Rechnen. mit. Komplexen Zahlen

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1 Rechnen mit Komplexen Zahlen Fachschule für Technik Mühlhausen R.Schollmeyer

2 Inhaltsvereichnis Einführung... Die imaginäre Einheit... Die komplexe Zahl... Darstellung der komplexen Zahl... Geometrische Veranschaulichung... Mathematische Darstellungsformen... Rechnen mit komplexen Zahlen...3 Addition und Subtraktion...3 Multiplikation und Division...4 Multiplikation in Exponentialform...4 Multiplikation in Normalform...4 Division in Exponentialform...5 Division in Normalform...5 Real-Machen des Nenners...5 Potenieren und Radiieren...6 Potenieren...6 Radiieren...6 Fachschule für Technik Mühlhausen R.Schollmeyer

3 Einführung Errechnen Sie einfach mal aus der Gleichung x + = 0 den Wert für x um dieser Gleichung u genügen. Wie Sie richtig festgestellt haben, besteht die Lösung aus der Wurel aus einer negativen Zahl (hier: -). Wie im Altertum sehen Sie derartige Aufgaben als unlösbar an. Unlösbar sind sie im Bereich der Reellen Zahlen tatsächlich, jedoch nicht im Bereich der "Komplexen Zahlen". Schon im 6. Jahrhundert befassten sich italienische Mathematiker mit diesen "neuen" Zahlen und nannten sie "eingebildet", "unmöglich", "imaginär". Dabei verwendeten sie für das Rechnen mit diesen Zahlen dieselben Rechenregeln wie für das Rechnen mit Reellen Zahlen an. Die Bedeutung jener Zahlen blieb ihnen jedoch unklar. CARDANO nennt die Komplexen Zahlen "falsche, wahrhaft sophistische" Zahlen und eine erste formale Begründung des Rechnens mit Reellen und Komplexen Zahlen findet sich in der "Algebra" des italienischen Mathematikers RAFAELLO BOMBELLI (57). Die erste geometrische Begründung des Rechnens bw. Darstellung der Komplexen Zahlen durch Punkte oder Vektoren wurde erst Anfang des 9. Jahrhunderts (CASPAR WESSEL, 799; J.-R. ARGAND, 806) gefunden. Diese Art der Auslegung fand jedoch erst nach einer weiteren, durch C. F. GAUSS gegebenen Begründung, allgemeine Anerkennung. Die imaginäre Einheit Aus obiger Gleichung, die in der Welt der Reellen Zahlen keine Lösung hat, ermitteln man: ) x + = 0 x = oder.b. ) x 4 = 0 + ± 4 ( ) x, = = ± x, Wie Sie bemerken, taucht in den Lösungen immer die auf, welche man als "imaginäre Einheit" beeichnet. Als Symbol für die imaginäre Einheit im Bereich der Mathematik wird gewöhnlich das " i " verwendet. Im Bereich der Elektrotechnik / Elektronik jedoch ist das " i " das Symbol für den eitlich veränderlichen Strom. Aus diesem Grund wird hier für die "imaginäre Einheit" das Symbol" j " verwendet. (und ebenfalls in dieser Dokumentation) Unter der imaginäre Einheit j = versteht man eine Zahl, deren Quadrat - ist! ( j = ) Eine imaginäre Zahl lässt sich also allgemein als: jb darstellen, wobei der Faktor b reell ist. Die obigen Gleichungen haben nun folgende Lösungen: ) x + = 0 x = j ) x 4 = 0 + ± 4 ( ) x, = x, = ± j j 4n 4n+ 4n+ 4n+ 3 =, j = j, j = -, j = j ( n = 0, ±, ±,... ) Die komplexe Zahl Eine komplexe Zahl ist nichts anderes als die additive Verknüpfung (sprich Summe) einer reellen Zahl a mit einer imaginären Zahl jb! a + jb "a" nennt man den Realteil von c, "b" nennt man den Imaginärteil von c Die reellen Zahlen können somit als gan speielle komplexe Zahlen aufgefasst werden, bei denen lediglich der Imaginärteil gleich 0 (Null) ist. Es gibt noch eine komplexe Zahl mit dem gleichen Realteil a und dem gleichen Imaginärteil b. Jedoch besitt die imaginäre Einheit ein negatives Voreichen. Diese komplexe Zahl ist die konjugiert komplexe Zahl u c und hat u.a. rechnerische Bedeutung. Sie ist nicht als die negative Zahl u c u verstehen! Zur Kenneichnung wird häufig (und hier) ein Stern oder weniger ein Überstrich (Verwechslung mit dem Durchschnitt) verwendet. (siehe Darstellung - und Rechnen mit komplexen Zahlen) c* = a jb c* ist die konjugiert komplexe Zahl u a + jb Fachschule für Technik Mühlhausen R.Schollmeyer

