition und Subtrakton von komplexen Zahlen werden genauso ausgefñhrt wie die Addition und Subtraktion von 2-dimensionalen Vektoren in einem kartesischen x-y-koordinatensystem. Dabei entspricht der Realteil der komplexen Zahl der x-komponente des Vektors und der ImaginÉrteil der komplexen Zahl der y-komponente des Vektors. Addieren oder Subtrahieren von komplexen Zahlen in der Exponentialform ist nicht méglich! 4.7 Multiplikation von komplexen Zahlen Gegeben: z 1 = a 1 + iäb 1 = r 1 e iä, z 2 = a 2 + iäb 2 = r 2 e iä Produkt mit Exponentialform: z = z 1 Ä z 2 = r 1 r 2 e i ( ( Die BetrÉge werden multipliziert, die Winkel werden addiert. ) Produkt mit Real-/ImaginÉrteil: z = z 1 Ä z 2 = (a 1 + iäb 1 ) (a 2 + iäb 2 ) = a 1 a 2 - b 1 b 2 + iä(a 1 b 2 + a 2 b 1 ) Geometrisch bedeutet die Multiplikation mit z 2 : Drehung um 2 und Streckung (bzw. Stauchung) mit r 2. Beispiele: 1.) Gegeben: z 1 = 2 + iä3, z 2 = 1 + iä1 z = z 1 Ä z 2 = 2Ä1-3Ä1 + i ( 3Ä1 + 2Ä1 ) = -1 + iä5 oder in der Exponentialdarstellung: (1) Umwandeln von Re-/Im-Teil in Exponentialform r 1 = = 13 = 3,606 1 = arctan(3/2) = 0,983rad ^= 56,3â r 2 = = 2 = 1,414 2 = arctan(1/1) = 0,785rad ^= 45â 4-6

7 (2) Multiplizieren z = z 1 Ä z 2 = 3,606Ä1,414Äe i(0,983+0,785)rad = 5,099Äe iä1,768rad ( 1,768rad ^= 101,3â) (3) RÑckwandeln in Re-/Im-Teil z = 5,099 ( cos(1,768rad) + iäsin(1,768rad)) = -0,999 +iä5,000 Vergleich mit der Rechnung in Re-/Im-Teil: Bis auf geringe Rundungsfehler stimmen die Ergebnisse Ñberein. Der Aufwand fñr die Rechnung mit der Exponentialform ist erheblich gråçer, wenn die Exponentialform nicht von vornherein vorliegt und das Ergebnis wieder nach Re-/Im-Teil vorliegen soll, was immer der Fall ist, wenn sich Addition oder Subtraktion anschlieçt. z Der Betrag von z 2 ist > 1. Daher wird der Betrag des Produktes gråçer als der Betrag von z 1. z 1 Der Winkel 2 ist > 0, daher wird der Winkel von z 1 in mathematisch positiver Richtung weitergedreht. z 2 2.) Gegeben: z 1 = 2 + iä3, z 2 = 1 - iä1 z = z 1 Ä z 2 = 2Ä1 + 3Ä1 + i ( 3Ä1-2Ä1 ) = 5 + iä1 oder in der Exponentialdarstellung: (1) Umwandeln von Re-/Im-Teil in Exponentialform r 1 = 3,606, r 2 = 1,414, 1 = 0,983rad wie in 1.) 2 = - 0,785rad, der ImaginÉrteil von z 2 ist jetzt negativ 4-7

8 (2) Multiplizieren z = z 1 Ä z 2 = 3,606Ä1,414Äe i(0,983-0,785)rad = 5,099Äe iä0,198rad ( 0,198rad ^= 11,3â) (3) RÑckwandeln in Re-/Im-Teil z = 5,099 ( cos(0,198rad) + iäsin(0,198rad)) = 4,999 +iä1,003 z 1 Da z 2 einen negativen Winkel hat, wird z 1 mathematisch negativ verdreht. z z 2 3.) Gegeben: z 1 = 1, z 2 = i z 3 = z 1 Äz 2 = i; z 4 = z 3 Äz 2 = -1 Jede Multiplikation mit i bewirkt eine Drehung um /2 gegen den Uhrzeigersinn, z 3 bzw. z 2 d.h. mathematisch positiv. z 4 z 1 4-8

9 4.8 Division von komplexen Zahlen Gegeben: z 1 = r 1 e i 1 ; z 2 = r 2 e i 2 Division mit der Exponentialform: i 1 z1 r1 e r1 z = = Ä = Ä e i ( ) z2 r i 2 e 2 r2 oder mit Real- und ImaginÉrteil: z = z 1 a 1 + iäb 1 ( a 1 + iäb 1 ) ( a 2 - iäb 2 ) a 1 a 2 + b 1 b 2 + iä(a 2 b 1 - a 1 b 2 ) z = 2 a2 + iäb = 2 ( a2 + iäb 2 ) ( a 2 - iäb 2 ) = a b 2 konjugiert komplexe Erweiterung Speziell gilt: 1 1 i = i-1 = e i ( /2) = e - i ( /2) : RÑckdrehung um 2 1 i i 4.9 BetrÅge von Produkten und Quotienten (a) Der Betrag eines Produktes ist gleich dem Produkt der BetrÉge der Faktoren: z = z 1 Äz 2 = z 1 z 2 (b) Der Betrag eines Quotienten ist gleich dem Quotienten der BetrÉge von ZÉhler und Nenner: z 1 z 1 z = z z 2 2 (c) e iä = 1 4-9

10 4.10 Wurzel aus einer komplexen Zahl Gegeben: Mit dem Ansatz z = r Ä e i z Ä z = z ist z = r Ä ( e i ) à = r Ä e i /2 und wegen e i = e i( +kä2 ), k=1, 2,... auch z = r Ä (e i( +2 ) ) à = r Ä e i( /2+ ) z hat also zwei LÅsungen, die sich auf dem Kreis mit Radius r genau gegenñber liegen. Allgemeiner Fall: n-te Wurzel aus z Die n-te Wurzel hat genau n verschiedene LÅsungen Die n Wurzeln liegen gleichméçig verteilt auf einem n Kreis mit dem Radius r. Beispiel: 3. Wurzel aus z Es gibt drei LÅsungen jeweils um 120â verschoben. Weitere Beispiele: 1.) -1 = +i oder -i 2.) Gegeben: z = 9Äe i 1,047 ( ^= 60â ) z = 9 Ä e i (àä1,047) = 3Ä e iä0,524 ( ^= 30â ) oder = 3Ä e iä(0,524 + ) iä3,666 ( 210â ) = 3Ä e 4-10

11 4.11 Die komplexe Exponentialfunktion Mit z = a + iäb gilt e z = e (a + iäb) = e a Ä e iäb reelle Zahl, komplexe Zahl mit Betrag 1, gibt Betrag von e z an gibt Richtung an ( b = Winkel von e z ) ã FÑr a = 0 ist e z = 1. Es sei t IR ein Parameter. Dann beschreibt 1.) c(t) = e iät den Einheitskreis Dies bildet die Grundlage fñr die Darstellung von sinusfårmigen Schwingungen durch komplexe Zahlen, in der Elektrotechnik Zeiger genannt: Re( c(t) ) = cos( t ) Im( c(t) ) = sin( t ) ( sinusfårmige Schwingung mit der Kreisfrequenz 1 ) 2.) c(t) = e (a + ib)ät mit a < 0 eine einziehende Spirale Re( c(t) ) und Im( c(t) ) stellen jeweils eine abklingende Schwingung dar. 4-11