KAPITEL 1. Komplexe Zahlen

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1 KAPITEL Komplexe Zahlen. Lernziele im Abschnitt: Komplexe Zahlen Was sind komplexe Zahlen? Komplexe Zahlenebene Grundrechenarten in C Konjugation und Betrag komplexer Zahlen Gleichheit komplexer Zahlen Umrechnen komplexer Zahlen Potenzen Wurzeln Ergänzungen Beispielaufgaben Zusammenfassung: Komplexe Zahlen

2 .. Lernziele im Abschnitt: Komplexe Zahlen. Lernziele im Abschnitt: Komplexe Zahlen Lernziele Darstellung komplexer Zahlen in algebraischer/arithmetischer, trigonometrischer (in Polarkoordinaten) und exponentieller Form. Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division komplexer Zahlen in arithmetischer Form. Betrag und Konjugation komplexer Zahlen. Beschreibung von Mengen komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene. Multiplikation in trigonometrischer und exponentieller Form. Die Eulersche Formel und die Formel von Moivre. Potenzieren in algebraischer/arithmetischer, trigonometrischer und exponentieller Form. Radizieren (Wurzelziehen) in trigonometrischer und expontieller Form. nô Einheitswurzeln, d.h.. Wieviele gibt es? Wurzeln aus beliebigen komplexen Zahlen. Lösungen der quadratischen Gleichung.. Was sind komplexe Zahlen? Typische Anwendungen für komplexe Zahlen liegen in der Elektrotechnik, wobei die Darstellung sowohl in algebraischer Form als auch graphisch erfolgt, Beschreibung von geometrischen Objekten (Kurven, Flächen, Mengen) im R.

3 .3. Komplexe Zahlenebene.3 Komplexe Zahlenebene In der mit einem kartesischen (x, y)-koordinatensystem versehenen Ebene stellen die Punkte der x-achse die reellen Zahlen dar. Komplexe Zahlen ergeben sich nun dadurch, dass alle Punkte z =(x, y) als Zahlen aufgefasst werden und man schreibt z = x + iy. Man nennt z komplexe Zahl mit dem Realteil Rez = x und dem Imaginärteil Imz = y. Man nennt die x-achse reelle Achse und die y-achse wird imaginäre Achse genannt. Die Menge aller komplexen Zahlen wird mit C bezeichnet. C := {x + iy : x, y œ R}. Geometrisch lassen sich die komplexen Zahlen als Punkte bzw. Vektoren einer Ebene darstellen. Die Ebene, deren Punkte als komplexe Zahlen aufgefasst werden, heißt komplexe Zahlenebene oder Gaußsche Zahlenebene. iy Gaußsche Zahlenebene b = Im z algebraische Form trigonometrische Form exponentielle Form z =r (a, b) z = a + ib a = Re z = r(cos + i sin ) = re i x Abbildung.: Gaußsche Zahlenebene 3

4 .4. Grundrechenarten in C.4 Grundrechenarten in C Die Summe und Differenz komplexer Zahlen ist durch (x + iy)+(u + iv) := (x + u)+i(y + v) (x + iy) (u + iv) := (x u)+i(y v). definiert. Das Produkt zweier komplexer Zahlen ist definiert als (x + iy)(u + iv) =x(u + iv)+iy(u + iv) =xu + ixv + iyu + iyiv = xu + i yu + i(xv + yu) =(xu yv)+i(xv + yu). Bemerkung. Die Addition/Subtraktion/Multiplikation von komplexen Zahlen erfolgt formal wie für reelle Zahlen; es ist nur zu beachten, dass i = ist. Bemerkung. Bei der Definition der Division benutzt man trickreich die binomische Formel: (u + iv)(u iv) =u (iv) = u + v und damit ist (x + iy) (u + iv) (x + iy)(u iv) = (u + iv)(u iv) xu + yv = u + v yu xv + i u + v. = (xu + yv)+i(yu xv) u + v D.h. man erweitert den Bruch mit u iv und erhält dadurch einen reellwertigen Nenner. Beispiel.3 8+i 7 i = (8 + i)(7 + i) (7 i)(7 + i) = 6 +i(8 + 4) 49 + = i 0. 4

