K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 1. Übung: Woche vom (komplexe Zahlen):

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1 Übungsaufgaben 1. Übung: Woche vom (komplexe Zahlen): Heft Ü1: 3.9 (a,b); 3.10, 3.12 (a-c); 3.13 (a-c); 3.2 (a,b,d); 3.3 (c,d,f)

2 Wiederholung Komplexe Zahlen Definition (Imaginäre Einheit, konjugiert komplex, Betrag) Rechenregeln (C ist ein Zahlkörper) Darstellung in kartesischen Koordinaten und Polarkoordinaten, Exponentialform Moivresche Formeln: n-te Potenz (eindeutig), n-te Wurzeln (n-fach(!)) Die Anordnungsaxiome der reellen Zahlen gelten nicht für komplexe Zahlen(!) (x y R x < y y < x, aber: 4 i?? 3 + 2i - nicht vergleichbar, in C existiert keine natürliche Wohlordnung)

3 Die GAUSSsche Zahlenebene (Buch, Kap ) Im z 1 z=2+i 0 2 Re z Abbildung 1.23: Komplexe Zahl z = 2 + i in der Zahlenebene

4 Polarkoordinaten (goniometrische Form) Im z r φ z=a+bi b 0 a Re z Abb. 1.24: a + bi = r(cos φ + i sin φ) (r, φ) heißen Polarkoordinaten von z (a, b) heißen kartesische Koordinaten von z

5 Wdhlg.: EULERsche Formel e iφ := cos φ + i sin φ, speziell: e iπ = 1 Folgerung z = a + bi = r(cos φ + i sin φ) = z e iφ (Exponentialform)

6 Wdhlg.: Multipl. komplexer Zahlen (in goniometrischer Form) Es seien z := re iφ und w := ρe iψ gegeben. Dann gilt z w = re iφ ρe iψ = rρe i(φ+ψ) z w = reiφ ρe iψ = r ρ ei(φ ψ)

7 Wdhlg.: Potenzieren und Radizieren z n z n := z z... z }{{} n mal heißt n te Potenz von z C Eine Zahl z C heißt n-te Wurzel der Zahl w C, falls z n = w Potenzieren und Radizieren komplexer Zahlen sinnvollerweise in der goniometrischen Form (Polarkoordinaten) unter Benutzung des Satzes von Moivre (Buch, Kap )

8 Wiederholung: Satz von Moivre Satz 1.3: (de MOIVREsche Formeln) Sei n N, dann gilt a) Die n-te Potenz von z = a + bi = r(cos φ + i sin φ) = re iφ ergibt sich zu z n = r n (cos(nφ) + i sin(nφ)) = r n e inφ. b) Für jede komplexe Zahl w = re iφ 0 hat die Gleichung z n = w genau n verschiedene Lösungen, nämlich die n n-ten Wurzeln z k = n r(cos( φ n + k2π n ) + i sin(φ n + k2π n )) = n re i( φ n + k2π n ) für k = 0, 1,..., n 1. Die n-ten Wurzeln liegen auf einem Kreis mit dem Radius n r um den Nullpunkt der Gaußschen Zahlenebene und bilden ein regelmäßiges n-eck.

9 Im z α 1 α 2 5π _ 6 _ π 6 α Re z α 3 α 5 α 4 Abb. 1.32: Die 6. Wurzeln der Zahl w = 1 = 1 e iπ

10 Polynom n-ten Grades über C p n (x) := a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 a 0, a 1,..., a n C, n N gegeben α C heißt Nullstelle von p n, wenn p n (α) = 0 Fundamentalsatz der Algebra (Buch, Kap ) Es gibt mindestens eine Zahl α C, so dass p n (α) = 0.

11 Fundamentalsatz der Algebra (äquivalente Form) Das Polynom p n besitzt n Nullstellen α 1,..., α n C und es gilt die folgende Zerlegung in Linearfaktoren p n (x) = a n n j=1 (x α j ). Fasst man die Linearfaktoren von ein und derselben Nullstelle jeweils zusammen, so hat man p n (x) = a n r (x α i ) m i, wobei m i (i = 1,..., r) die Vielfachheiten der r paarweise i=1 verschiedenen Nullstellen α 1,..., α r bezeichnet und r i=1 m i = n.

