8. Spezielle Funktionen

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1 94 Andreas Gathmann 8. Spezielle Funktionen Nachdem wir jetzt schon relativ viel allgemeine Theorie kennen gelernt haben, wollen wir diese nun anwenden, um einige bekannte spezielle Funktionen zu studieren (oder überhaupt erst einmal eakt zu definieren), die ihr bereits in der Schule kennen gelernt habt: die Eponential- und Logarithmusfunktion, die allgemeine Potenz a für a R, die Winkelfunktionen und ihre Umkehrfunktionen. Ausgangspunkt aller dieser Funktionen ist die Eponentialfunktion, die wir ja schon betrachtet haben: nach Definition 6.6 (b) ist bekanntlich ep() := n n! = für K. 6 Aus Beispiel 6.45 (a) wissen wir bereits, dass diese Funktion die Funktionalgleichung ep( + y) = ep() ep(y) für alle,y K erfüllt. Außerdem ist sie nach Beispiel 7.39 (a) stetig, und aus der Reihendarstellung sieht man sofort, dass ep(0) =. Die weiteren Eigenschaften der Eponentialfunktion sind in den Fällen K = R und K = C (trotz der gleich lautenden Definition) sehr verschieden. Wir werden beide Fälle im Folgenden untersuchen und beginnen der Einfachheit halber mit dem Fall des Körpers K = R. Satz 8. (Eigenschaften der reellen Eponentialfunktion). Für die reelle Eponentialfunktion ep : R R gilt: (a) ep() > 0 für alle R. (b) ep ist streng monoton wachsend. (c) Für alle n N gilt ep() lim n = und lim n ep() = 0. Insbesondere ist also lim ep() = und lim ep() = 0. (d) Für die Zahl e := ep() gilt < e < 3. (Man nennt e die Eulersche Zahl; eine eplizite näherungsweise Berechnung der Eponentialreihe zeigt, dass e =, ) (a) Für 0 ist dies aus der Reihendarstellung offensichtlich. Für 0 folgt aus der Funktionalgleichung ep() ep( ) = ep(0) = und damit ep() = ep( ), was nun wegen 0 ebenfalls positiv ist. (b) Es seien,y R mit < y. Wegen y > 0 folgt aus der Reihendarstellung der Eponentialfunktion ep(y ) >. Wegen ep() > 0 erhalten wir damit aus der Funktionalgleichung d. h. ep ist streng monoton wachsend. ep(y) = ep() ep(y ) > ep() = ep(), (c) Für > 0 ergibt sich aus der Reihendarstellung der Eponentialfunktion natürlich ep() > für alle n N. Wegen lim n+ (n + )! und damit ep() n > (n + )!. (n+)! = folgt damit auch lim ep() n =.

2 8. Spezielle Funktionen 95 Die Aussage für erhält man analog: für < 0 ist ja > 0. Da wir in (a) schon gesehen haben, dass ep() = ep( ) gilt, haben wir also ep() = ep( ) < ( ) n+ /(n + )! und damit n ep() < Wegen lim (n+)! = 0 ergibt sich damit auch lim n ep() = 0. (d) Aus der Eponentialreihe erhalten wir sofort e > 0! +! =, (n + )!. und wegen n! = 3 n = n mit Hilfe der geometrischen Reihe aus Beispiel 6.3 (a) auch Bemerkung 8.. e = 0! + n= n! < + n= n = + n = + = 3. (a) Da die (uneigentlichen) Grenzwerte von ep() für ± nach Satz 8. (b) gleich bzw. 0 sind, bedeutet die Aussage desselben Satzes für n > 0 gerade, dass sich in diesen Grenzwerten, die ja von der Form bzw. ± 0 sind, die Eponentialfunktion gegenüber der Potenz n durchsetzt. Man sagt auch, die Eponentialfunktion ist für ± stärker als jede Potenz. (b) Im Bild unten links haben wir den Graphen der reellen Eponentialfunktion gemäß Satz 8. skizziert. Da ep nach Beispiel 7.39 (a) stetig und nach Satz 8. (b) streng monoton wachsend ist, eistiert nach Satz 7.7 eine Umkehrfunktion (wie in Beispiel 7.8 zunächst für Start- und Zielmenge [ R,R] [ep( R),ep(R)] für alle R > 0, dann durch den Übergang R aber auch für R R >0 ): ep() log() e e Definition 8.3 (Logarithmus). Die Umkehrfunktion der Eponentialfunktion ep : R R >0 wird mit log : R >0 R, log() bezeichnet und heißt die (natürliche) Logarithmusfunktion. Sie ist im Bild oben rechts dargestellt. Statt log() ist oft auch die Bezeichnung ln() üblich. Bemerkung 8.4 (Schreibweise spezieller Funktionen). Bei den speziellen Funktionen, die wir in diesem Kapitel kennen lernen werden, ist es zur Vereinfachung der Notation oft üblich, die Klammern beim Funktionsargument wegzulassen, wenn es sich nur um eine einfache Zahl oder Variable handelt, also z. B. log statt log() zu schreiben. Ist das Funktionsargument jedoch ein zusammengesetzter Ausdruck, sind die Klammern zwingend erforderlich: log( + y) kann man nicht als log + y schreiben, da log + y immer als (log) + y zu verstehen ist. Bemerkung 8.5 (Eigenschaften der Logarithmusfunktion). Unsere bisher gezeigten Eigenschaften der Eponentialfunktion übertragen sich natürlich sofort auf die Logarithmusfunktion: (a) log ist stetig und streng monoton wachsend nach Satz 7.7. (b) log = 0 und loge =. 8

3 96 Andreas Gathmann (c) Die Grenzwerte aus Satz 8. (b) übertragen sich durch Vertauschen von Definitions- und Wertemenge sofort auf den Logarithmus als lim log = und lim 0 log =. (d) Wenden wir die Funktionalgleichung der Eponentialfunktion auf log und logy für,y > 0 an, so erhalten wir und damit durch Logarithmieren ep(log + logy) = ep(log) ep(logy) = y log + logy = log( y) für,y R >0, was die Funktionalgleichung der Logarithmusfunktion genannt wird. Eine der wichtigsten Anwendungen der Logarithmusfunktion ist, dass man mit ihr allgemeine Potenzen definieren kann also Potenzen der Form a, wobei a nun nicht mehr wie bisher in Z liegen muss, sondern eine beliebige reelle Zahl sein kann: Definition 8.6 (Allgemeine Potenzen). Für R >0 und a R definieren wir die Potenz a := ep(a log) (wir werden in Bemerkung 8.8 (a) noch sehen, dass dies für a Z mit unserer alten Definition aus Notation.9 (b) übereinstimmt was dann auch diese neue, allgemeinere Definition motiviert). Lemma 8.7 (Rechenregeln für Potenzen). Für alle,y R >0 und a,b R gilt (a) 0 = und = ; (b) a+b = a b und a = a ; (c) ab = ( a ) b und (y) a = a y a. Alle Beweise sind einfaches Nachrechnen mit Hilfe der Funktionalgleichung: (a) 0 = ep(0 log) = ep(0) = und = ep(log) =. (b) Es ist a+b = ep((a + b) log) = ep(a log + b log) = ep(a log) ep(b log) = a b. Setzen wir in dieser Gleichung b = a, so ergibt sich ferner = a a und damit a = a. (c) Es gilt und ( a ) b = ep(b log( a )) = ep(b log(ep(a log))) = ep(ab log) = ab (y) a = ep(a log(y)) = ep(a log + a logy) = ep(a log) ep(a logy) = a y a. Bemerkung 8.8. (a) Aus Lemma 8.7 (a) und (b) folgt insbesondere, dass im Fall a N für unsere allgemeine Potenz aus Definition 8.6 a = + + = } {{ } a-mal und genauso a = = } {{ } a-mal gilt, dass sie dann also mit der alten Definition der Potenz aus Notation.9 (b) übereinstimmt. (b) Mit der Eulerschen Zahl e aus Satz 8. (d) ist offensichtlich e a = ep(a loge) = ep(a) für alle a R. Man verwendet daher in der Regel die einfachere Potenzschreibweise e a für ep(a).