5 .. Konjugation und Betrag komplexer Zahlen. Konjugation und Betrag komplexer Zahlen Definition.4 Die komplexe Zahl z = x iy heißt die zu z = x + iy konjugiert komplexe apple Zahl und z := x + y heißt Betrag (oder auch Norm, Länge, Modul) der komplexen Zahl z. Eigenschaften:. z = z,. z + z = z + z, 3. z z = z z, 4. Rez = (z + z),. Imz = (z z), i 6. z œ R z = z, 7. z Ô = z z bzw. z z = x + y, 8. z Ø 0 und z =0 z = 0, 9. z z = z z, 0. z + z Æ z + z (Dreiecksungleichung). Bemerkung. Wie bei den reellen Zahlen kann man durch jede komplexe Zahl z = 0 dividieren, da zu jeder komplexen Zahl z = x + iy = 0die komplexe Zahl exisitert. z = z = x iy (x + iy)(x iy) = x iy x + y = z z

6 .6. Gleichheit komplexer Zahlen.6 Gleichheit komplexer Zahlen Gleichheit in algebraischer Form Wir betrachten zwei komplexe Zahlen z = x + iy und z = x + iy, dann gilt z z =0 z z =(x x ) +(y y ) =0 und damit folgt (x x ) =(y y ) = 0, also x = x und y = y. Offensichtlich folgt umgekehrt aus x = x und y = y sofort z = z. Satz.6 Zwei komplexe Zahlen sind genau dann gleich, wenn ihr Real- und Imaginärteil übereinstimmen..7 Umrechnen komplexer Zahlen Bei der algebraischen Form wird das Element (a, b) œ R mit der komplexen Zahl a + ib identifiziert, führt man Polarkoordinaten ein, so ergibt sich die trigonometrische Darstellung. Mit Hilfe der komplexen Exponentialfunktion ergibt sich die exponentielle Form. Offensichtlich ergibt sich die algebraische Form aus der geometrischen durch Ausrechnen. Schwieriger ist es, aus der algebraischen Form die trigonometrische zu erhalten. Wegen ist (r cos Ï) +(r sin Ï) = r sin Ï + r cos Ï = r (cos Ï + sin Ï)=r = a + b r = Ô a + b. Was gilt für den Winkel? Es gibt verschiedenen Varianten sich den Winkel richtig zu überlegen. 6

7 .7. Umrechnen komplexer Zahlen Mittels Tangens Man kann den Winkel auch aus b a = r cos Ï r sin Ï = tan Ï berechnen. Allerdings gibt es auch hier das Problem mit der Umkehrfunktion, da der Tangens keine eineindeutige Funktion ist. 3 tan x 3 3 Abbildung.: Tangens Deshalb schränkt man den Definitionsbereich des Tangens auf das Intervall! fi ; fi " ein und erhält als Umkehrfunktion den Arkustangens (Hauptwerte): Ï = arctan t tan Ï = t für fi < Ï < fi, t œ R. Will man also Winkel Ï außerhalb des Intervalls! fi ; fi " berechnen, so muss man Vielfache von fi addieren (bzw. subtrahieren), da tan Ï eine fi-periodische Funktion ist. Es gilt 7

8 .7. Umrechnen komplexer Zahlen im. Quadranten a > 0 und b > 0, dann ist b Ï = arctan, a im. Quadranten a < 0 und b > 0, dann ist b Ï = arctan + fi, a im 3. Quadranten a < 0 und b < 0, dann ist b Ï = arctan + fi, a im 4. Quadranten a > 0 und b < 0, dann ist b Ï = arctan +fi. a Weiterhin gilt für komplexe Zahlen a + ib auf den Koordinatenachsen: a > 0 und b = 0, dann ist Ï = 0, a = 0 und b > 0, dann ist Ï = fi, a < 0 und b = 0, dann ist Ï = fi, a = 0 und b < 0, dann ist Ï = 3fi. Gilt a = b = 0, so ist r = 0 und der Winkel Ï ist dann beliebig. Mittels Kosinus Da r bereits bekannt ist, kann man den Winkel Ï aus der Beziehung a = r cos Ï a r = cos Ï berechnen. Da der Kosinus aber keine eineindeutige Funktion ist, gibt es keine Umkehrfunktion. Schränkt man den Definitionsbereich von cos x aber auf das Intervall [0; fi] ein, so ist der Kosinus eineindeutig und man erhält die Umkehrfunktion Ï = arccos t, für Ï œ [0; fi], t œ [ ; ]. 8

