Vorlesung Mathematik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08)

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1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure I (Wintersemester 007/08) Kapitel 3: Abbildungen Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 8. November 007) Abbildungen / Funktionen Definition 3. Eine Abbildung (Funktion) f von einer Menge A in eine Menge B ist eine Vorschrift, die jedem Element x A genau ein Element f (x) B zuordnet. A heißt der Definitionsbereich und B heißt der Wertebereich von f. (Funktion vor allem, wenn B eine Menge von Zahlen ist.)

2 Bildmenge 3 Definition 3. Das Bild (Bildmenge) einer Abbildung f : A B ist f (A) := {f (x) x A} (die Menge aller y B, für die es ein x A gibt mit f (x) = y). Urbildmenge 4 Definition 3.3 Ist f : A B eine Abbildung und Y B, so heißt f (Y ) := {x A f (x) Y } das Urbild (Urbildmenge) von Y.

3 Komposition von Abbildungen 5 Definition 3.4 Sind f : A B und g : C D Abbildungen mit f (A) C, so heißt die Abbildung g f : A D x g(f (x)) die Komposition von f und g ( g und f, g Kringel f ). Injektivität und Umkehrabbildung 6 Definition 3.5 Eine Abbildung f : A B heißt injektiv, falls für alle x, x A nur dann f (x) = f (x ) gilt, wenn x = x ist. Definition 3.6 Ist f : A B injektiv, so gibt es zu jedem y f (A) ein eindeutiges x A mit f (x) = y. Die Abbildung f : f (A) A y das x A mit f (x) = y heißt die Umkehrabbildung (Umkehrfunktion) von f.

4 Eigenschaften von Umkehrabbildungen 7 Bemerkung 3.7 Ist f : A B injektiv und g : f (A) A die Umkehrabbildung von f, so gelten: g(f (x)) = x für alle x A f (g(y)) = y für alle y f (A) Die Abbildungen g f : A A und f g : f (A) f (A) sind also die Identitätsabbildungen A A, x x bzw. f (A) f (A), y y. Quadrat- und Wurzelfunktion f : [0, [ R, x x injektiv mit 8 f : [0, [ [0, [, y x

5 Tangens und Arcustangens 9 tan :] π, π [ R injektiv, Umkehrfunktion arctan : R ] π, π [ Sinus und Arcussinus 0 sin : [ π, π ] R injektiv, Umkehrfunktion arcsin : [, ] [ π, π ]

6 Cosinus und Arcuscosinus cos : [0, π] R injektiv, Umkehrabbildung arccos : [, ] [0, π] Exponenzial- und Logarithmusfunktion Die reelle Exponenzialfunktion R ]0, [, x e x ist injektiv; ihre Umkehrabbildung ist die (natürliche) Logarithmusfunktion ln :]0, [ R

7 Graph der Umkehrfunktion 3 Den Graph der Umkehrfunktion einer injektiven Funktion f : R X R erhält man durch Spiegelung des Graphen von f an der Winkelhalbierenden {(x, y) R x = y}. Beispiel: Quadratfunktion

8 Beispiel: Sinusfunktion Beispiel: Exponenzialfunktion

9 Kurven 7 Definition 3.8 Eine Kurve in R m ist eine Abbildung c : I R m eines Intervalls I R nach R m. Kreisbewegung 8 c : [0, 3π ] R, t (cos t, sin t) Beschreibt eine Bewegung um drei Viertel des Einheitskreises (gegen den Uhrzeigersinn, startend in (,0)) c([0, 3π ]) (Bildmenge)

10 Parametrisierung von Funktionsgraphen 9 c : [0, [ R, t (t, sin t) Beschreibt eine Bewegung entlang des Graphen der Sinusfunktion (startend bei (0, 0), nach rechts) c([0, [) (Bildmenge) Spirale 0 c : [0, 0] R 3, t (cos t, sin t, t 0 ) Beschreibt eine nach oben durchlaufende Spirale über dem Einheitskreis c([0, 0]) (Bildmenge)

11 Funktionsgraphen Definition 3.9 Der Graph einer Funktion f : R n X R ist die Menge {(x,..., x n, f (x)) R n+ x = (x,..., x n ) X } R n+. Beispiel Funktionsgraph f (x, y) = sin(x) cos(y)

12 Niveaumengen 3 Definition 3.0 Die Niveaumenge einer Funktion f : R n X R zum Wert α R ist die Menge {x X f (x) = α} R n (n = : Niveaulinie, n = 3 : Niveaufläche ). Beispiel: Niveaulinien f (x, y) = sin(x) cos(y) und α = 0.9