4 8. Spezielle Funktionen 97 (c) Beachte, dass wir die allgemeine Potenz a mit a R nur für positive definieren konnten, weil für negative Zahlen kein Logarithmus eistiert. In der Tat ist es offensichtlich, dass ein Ausdruck wie ( ) nicht sinnvoll definiert werden könnte: sollte das jetzt + oder sein? Bemerkung 8.9 (Umkehrfunktionen der Potenzen). Wollen wir die Stetigkeit, Monotonie sowie die Eistenz von Umkehrfunktionen für die allgemeine Potenz a untersuchen, so haben wir die Wahl, ob wir a als konstant und als variabel betrachten wollen oder umgekehrt. (a) Wir betrachten zunächst die Funktion R >0 R >0, a für festes a R. Nach Lemma 7.3 und Bemerkung 7.7 ist diese Funktion stetig, da die Eponential- und Logarithmusfunktion es sind. Weil sowohl ep als auch log außerdem streng monoton wachsend sind, ergibt sich mit Definition 8.6 auch sofort, dass die Funktion a für a > 0 streng monoton wachsend und für a < 0 streng monoton fallend ist. Nach Lemma 8.7 (c) ist a für a 0 die Umkehrfunktion dazu, denn es ist ( a ) a = ( ) a = und a = = für alle R >0 und a R\{0}. Beachte, dass wir die Umkehrfunktion für a N >0 z. B. bereits aus Aufgabe 5.7 und Beispiel 7.8 kannten: es ist gerade die Wurzelfunktion a. Wir sehen damit also, dass a = a für alle R >0 und a N >0 gilt. (b) Nun betrachten wir für festes R >0 die Funktion R R >0, a a. Wie in (a) ergibt sich, dass auch diese Funktion stetig sowie streng monoton wachsend (für >, also log > 0) bzw. streng monoton fallend (für <, also log < 0) ist. In diesem Fall ist die Umkehrfunktion für R >0 R, a loga log =: log a, denn für alle R >0 mit und a R ist log ( a log(ep(a log)) ) = = a und log a = ep(log log a log) = a. Man nennt log a den Logarithmus von a zur Basis. Nach der reellen wollen wir nun die komplee Eponentialfunktion studieren, die uns schließlich zu den Winkelfunktionen führen wird. Wie in Bemerkung 8.8 (b) werden wir dabei die Eponentialfunktion auch im Kompleen in der Regel mit z e z bezeichnen (obwohl es keine allgemeine Potenz w z für w,z C gibt). Ihre wesentlichen Eigenschaften, die wir benötigen, um den Zusammenhang mit Winkelfunktionen herstellen zu können, sind die folgenden: Satz 8.0 (Eigenschaften der kompleen Eponentialfunktion). Es gilt: (a) e z = e z für alle z C; (b) e i = für alle R. (a) Für die Partialsummen f n (z) := n k=0 zk k! der Eponentialfunktion folgt natürlich f n(z) = f n (z) durch fortgesetztes Anwenden von Lemma 4.9 (a). Da die komplee Konjugation z z nach Beispiel 7.7 (c) stetig ist, ergibt sich also nach dem Folgenkriterium für Stetigkeit aus Satz 7.0 (b) e z = lim f n (z) = lim f n (z) = lim f n (z) = e z. n n n (b) Wegen z = zz (siehe Bemerkung 4.4) erhalten wir nun mit (a) e i = e i e i = e i e i = e i e i = e i i = e 0 =.