4 Darstellung der komplexen Zahl Geometrische Veranschaulichung Die komplexe Zahl a + jb besteht aus dem Realteil a und dem Imaginärteil jb. Der Realteil a ist ein Element der reellen Zahlen, welche als Absisse mit der Kurbeeichnung Re eines kartesischen Koordinatensystems dargestellt wird. Der Imaginärteil jb ist ein Element der imaginären Zahlen und wird der Ordinate mit der Kurbeeichnung Im eines kartesischen Koordinatensystems ugeordnet. Die durch beide Achsen aufgespannte Ebene nennt man die Gaußsche Zahlenebene. In ihr werden die komplexe Zahl c als Punkt (a, b) mit einer positiven imaginären Einheit und u.a. die konjugiert komplexe Zahl c* als Punkt (a, b) mit einer negativen imaginären Einheit dargestellt. Wie Sie sehen ist die konjugiert komplexe Zahl c* die an der Absisse gespiegelte komplexe Zahl c. Komplexe Zahlen stellt man ebenfalls als Zeiger im Zeigerdiagramm (siehe rechts) dar. Sie werden dann mittels Betrag r (Länge des Zeigers) und dem daugehörigen Winkel ϕ beschrieben. (siehe Polarkoordinaten) Die konjugiert komplexe Zahl besitt den gleichen Betrag r, jedoch einen negativen Winkel - ϕ. Vereinbarung: Um einem Formeleichen ansehen u können, dass es sich um eine komplexe Zahl handelt, wird dieses Zeichen mit einem Unterstrich versehen! In der Literatur verwendet man.b. auch die Frakturschreibweise (altdeutsche Schrift) wie auch bei Vektoren. a + jb a + jb Mathematische Darstellungsformen Normalform a + jb Trigonometrische Form Betrag des Zeigers bw. der komplexen Zahl (siehe Sat des Pythagoras) und dessen Winkel c = r = a + b, ( cosϕ jsinϕ ) b tan = a ϕ, a = r cosϕ, b = r sinϕ r + r 0 Exponentialform jϕ r e andere Darstellungsform r ϕ c Taschenrechner Umwandlung kartesischer Koordinaten in Polarkoordinaten und umgekehrt Fachschule für Technik Mühlhausen R.Schollmeyer

5 Rechnen mit komplexen Zahlen Für die Grundrechenarten bei komplexen Zahlen gelten formal die gleichen Regeln wie bei den reellen Zahlen. Es gibt einige Besonderheiten, die beim Rechnen mit komplexen Zahlen u beachten sind. Gleichheit a + jb = x + jy falls a = x und b = y Zwei komplexe Zahlen sind dann und nur dann gleich, wenn ihre Real- und Imaginäranteile übereinstimmen. Ungleichheit Für komplexe Zahlen kann man die Begriffe "kleiner" und "größer" nicht mehr definieren! Addition und Subtraktion Die Addition und Subtraktion komplexer Zahlen erfolgt am einfachsten in deren Normalformen. Dabei werden die Realteile für sich und die Imaginäranteile für sich addiert bw. subtrahiert! ± = (x + jy ) ± (x + jy ) (x ± x ) + (jy ± jy ) a + jb wobei a = x ± x und jb = jy ± jy Beispiel : = 4 + j3 Addition Subtraktion = + j mathematisch j5-3 + j grafisch: Fachschule für Technik Mühlhausen 3 R.Schollmeyer

