Einführung in die Mathematik für Informatiker
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- Volker Heinrich
- vor 5 Jahren
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1 Einführung in die Mathematik für Informatiker Prof. Dr. baumann
2 Inhalt des Moduls Einführung in die Mathematik für Informatiker Fachrichtung Mathematik, Institut für Algebra Prof. Dr. baumann Kursassistentin: Dr. Antje Noack Diskrete Strukturen Prof. Dr. Manuel Bodirsky Kursassistent: Dr. Sven Reichard
3 Prüfungen Erste Modulprüfung: (90 Minuten) Anfang Dezember 2016 Nach- und Wiederholungsprüfung: Beginn des Sommersemesters 2017 Zweite Modulprüfung (120 Minuten) Prüfungszeitraum des Wintersemesters 2016/17 Nach- und Wiederholungsprüfung: Prüfungszeitraum des Sommersemesters 2017
4 Hausaufgaben Das Bearbeiten von Hausaufgaben dient dem regelmäßigen Nacharbeiten der Vorlesungsinhalte.... Durch das Abgeben von Hausaufgaben bis zum festgesetzten Termin können Bonuspunkte für die Klausur erworben werden. Hausaufgaben, die zur Bewertung abgegeben werden können, sind auf den Übungsblättern mit A gekennzeichnet. Ein Bonus kann auch durch das Vorrechnen von Aufgaben in den Übungen erlangt werden.
5 Zugelassene Hilfsmittel in Prüfungen keine elektronischen Hilfsmittel insbesondere kein Taschenrechner Ein DIN A4 Blatt (eventuell beidseitig) handbeschrieben keine Kopie
6 Inhalt der Vorlesung als mathematische Theorie für die Informatik: Theorie der Vektorräume und der linearen Abbildungen Körper der komplexen Zahlen Matrizen Lineare Gleichungssysteme Vektorräume über Körpern Lineare Abbildungen Determinanten Euklidische Vektorräume Bestapproximation
7 1. Vorlesung Konstruktion der komplexen Zahlen (Zahlenbereichserweiterung) Rechnen mit komplexen Zahlen: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division (Zahlen)Körper der komplexen Zahlen Wir werden Vektorräume über beliebigen Körpern betrachten. Geometrische Darstellung der komplexen Zahlen in der Gaussschen Zahlenebene arithmetische Darstellung trigonometrische Darstellung Eulersche Darstellung Umrechnen: kartesische Koordinaten Polarkoordinaten Anwendungen komplexer Zahlen
8 Zahlenbereiche natürliche Zahlen N = {0,1,2,3,...} N + = {1,2,3,4...} ganze Zahlen Z = {..., 3, 2, 1, 0,1,2,...} { a } rationale Zahlen Q = b a Z,b Z\{0} reelle Zahlen R komplexe Zahlen C
9 Rechnen mit komplexen Zahlen C = {a+bi a,b R} ist die Menge der komplexen Zahlen Addieren: (a+bi)+(c +di) := (a+c)+(b +d)i Subtrahieren: (a+bi) (c +di) := (a c)+(b d)i Multiplizieren: (a+bi) (c +di) := (ac bd)+(ad +bc)i Dividieren: a+bi ac +bd bc ad := c +di c 2 + +d2 c 2 i für c +di 0 +d2
10 Körper (C, +, ) der komplexen Zahlen + ist assoziativ: (z 1 +z 2)+z 3 = z 1 +(z 2 +z 3) für alle z 1,z 2,z 3 C + ist kommutativ: z 1 +z 2 = z 2 +z 1 für alle z 1,z 2 C + hat ein neutrales Element 0: z +0 = 0+z = z für alle z C Jedes Element z C hat ein Inverses z bezüglich + : z +( z) = ( z)+z = 0 ist assoziativ: (z 1 z 2) z 3 = z 1 (z 2 z 3) für alle z 1,z 2,z 3 C kommutativ: z 1 z 2 = z 2 z 1 für alle z 1,z 2 C hat ein neutrales Element 1: z 1 = 1 z = z für alle z C Jedes Element z C\{0} hat ein Inverses z 1 bezüglich : z z 1 = z 1 z = 1 ist distributiv bezüglich + : z 1 (z 2 +z 3) = z 1 z 2 +z 1 z 3 für alle z 1,z 2,z 3 C
11 Geometrische Darstellung von C (1) Ri bi r z = a+bi ϕ a R in kartesischen Koordinaten: z = a+bi z = a+bi C mit a,b R z = a 2 +b 2 = r a = r cosϕ b = r sinϕ Realteil: Re(z) = a, Imaginärteil: Im(z) = b in Polarkoordinaten: z = r(cosϕ+i sinϕ) Betrag: z = r, Argument: Arg(z) = ϕ in Exponentialform (Eulersche Darstellung) z = re iϕ
12 Geometrische Darstellung von C (2) z = a+bi z = a bi z heißt die zu z konjugiert komplexe Zahl. z 2 = z z = a 2 +b 2
13 Rechnen in Polarkoordinatendarstellung Seien z 1 = r 1 e iϕ 1, z 2 = r 2 e iϕ 2. Multiplikation: z 1 z 2 = r 1 r 2 e i(ϕ 1+ϕ 2 ) Beim Multiplizieren komplexer Zahlen multipliziert man die Beträge und addiert die Argumente. Multiplikatives Inverses von z 2 0: (z 2 ) 1 = 1 z 2 = 1 r 2 e iϕ 2 = 1 r 2 e iϕ 2 = 1 r 2 e i( ϕ 2) Division (falls z 2 0): z 1 z 2 = r 1 r 2 e i(ϕ 1 ϕ 2 )
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