12 Polynome mit rellen Koeffizienten Falls alle Koeffizienten eines Polynoms p reelle Zahlen sind und p die Nullstelle α C mit Imα 0 besitzt, so ist auch α Nullstelle von p, d.h. p(α) = 0 Im α 0 p(α) = 0 Bemerkung: Das Produkt der Faktoren (x α)(x α) = x 2 2Re αx + α 2 ergibt einen im Reellen irreduziblen quadratischen Faktor (d.h., keine reelle Nullstelle) für das Polynom p.

13 Zum Fundamentalsatz (noch ein Beispiel) p(z) = 4z 7 +4 = 4(z 7 +1) = 4(z +1)(z 6 z 5 +z 4 z 3 +z 2 z +1) = = 4(z + 1)(z 2 2 cos π 7 + 1)(z2 2 cos 3π 7 + 1)(z2 2 cos 5π 7 + 1). Die Wurzeln von z sind ( z k = 1, k = 0, 1,..., 6): z 0 = e i π 7, z6 = e i 13π 7 = e i π 7, z6 = z 0 z 1 = e i 3π 7, z5 = e i 11π 7 = e i 3π 7, z5 = z 1 z 2 = e i 5π 7, z4 = e i 9π 7 = e i 5π 7, z4 = z 2 z 3 = e i 7π 7 = 1 Relles Polynom = Produkt aus Linear- und quadratischen Faktoren (rell, irreduzibel)

14 Das HORNERschema (zur Berechnung von p(x 0 )) a n a n 1... a 1 a b n x 0... b 2 x 0 b 1 x 0 x 0 b n b n 1 b 1 b 0 = p(x 0 ). Es sei b n := a n, b i := a i + b i+1 x 0, (i = n 1,..., 0), g(x) := n 1 b i+1 x i. i=0 Dann gilt p(x) = g(x)(x x 0 ) + b 0, p(x 0 ) = b 0, p (x 0 ) = g(x 0 ).

15 Mit dem Hornerschema kann man den Funktionswert p(x 0 ) effizient berechnen (geringstmögliche Anzahl an Elementaroperationen) die Polynomdivision mit Rest berechnen (Euklidischer Algorithmus) die Darstellung (Entwicklung) des Polynoms in Potenzen von (x x 0 ) (x 0 0) berechnen die Ableitung p (x 0 ) berechnen.

16 Funktionen (Grundbegriffe I) Eine Funktion f : D V ist eine Vorschrift, die jedem Element x aus D eindeutig ein Element y aus V zuordnet. Anstelle des Begriffs Funktion verwenden wir auch den gleichwertigen Begriff Abbildung. Um die Abhängigkeit des Bildes y von x auszudrücken schreibt man auch y = f(x). Die Menge D heißt Definitionsbereich der Funktion f und wird auch mit D(f) bezeichnet.

17 Funktionen (Grundbegriffe II) Für A D bezeichnen wir f(a) := {y V es gibt ein x A mit y = f(x)} als Bildmenge von A. Speziell heißt W := W (f) := f(d) Wertebereich oder Wertevorrat von f. Für B V wird f 1 (B) := {x D f(x) B} (vollständige) Urbildmenge von B genannt.

18 Funktionen (Grundbegriffe III) Eine Funktion f : D V heißt injektiv (eineindeutig), falls x y f(x) f(y) für beliebige x, y D gilt, surjektiv, falls W (f) = V, bijektiv, falls f injektiv und surjektiv ist. Zwei Funktionen f : D(f) V (f) und g : D(g) V (g) sind genau dann gleich, wenn D(f) = D(g) und f(x) = g(x) für alle x D(f).

19 Sei D R. Dann heißt eine Funktion f : D R reellwertige Funktion einer reellen Veränderlichen. θ θ t Abb. 2.1: Temperaturmessreihe diskret t Abb. 2.2: Messreihe linear interpoliert