13 Beispiel: Niveaulinien f (x, y) = sin(x) cos(y) und α = 0.5 Beispiel: Niveaulinien f (x, y) = sin(x) cos(y) und α = 0

14 Vektorfelder 7 Definition 3. Ein Vektorfeld ist eine Abbildung. v : R n X R n Veranschaulichung für n =, 3 (Kartesisches Koordinatensystem der Ebene bzw. des Raums) In jedem Punkt x X ist der zu v(x) R n gehörende Pfeil angeheftet. Vektorfeld in R v(x, y) = ( y, x)

15 Vektorfeld in R w(x, y, z) = ( y, x, z) Parametrisierungen von Flächen [ π 4, 3π 4 ] [0, π] R3 (u, v) (sin(u) cos(v), sin(u) sin(v), cos(u)).0

16 Polynomfunktion Definition 3. Eine Polynomfunktion (ein Polynom) ist eine Abbildung f : R R oder f : C C mit 3 f (z) = n a k z k = a 0 + a z + a z + + a n z n, k=0 wobei im ersten Fall a 0,..., a n R sein müssen (reelles Polynom) und im zweiten Fall a 0,..., a n C sein dürfen (komplexes Polynom). Die a k heißen die Koeffizienten von f. Falls a n 0 ist, ist n der Grad von f. Die Nullfunktion f (z) = 0 hat Grad. Nullstellen 3 Definition 3.3 Eine Nullstelle einer Funktion f : R R oder f : C C ist ein z R bzw. z C mit f (z) = 0.

17 f : R R, f (x) = x f (x) = x 3 5x + x 5: f (x) und f (x)

18 Fundamentalsatz der Algebra 35 Satz 3.4 Ist f ein Polynom vom Grad n, so gibt es eine bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutige Zerlegung f (z) = a n (z z )(z z ) (z z n ) von f in Linearfaktoren z z,..., z z n mit z,..., z n C. Die z,..., z n sind die komplexen Nullstellen von f ; sie müssen nicht unbedingt paarweise verschieden sein. Insbesondere hat ein Polynom vom Grad n höchstens n Nullstellen. Vielfachheit von Nullstellen 36 Definition 3.5 Ist f (z) = a n (z z )(z z ) (z z n ) und ist z C eine Nullstelle von f, so heißt die Zahl {k {,..., n} z = z k } die Vielfachheit der Nullstelle z von f.

19 Koeffizientenvergleich 37 Satz 3.6 Definieren f (z) = a k z k und g(z) = b k z k zwei Polynomfunktionen vom Grad n und stimmen f (z) und g(z) an wenigstens n + Stellen überein, so gilt a k = b k für alle k (die beiden Funktionen sind also gleich). Komplexe Nullstellen reeller Polynome 38 Satz 3.7 Ist z C eine Nullstelle eines Polynoms f (z) = n a k z k k=0 mit reellen Koeffizienten a 0, a,..., a k R, so ist auch die zu z komplex konjugierte Zahl z C eine Nullstelle von f.

20 Zerlegung reeller Polynome 39 Satz 3.8 Ein reelles Polynom f (x) = a k x k (mit a k R) lässt sich als Produkt von reellen Polynomen vom Grad schreiben. Polynominterpolation 40 Satz 3.9 Sind für n + paarweise verschiedene x,..., x n+ (in R bzw. C) beliebige Werte y,..., y n+ (in R bzw. C) vorgegeben, so gibt es genau eine Polynomfunktion f : R R bzw. f : C C vom Grad n mit f (x ) = y,..., f (x n+ ) = y n+.

21 Polynominterpolation (, 4), (0, 3), (, 6), (, ), (3, ) f (x) = x x 0 x x 4 Rationale Funktionen 4 Definition 3.0 Eine Funktion der Form f (z) = p(z) q(z) mit zwei Polynomfunktionen p(z) und q(z) (reell oder komplex) ist eine rationale Funktion. Die Nullstellen von q(z) sind die Pole von f (z). An den Polen ist f (z) nicht definiert.

22 f (x) = x (x 0) g(x) = x+ (x )

23 f (x) = x (x 0) f (x) = x 3 +7x (x )(x+) (x 4) (x {,, 4})

24 f (x) = 3x5 +x 8 x (x {, }) Polynomdivision mit Rest 48 Satz 3. Jede rationale Funktion f (z) kann man darstellen in der Form f (z) = g(z) + p(z) q(z), wobei g(z), p(z), q(z) Polynome sind und der Grad von p kleiner ist als der von q.