5 98 Andreas Gathmann Bemerkung 8.. Satz 8.0 (b) besagt gerade, dass die komplee Zahl e i für reelle immer auf dem Rand des Einheitskreises liegt. Multiplizieren wir zwei solche Zahlen e i und e iy für,y R miteinander, so erhalten wir einerseits nach der Funktionalgleichung der Eponentialfunktion die Zahl e i e iy = e i(+y) (d. h. die Eponenten addieren sich), andererseits haben wir aber auch schon in Bemerkung 4.5 gesehen, dass sich bei der kompleen Multiplikation die Winkel, die die Zahlen mit der positiven reellen Achse einschließen, ebenfalls addieren. Wir können den Eponenten der Zahl e i daher wie im Bild rechts als ein Maß für diesen Winkel auffassen. Rez In der Tat kann man zeigen, dass dieses genau die (im Bild oben rechts dick eingezeichnete) Länge des Kreisbogens ist, der von zu der Zahl e i führt man sagt auch, dass der im Bogenmaß gemessene Winkel ist. Wir können diese Aussage zwar momentan nicht beweisen, da wir noch nicht wissen, wie man die Länge von Kurvenstücken berechnet. Wir werden diese Tatsache aber auch nicht benötigen, sondern verwenden sie hier nur als Motivation dafür, dass Real- und Imaginärteil von e i dann wie aus der Schule bekannt der Kosinus bzw. Sinus des (im Bogenmaß gemessenen) Winkels sein sollten. Diese Idee machen wir nun zu unserer Definition von Kosinus und Sinus: Definition 8.. Für R definieren wir Kosinus und Sinus als die reellen Zahlen cos := Re(e i ) und sin := Im(e i ), so dass also e i = cos + i sin die Zerlegung der kompleen Eponentialfunktion in Real- und Imaginärteil ist. Bevor wir die Eigenschaften dieser beiden Funktionen studieren, wollen wir erst einmal zwei einfache alternative Darstellungsweisen notieren: Lemma 8.3 (Alternative Darstellung von Kosinus und Sinus). (a) Für alle R ist cos = ( e i + e i) und sin = i ( e i e i). (b) Kosinus und Sinus lassen sich darstellen als reelle Potenzreihen mit Konvergenzradius cos = sin = ( ) n (n)! n =! + 4 4! 6 6! ±, ( ) n (n + )! n+ = 3 3! + 5 5! 7 7! ±. Insbesondere sind Kosinus und Sinus nach Folgerung 7.38 also stetige Funktionen auf R. (a) Dies folgt aus den allgemeinen Formeln Rez = (z + z) und Imz = i (z z) (siehe Bemerkung 4.4) zusammen mit Satz 8.0 (a). (b) Die Potenzreihendarstellungen ergeben sich mit (a) sofort aus e i = und e i = (i) n n! ( i) n n! Imz = + i!! i 3 3! + 4 4! + i 5 5! 6 6! i 7 7! + = i!! + i 3 3! + 4 4! i 5 5! 6 6! + i 7 7! +, da man konvergente Reihen nach Lemma 6.5 (a) gliedweise addieren kann. Weil diese Reihendarstellung für alle R gilt, ist der Konvergenzradius dieser Potenzreihen gleich. e i

6 8. Spezielle Funktionen 99 Wir listen nun zunächst die einfachsten Eigenschaften von Kosinus und Sinus auf, die sich direkt aus der Definition ergeben. Satz 8.4 (Eigenschaften von Kosinus und Sinus). Für alle,y R gilt (a) cos( ) = cos und sin( ) = sin. (Der Graph von cos ist also achsensymmetrisch zur vertikalen Achse, der von sin punktsymmetrisch zum Ursprung). (b) (cos) + (sin) = ; insbesondere ist also cos und sin. (c) (Additionstheoreme) und cos( ± y) = cos cosy sin siny sin( ± y) = sin cosy ± cos siny (wobei die Gleichungen so zu verstehen sind, dass an beiden Stellen das obere oder an beiden Stellen das untere Vorzeichen zu nehmen ist). (a) folgt z. B. unmittelbar aus Lemma 8.3 (a). (b) Nach Satz 8.0 (b) ist (cos) + (sin) = (Re(e i )) + (Im(e i )) = e i =. (c) Einerseits ist andererseits aber auch e i(+y) = e i e iy = (cos + i sin)(cosy + i siny) = cos cosy sin siny + i ( sin cosy + cos siny ), e i(+y) = cos( + y) + i sin( + y). Vergleich von Real- und Imaginärteil liefert nun die behaupteten Formeln für cos( + y) und sin(+y). Die Formeln für cos( y) und sin( y) ergeben sich daraus durch den Übergang y y mit (a). Notation 8.5 (cos n und sin n ). Für n N schreibt man zur Abkürzung oft auch cos n und sin n anstatt (cos) n und (sin) n. Die Formel aus Satz 8.4 (b) schreibt sich dann z. B. kürzer als cos + sin =. Beachte aber, dass dies leicht zu Verwechslungen führen kann, weil wir die Umkehrfunktion einer Funktion f in Lemma.3 (c) ja mit f () bezeichnet haben, dies aber nach dieser neuen Notation auch als ( f ()) = f () interpretiert werden könnte was natürlich etwas völlig anderes ist. Wir werden daher für Kosinus und Sinus die Schreibweise cos () bzw. sin () überhaupt nicht verwenden, und den Umkehrfunktionen dieser beiden Funktionen andere Namen geben (siehe Definition 8.3). Als Nächstes wollen wir die Nullstellen und die Periodizität von Kosinus und Sinus untersuchen. Aus Bemerkung 8. (und dem, was ihr aus der Schule wisst) ist z. B. klar, dass diese beiden Funktionen die Periode besitzen sollten. Aber bisher wissen wir überhaupt noch nicht, was eigentlich genau ist! Wie ihr euch vielleicht schon denken könnt, wird auch hier der Ausweg wieder darin bestehen, die Sache rückwärts anzugehen und die Zahl über die Eigenschaften der Kosinus- und Sinusfunktion zu definieren. Dazu benötigen wir das folgende Lemma: Lemma 8.6. (a) Für alle (0,) ist sin > 0. (b) Die Kosinusfunktion ist im Intervall [0,] streng monoton fallend, und es gilt cos0 > 0 sowie cos < 0. Wir bemerken zunächst, dass die Summanden der Eponentialreihe n n! für 0 < ab dem -Term betragsmäßig streng monoton fallend sind, denn für n ist n+ /(n + )! n /n! = n + + <.

7 00 Andreas Gathmann Dasselbe gilt dann natürlich auch für die Glieder der Kosinus- und Sinusreihe, die nach Lemma 8.3 (b) ja bis auf das Vorzeichen genau die geraden bzw. ungeraden Terme der Eponentialreihe sind. Da die Kosinus- und Sinusreihe zudem alternierend sind, sind ihre Partialsummen nach Bemerkung 6.9 damit abwechselnd obere und untere Schranken für den Grenzwert (sofern wir mindestens bis zum -Term aufsummieren, ab dem die Summanden betragsmäßig streng monoton fallen). (a) Nach der Vorbemerkung folgt nun sofort für alle (0,) sin 3 3! = ( 6 ) > ( ) = 6 3 > 0. (b) Natürlich ist cos0 = > 0. Für cos gilt wieder nach der Vorbemerkung 9 cos! + 4 4! = = 3 < 0. Es bleibt also nur noch die strenge Monotonie zu zeigen. Es seien dazu,y [0,] mit < y gegeben. Mit den Additionstheoremen aus Satz 8.4 (c) ergibt sich ( y + cos ± y ) = cos y + cos y sin y + sin y. Subtraktion dieser beiden Gleichungen voneinander liefert nun ( y + cos + y ) ( y + cos } {{ } y ) } {{ } =y = = sin y + mit (a) also cos y cos < 0 und damit wie behauptet cos > cos y. } {{ } (0,) sin y } {{ } (0,), Da die Kosinusfunktion nach Lemma 8.3 (b) stetig ist, ergibt sich mit dem Zwischenwertsatz 7.0 aus Lemma 8.6 (b) also, dass es genau ein (0,) gibt mit cos() = 0. Aus der Interpretation von Bemerkung 8. sehen wir, dass diese Nullstelle des Kosinus genau bei = auftreten sollte, also dort wo e i auf der imaginären Achse liegt. Wir benutzen dies nun, um die Zahl zu definieren: Definition 8.7. Wir definieren die Zahl R als das Doppelte der (nach obigen Überlegungen eindeutig