9 .7. Umrechnen komplexer Zahlen Abbildung.3: Darstellung komplexer Zahlen 9

10 0, 0 0,,, 3-0, - 3, 4 4,, 6.7. Umrechnen komplexer Zahlen 0 3 cos x Abbildung.4: Kosinus Dies entspricht dem roten Graphen von cos x in der folgenden Abbildung. Die übrigen Werte, d.h. die Werte für komplexe Zahlen im 3. bzw. 4. Quadranten ergeben sich dann zu Ï =fi arccos a r, wie man mit Hilfe der Rechenregeln für den Kosinus leicht nachprüft: cos Ï = cos fi arccos a = cos arccos a r r = cos arccos a = a r r. Damit ergeben sich in Abhängigkeit vom Quadranten folgende Formeln zur Berechnung des Winkels Ï : 0

11 .7. Umrechnen komplexer Zahlen. Quadrant = arccos x r. Quadrant = arccos x r 3. Quadrant 4. Quadrant = arccos x r = arccos x r Falls, r = 0 ist, so ist der Winkel Ï beliebig. Praktisch muss man sich also überlegen: In welchem Quadranten liegt die komplexe Zahl (Skizze!) Wie groß ist der Winkel deshalb ungefähr? Daraus ergibt sich wie der Winkel zu berechnen ist. Bemerkung.7 In der Mathematik bevorzugt man für den Winkel das Intervall [0; fi]. In technischen Anwendungen wird allerdings gemäß DIN anders vorgegangen. Für komplexe Zahlen oberhalb der reellen Achse (Imz = b > 0) werden positive Winkel, also Ï = arccos a und für komplexe Zahlen unterhalb der reellen Achse r sind die Winkel negativ zu nehmen, d.h. Ï = arccos a. r Gleichheit in trigonometrischer Form Wir betrachten zwei komplexe Zahlen z = r (cos Ï + i sin Ï )=r (cos Ï + i sin Ï )=z, dann gilt aber auch z = z, d.h. r = r. Es verbleiben die Beziehungen cos = cos und sin = sin.

12 .7. Umrechnen komplexer Zahlen Am Einheitskreis gilt für den Kosinus cos Ï = cos(fi Ï) = cos(ï +fi) und für den Sinus sin Ï = sin(fi Ï) = sin(fi + Ï), weiterhin gilt es wegen der fi-periodizität für Ï +kfi. Für Sinus und Kosinus gleichzeitig gilt es nur für Ï +kfi, k œ Z. Deshalb gilt Ï = Ï +kfi, k œ Z. Lemma. Zwei komplexe Zahlen in trigonometrischer Form sind genau dann gleich, wenn die Beträge gleich sind und die Winkel sich nur um Vielfache von kfi, k œ Z, unterscheiden. Multiplikation in trigonometrischer Form Bei der Multiplikation in trigonometrischer Form wird zunächst wie mit reellen Zahlen gerechnet, es ergeben sich aber Produkte von Sinus und Kosinus, die sich mittels Additionstheoremen vereinfachen lassen: z z = {r (cos Ï + i sin Ï )} {r (cos Ï + i sin Ï )} = r r (cos Ï + i sin Ï )(cos Ï + i sin Ï ) = r r! cos Ï cos Ï +(i) sin Ï sin Ï +i(cos Ï sin Ï + sin Ï cos Ï )) = r r (cos Ï cos Ï sin Ï sin Ï +i(cos Ï sin Ï + sin Ï cos Ï )) = r r (cos(ï + Ï )+i sin(ï + Ï ))

13 .8. Potenzen Satz.8 Komplexe Zahlen werden multipliziert indem man die Beträge multipliziert und die Argumente (also die Winkel) addiert..8 Potenzen Als Spezialfall der Multiplikation erhält man für z = cos Ï + i sin Ï : z = r (cos(ï)+i sin(ï)) und allgemein z n = r n (cos(nï)+i sin(nï)), n œ N. Weitere Spezialfälle ergeben sich für r = : Satz.9 (Formel von Moivre) (cos Ï + i sin Ï) n = cos(nï)+i sin(nï), n œ N. und Satz.0 (Formel von Euler) e iï = cos Ï + i sin Ï. 3