6 Rechnen mit komplexen Zahlen Multiplikation und Division Bei der Multiplikation und Division komplexer Zahlen ist die Verwendung der Exponentialform sinnvoll. Dabei werden die Beträge multipliiert bw. dividiert und die Winkel, da diese als Exponenten vorliegen, nach den geltenden Rechenregeln addiert bw. bei der Division subtrahiert. Liegen die komplexen Zahlen in Normalform vor, sind sie in die jeweiligen Exponentialformen u bringen (siehe Darstellungsformen). Ist schlussendlich wiederum die Normalform gefragt, ist eine Berechnung mittels Ausmultipliieren die wohl schnellere Variante als die Durchführung der Umwandlung nach und aus der Exponentialform. Multiplikation in Exponentialform = jϕ jϕ e e wobei x = x e j( ϕ +ϕ ) j( ϕ ) c e c wobei und ϕ ϕ + ϕ Multiplikation in Normalform = x + jy = x + jy NR: = (x + jy ) (x + jy ) x x + x jy + jy x + jy jy x x + j y y + x jy + jy x [(x x ) - (y y )] + j[(x y ) + (y x )] mit j = - und Ausklammern von j a + jb Beispiel : = 4 + j3 = = + j = j36, e mit = = 5 und ϕ = arctan = 36, 87 4 j63,43, 36 e mit = + =, 36 und ϕ = arctan = 63, 43 mathematisch: in Exponentialform: in Normalform:, 8 e - + j j00,3 grafisch: Länge Zeiger Länge Zeiger Länge Zeiger Fachschule für Technik Mühlhausen 4 R.Schollmeyer

7 Rechnen mit komplexen Zahlen Division in Exponentialform = e e jϕ jϕ = j( ϕ ϕ ) wobei x = x e j( ϕ ) c e c wobei c = Division in Normalform und ϕ ϕ - ϕ = x + jy = x + jy * = x - jy konjugiert komplexe Zahl u = (x (x + jy) + jy ) Real-Machen des Nenners (x + jy) (x jy) (x + jy) (x jy) = (x + jy) (x jy) (x + y) (xx ) + (yy ) (xy ) + (xy) j (x + y ) (x + y ) Beseitigen der komplexen Zahl aus dem Nenner Erweitern des Bruches mit konjugiert komplexer Zahl Ziel: - j = Ausmultipliieren des Zählers [(x x ) + (y y )] j [(x y ) - (y x )] (mit j = - und Ausklammern von j ) a + jb Beispiel : = 4 + j3 = = + j = * = - j = j36, e mit = = 5 und ϕ = arctan = 36, 87 4 j63,43, 36 e mit = + =, 36 und ϕ = arctan = 63, 43 -j63,43 -, 36 e mit = + =, 36 und ϕ = arctan = 63, 43 mathematisch: in Exponentialform:,36 e in Normalform: - j grafisch: -j6,57 Länge Zeiger Länge Zeiger Länge Zeiger Fachschule für Technik Mühlhausen 5 R.Schollmeyer

8 Rechnen mit komplexen Zahlen Potenieren und Radiieren Das Potenieren und Radiieren soll hier nur kur, ohne Beispiele, erwähnt werden. Der Vollständigkeit halber wird auf Literatur verwiesen, die im Hochschulbereich Verwendung finden. Im Grunde ergibt sich das Potenieren und Radiieren mit reellen Exponenten aus der uvor dargestellten Multiplikation bw. Division. Potenieren Man poteniert eine komplexe Zahl, indem man den absoluten Betrag poteniert und den Richtungswinkel mit dem Exponenten multipliiert. jϕ e n n = (x + jy) n = ( ) = n e n ist reell jnϕ Radiieren Beim Radiieren einer komplexen Zahl wird der Betrag radiiert und den Richtungswinkel durch den Wurelexponenten dividiert. jϕ n = n (x + jy) = n jϕ e = n e n n = e n jϕ n ist reell Fachschule für Technik Mühlhausen 6 R.Schollmeyer