bestimmten) Nullstelle der Kosinusfunktion im Intervall [0, ]. (Eine näherungsweise Berechnung dieser Nullstelle zeigt, dass = 3, ) Bemerkung 8.8. (a) Unsere Definition 8.7 ist natürlich nicht die einzig mögliche Art, wie man die Zahl definieren kann man könnte genauso gut auch irgendeine andere charakteristische Eigenschaft dieser Zahl als Definition verwenden, wie z. B. (was ja häufig gesagt wird) dass das Verhältnis vom Umfang zum Durchmesser eines Kreises ist. Um dies zu einer brauchbaren Definition zu machen, müssten wir allerdings zum einen überhaupt erst einmal wissen, wie man die Länge einer gekrümmten Linie (also hier einer Kreislinie) berechnet, und zum anderen dann auch zeigen, dass dieses Verhältnis vom Umfang zum Durchmesser für jeden Kreis das gleiche ist. Außerdem wäre z. B. die Aussage, dass cos = 0 ist, dann ein Satz, den wir beweisen müssten. Für uns hat die Definition 8.7 einfach den Vorteil, dass sie am schnellsten zu den gewünschten Resultaten führt (insbesondere auch ohne Bogenlängen berechnen zu können). (b) Da die Kosinusfunktion nach Lemma 8.6 (b) auf [0,] streng monoton fallend ist, ist ihre Einschränkung auf das Intervall [0, ] damit eine bijektive, streng monoton fallende Funktion, die von cos0 = nach cos = 0 läuft. Wir wollen nun sehen, wie wir aus diesem Abschnitt der Kosinusfunktion die Kosinus- und Sinusfunktion auf ganz R rekonstruieren können:

8 8. Spezielle Funktionen 0 Satz 8.9 (Periodizität von Sinus und Kosinus). (a) An den Stellen {0,,, 3,} nehmen Kosinus und Sinus die folgenden Werte an: 0 3 cos 0 0 sin (b) Kosinus und Sinus sind -periodisch, d. h. es gilt cos(+) = cos und sin(+) = sin für alle R. (c) Für alle R ist cos( ) = cos und sin( ± ) = cos. (a) Die Werte für = 0 ergeben sich sofort aus = e i 0 = cos0+i sin0. Für = gilt cos = 0 nach unserer Definition 8.7 von. Für den Sinus gilt damit sin = cos = 0 = nach Satz 8.4 (b); da außerdem sin > 0 nach Lemma 8.6 (a) gilt, muss also sin = sein. Aus diesen ersten Werten von Kosinus und Sinus ergeben sich nun die übrigen aus den Additionstheoremen von Satz 8.4 (c), wie z. B. ( cos = cos + ) = cos cos sin sin = 0 0 =. (b) Nach (a) ist cos() = und sin() = 0. Damit ergibt sich wie behauptet aus den Additionstheoremen von Satz 8.4 (c) für alle R und analog für sin( + ). cos( + ) = cos cos() sin sin() = cos, (c) Auch diese Aussage erhält man mit (a) aus den Additionstheoremen, z. B. cos( ) = cos cos + sin sin = ( ) cos + 0 sin = cos. Bemerkung 8.0. Mit Satz 8.9 können wir nun aus dem Verlauf der Kosinusfunktion im Intervall [0, ] (nach Bemerkung 8.8 (b) streng monoton fallend von nach 0 verlaufend; im Bild unten dick eingezeichnet) die gesamte Kosinus- und Sinusfunktion rekonstruieren: Satz 8.9 (c) für [0, ] legt zunächst Kosinus und Sinus im Intervall [0,] fest: die Graphen verlaufen hier genauso wie beim Kosinus von 0 bis, nur gedreht bzw. gespiegelt (im Bild unten als durchgezogene Linie markiert); Satz 8.4 (a) bestimmt Kosinus Sinus damit dann auch im Intervall [, ] (im Bild gestrichelt eingezeichnet); Satz 8.9 (b) schließlich besagt dann, dass dieser Verlauf von Kosinus und Sinus in beide Richtungen -periodisch fortgesetzt wird (wie im Bild gepunktet eingezeichnet). cos() sin() 3 3 Wie in der Schule definiert man schließlich noch den Tangens: Definition 8.. Für alle R mit cos 0, also nach Bemerkung 8.0 für alle R\{ + n : n Z}, heißt tan := sin cos der Tangens von.