14 .9. Wurzeln Bemerkung. In der Funktionentheorie kann man nachweisen, dass e iï tatsächlich als Exponentialfunktion betrachtet werden kann. Insbesondere gelten die Rechenregeln für die Exponentialfunktion, d.h. e i(ï +Ï ) = e iï e iï, e iï = e iï. Dies könnte man auch über Additionstheoreme für Sinus und Cosinus beweisen. Es gilt aber ganz allgemein für eine beliebige komplexe Zahl z = x + iy : e z = e x+iy = e x e iy und für zwei beliebige komplexe Zahlen z = x + iy und z = x + iy : e z +z = e z e z, e z = e z. Wenn man Ï = x setzt und die Exponentialfunktion e ix als Reihe aufschreibt, so erhält man e ix = Œÿ k=0 (ix) k k! = Œÿ l=0 ( ) l x l (l)! + i Œÿ l=0 ( ) l x l+ (l + )! = cos x + i sin x. Insbesondere muss man die Konvergenz aller Reihen nachweisen (siehe Funktionenreihen)..9 Wurzeln Wie löst man eine Gleichung der Form z n = A, A œ C? Wir betrachten zunächst den Fall A = und bestimmen die n-ten Einheitswurzeln, also Lösungen der Gleichung z n =. Es sei z = r(cos Ï + i sin Ï). Hieraus folgt zunächst z n = r n (cos(nï)+i sin(nï)). Die komplexe Zahl hat die trigonometrische Darstellung z n = r n (cos(nï)+i sin(nï)) = = cos(0) + i sin(0). 4

15 .9. Wurzeln Aus der Gleichheit komplexer Zahlen (siehe Lemma., Seite ) in trigonometrischer Form folgt gleiche Beträge: r n = r =, Argumente: n =kfi, k œ Z. Folglich sind alle kfi z k = cos n kfi + i sin, k œ Z, n Lösungen von z n =und damit Einheitsuwrzeln. Wegen der fi-periodizität von Sinus und Kosinus gibt es aber nur n voneinander verschiedene Einheitswurzeln z 0, z,..., z n. Satz. (Einheitswurzeln) Es gibt genau n verschiedene komplexe Zahlen z 0, z,..., z n, die der Gleichung z n = genügen, diese sind gegeben durch z k = e i kfi n, k = 0,,,..., n. Beispiel.3 Die 7. Einheitswurzeln sind am Einheitskreis dargestellt:

16 .9. Wurzeln In analoger Weise gehen wir nun bei der allgemeinen Gleichung z n = A, A œ C, vor. Wir stellen beide komplexe Zahlen zunächst in Polarkoordinaten dar: z = r(cos Ï + i sin Ï) und A = R(cos + i sin ). Damit geht die Gleichung z n = A über in (Ausrechnen von z n und einsetzen in die Gl.) r n (cos(nï)+i sin(nï)) = R(cos + i sin ). Aus der Gleichheit komplexer Zahlen in trigonometrischer Form (Lemma., Seite ) folgt gleiche Beträge: r n = R r = nô R, Argumente: nï = +kfi, k œ Z. Damit sind alle z k = nô! " R cos +kfi + i sin +kfi n n, k œ Z, Lösungen, aber wegen der fi-periodizität von Sinus und Kosinus gibt es nur n voneinander verschiedene Lösungen z k = nô +kfi +kfi R cos + i sin, k = 0,,..., n. n n 6

17 .9. Wurzeln bzw. z k = nô Re i +kfi nô i n = Re n e i kfi n = z 0 e i kfi n, k = 0,,,..., n. Beispiel.4 Die 7. Wurzeln aus A =+i = Ô (cos fi + i sin fi ) sind am Einheitskreis 4 4 dargestellt: r = 4, 0 Beispiel. Man bestimme alle. Wurzeln von z = 4( i). Wir stellen z zunächst in trigonometrischer Form dar, dazu berechnen wir den Betrag von z : apple Ô Ô R = 4 +( 4) = = Ô 4 =4 = Ô Ô =. 7