9 0 Andreas Gathmann Bemerkung 8. (Eigenschaften des Tangens). Die wesentlichen Eigenschaften des Tangens ergeben sich unmittelbar aus denen des Kosinus und Sinus: (a) Der Tangens ist auf seiner Definitionsmenge als Quotient stetiger Funktionen stetig. tan() (b) Es ist tan( ) = sin( ) cos( ) = sin cos = tan nach Satz 8.4 (a) (d. h. der Graph von tan ist punktsymmetrisch zum Ursprung), und tan( + ) = sin( + ) cos( + ) = sin cos = tan 4 nach Bemerkung 8.0 (d. h. tan ist periodisch mit Periode ). Der Graph der Tangensfunktion ist durch diese Symmetrien also bereits durch den Graphen im Intervall [0, ) bestimmt. (c) Es ist tan0 = sin0 cos0 = 0 = 0 sowie tan 4 =, denn nach Satz 8.9 (c) ist sin 4 = cos 4. Weiterhin ist lim / </ tan =, da in diesem Grenzfall sin gilt und cos von der positiven Seite gegen 0 konvergiert. (d) Die Tangensfunktion ist auf [0, ) (und damit nach der Symmetrie aus (b) auch auf (, )) streng monoton wachsend, denn für,y [0, ) mit < y ist sin < siny und cos > cosy > 0 nach Bemerkung 8.0, woraus folgt. tan = sin cos < siny cosy = tany Wir können nun natürlich auf den Intervallen, auf denen die Winkelfunktionen streng monoton sind, nach Satz 7.7 die Umkehrfunktionen definieren. Aufgrund der Periodizität haben wir dabei in allen drei Fällen eine Wahl, welches solche Intervall wir betrachten. Üblicherweise verwendet man die folgenden: Definition 8.3 (Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen). Die Umkehrfunktion von... (a) sin : [, ] [,] heißt Arkussinus arcsin : [,] [, ]. (b) cos : [0,] [,] heißt Arkuskosinus arccos : [,] [0,]. (c) tan : (, ) R heißt Arkustangens arctan : R (, ). arcsin() arccos() arctan() 4

10 8. Spezielle Funktionen 03 Bemerkung 8.4. (a) Beachte, dass die Arkusfunktionen nur in den betrachteten Intervallen wirklich die Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen sind; es ist also z. B. arcsin(sin) = nur für [, ], wohingegen z. B. arcsin(sin ) = arcsin 0 = 0 ist. (b) Wie bei den anderen bisher betrachteten Umkehrfunktionen ergeben sich die Eigenschaften der Arkusfunktionen natürlich wieder direkt aus denen der Winkelfunktionen. So sind z. B. alle Arkusfunktionen stetig und streng monoton nach Satz 7.7 (wachsend für arcsin und arctan, fallend für arccos), und die wichtigsten speziellen Werte und Symmetrien sind so wie im Bild oben dargestellt. Als Anwendung der Arkusfunktionen wollen wir zum Abschluss dieses Kapitels nun noch die sogenannte Polarkoordinatendarstellung kompleer Zahlen behandeln, mit der sich Rechnungen in C oft wesentlich vereinfachen lassen. Die Idee dabei ist einfach, dass man durch Multiplikation einer Zahl e iϕ auf dem Einheitskreis (siehe Bemerkung 8.) mit einer positiven reellen Zahl r jeden Punkt der kompleen Zahlenebene (mit Ausnahme des Nullpunkts) erreichen können sollte, wobei wie im Bild rechts r gerade der Betrag und ϕ der Winkel des betrachteten Punktes ist. Man kann einen solchen Punkt also auch durch Angabe