18 .9. Wurzeln Wir bestimmen den Winkel mit Hilfe des Arkustangens: y x =, arctan y x = arctan( ) = fi 4. Da x > 0 und y < 0 ist, liegt z im 4. Quadranten und es gilt =fi + fi = 7fi 4 4. Alternativ erhält man mit Hilfe des Arkuskosinus x R = 4 4 Ô = Ô = da z im 4. Quadranten liegt, ergibt sich Ô, arccos Ô = fi 4, =fi arccos x r =fi fi 4 = 7fi 4. Damit lautet z in trigonometrischer Form: z = Ô cos 7fi 4 + i sin 7fi 4. Jetzt können wir alle Wurzeln gemäß der Formel für das Radizieren hinschreiben: z k := nô +kfi +kfi R cos + i sin n n Ò 3 3 Ô 7fi = 4 cos +kfi 4 3 7fi + i sin +kfi 44 4 Ô 3 3 7fi 4 = cos +kfi 4 3 7fi + i sin +kfi 44 4, k = 0,,, 3, 4. 8

19 .9. Wurzeln und erhalten: Ô 3 3 7fi fi 7fi fi 4 4 z 0 = cos + i sin Ô 7fi 7fi = cos + i sin 0, 64 +, 6i 0 0 Ô 3 3 7fi fi 7fi 44 + fi 4 4 z = cos + i sin Ô fi fi = cos + i sin +i 0 0 Ô 3 3 7fi fi 7fi 44 + fi 4 4 z = cos + i sin Ô 3fi 3fi = cos + i sin, 6 0, 64i 0 0 Ô 3 3 7fi fi 7fi fi 4 4 z 3 = cos + i sin Ô 3fi 3fi = cos + i sin 0,, 4i 0 0 Ô 3 3 7fi fi 7fi fi 4 4 z 4 = cos + i sin Ô 39fi 39fi = cos + i sin, 4 0, i. 0 0 Sollten Sie die Zahlenwerte (gerundet auf Stellen nach dem Komma) nicht erhalten, so kann das daran liegen, dass Sie Ihren Taschenrechner falsch eingestellt haben! Sie müssen Ihren Taschenrechner auf RAD und nicht auf DEG einstellen. Wie jeder weiß, ist cos fi =, ist Ihr Taschenrechner auf RAD eingestellt, so klappt das auch, wie man leicht überprüft, ist dagegen der Taschenrechner auf DEG eingestellt, so ergibt sich cos fi = 0, !! Das ist falsch!! Noch schlimmer wird es, wenn Sie den Taschenrechner auf GRAD eingestellt haben, GRAD steht für Neugrad und der Vollkreis hat 400 Neugrad! Ganz falsch!! 9

20 .0. Ergänzungen.0 Ergänzungen Damit kann man z.b. auch quadratische Gleichungen lösen: Beispiel.6 Man bestimme alle Lösungen der quadratischen Gleichung z + ( + i)z ( + i) = 0. Lösung mittels quadratischem Ergänzen: z + ( + i)z ( + i) = z + +i (z + +i ) = ( + i) = 4i =4 +i ( + i) =0 cos 3fi + i sin 3fi und damit ergeben sich die beiden Lösungen: ( + i) z = Ô + 4 cos 3fi 4 + i sin 3fi 4 3 Ô Ô 4 3 Ô 4 3 Ô 4 ( + i) + = + + i = + i, ( + i) z = Ô 4 cos 3fi 4 + i sin 3fi 4 3 Ô Ô 4 3 Ô 4 3 Ô 4 ( + i) + = + i = i. Wir haben gesehen, dass die quadratische Gleichung im Bereich der komplexen Zahlen immer lösbar ist. Es gilt aber noch mehr. Satz.7 (Fundamentalsatz der Algebra) Jedes Polynom p(z) vom Grad Ø hat in C eine Nullstelle. 0

21 .0. Ergänzungen Folgerung: Jedes Polynom p(z) vom Grad n Ø lässt sich (über C) in Linearfaktoren zerlegen: p(z) =a n (z z )(z z )... (z z n ), wobei a n eine beliebige aber feste komplexe Zahl ist und die z k, k =,, 3,..., n, nicht notwendig voneinander verschiedene Nullstellen von p(z) sind. Satz.8 (Identitätssatz) Stimmen zwei Polynome p(z) = nÿ j=0 a j z j und q(z) = nÿ j=0 b j z j (höchstens) n-ten Grades an (wenigstens) (n + ) Stellen überein, so sind die Polynome gleich, d.h. a j = b j für alle j.