der Werte von r und ϕ (anstatt durch Real- und Imaginärteil) charakterisieren: Satz 8.5 (Polarkoordinatendarstellung). Imz ϕ r z = r e iϕ (a) Jede komplee Zahl z C\{0} lässt sich in der Form z = r e iϕ mit r R >0 und ϕ R schreiben. (b) Die Darstellung aus (a) ist eindeutig bis auf ganzzahlige Vielfache von in ϕ, d. h. sind r,r R >0 und ϕ,ϕ R mit r e iϕ = r e iϕ, so ist r = r und ϕ ϕ = n für ein n Z. Man nennt r und ϕ die Polarkoordinaten von z. (a) Wir setzen r := z. Es bleibt also noch zu zeigen, dass es ein ϕ R gibt mit z = z e iϕ, z d. h. dass sich die komplee Zahl z, die ja jetzt Betrag hat, in der Form eiϕ schreiben z lässt. Aufgeteilt in Real- und Imaginärteil bedeutet dies genau, dass wir z =: + iy als cosϕ +i sinϕ schreiben wollen, d. h. wir suchen zu,y R mit +y = eine Zahl ϕ R mit cosϕ = und sinϕ = y. ( ) Wegen + y = ist insbesondere, wir können also α := arccos setzen, so dass schon einmal cosα = gilt. Nun ist mit Satz 8.4 (b) y = = cos α = sin α und damit y = ±sinα. Im Fall des Vorzeichens + ergibt nun ϕ := α, im Fall des Vorzeichens hingegen ϕ := α die gewünschten Relationen ( ). (b) Nehmen wir von der Gleichung r e iϕ = r e iϕ auf beiden Seiten den Betrag, so erhalten wir sofort r = r. Weiterhin ist damit e iϕ = e iϕ, also e i(ϕ ϕ) = e 0 = und damit Beispiel 8.6. cos(ϕ ϕ) = und sin(ϕ ϕ) = 0. Aus Bemerkung 8.0 ergibt sich, dass dies genau dann der Fall ist, wenn ϕ ϕ ein ganzzahliges Vielfaches von ist. (a) In Polarkoordinaten ist insbesondere die Multiplikation zweier kompleer Zahlen sehr einfach: es ist (r e iϕ ) (r e iϕ ) = (r r )e i(ϕ +ϕ ), Rez

11 04 Andreas Gathmann was die algebraische Version der geometrischen Aussage aus Bemerkung 4.5 ist, dass sich bei der Multiplikation kompleer Zahlen die Beträge multiplizieren und die Winkel addieren. (b) (Einheitswurzeln) In Polarkoordinaten können wir in C besonders einfach die Gleichung z n = für n N >0 lösen. Schreiben wir nämlich z = r e iϕ, so wollen wir also z n = r n e inϕ = = e i 0, was nach der Eindeutigkeitsaussage aus Satz 8.5 (b) bedeutet, dass r n = und nϕ = k für ein k Z, also r = und ϕ = k n für ein k Z. Da man die Polarkoordinaten stets so wählen kann, dass ϕ [0,) ist, genügt es dabei, sich auf die Werte k {0,,...,n } zu beschränken. Die kompleen Lösungen der Gleichung z n = sind also genau die n Zahlen z k = e ik n für k = 0,...,n. Man bezeichnet diese Zahlen als die n-ten Einheitswurzeln; sie bilden die Ecken eines regelmäßigen n-ecks (wie im Bild rechts für das Beispiel n = 5 dargestellt). (c) Nach Satz 8.5 (a) können wir jede komplee Zahl z 0 als z = r e iϕ = e logr+iϕ schreiben; jedes solche z liegt also im Bild der kompleen Eponentialfunktion. Umgekehrt liegt die 0 sicher nicht im Bild dieser Eponentialfunktion, denn aus e w = 0 für ein w C würde der Widerspruch 0 = e w e w = e 0 = folgen. Also ist die Abbildung ep : C C\{0} surjektiv (wegen e i = e 0 = jedoch nicht injektiv). e 4i 5 e 6i 5 Imz e i 5 e 8i 5 Rez