D-CHAB Grundlagen der Mathematik I (Analysis A) HS 2015 Theo Bühler

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1 D-CHAB Grundlagen der Mathematik I Analysis A) HS 015 Theo Bühler Lösung 3 1. Führe die folgenden Polynomdivisionen mit Rest durch. a) x 3 x 5x + 5) : x 3) Lösung. Also gilt oder x 3 x 5x +5) : x 3) x + x + 1 x 3 3x ) x 5x +5 x 6x) x +5 x 3) 8 x 3 x 5x + 5) : x 3) = x + x + 1 Rest 8, b) x 5 + x 4 + x 3 + 5) : x 1) Lösung. x 3 x 5x + 5 = x + x + 1 ) x 3) + 8. x 5 +x 4 +x 3 +0x +0x +5) : x 1) x 3 + x + x + 1 x 5 x 3 ) x 4 +x 3 +5 x 4 x ) x 3 +x +5 x 3 x) x +x +5 x 1) x + 11 Bitte wenden!

2 Also gilt x 5 + x 4 + x 3 + 5) : x 1) = x 3 + x + x + 1 Rest x + 11 ) oder x 5 + x 4 + x = x 3 + x + x + 1 ) x 1) + x + 11 ).,. Bestimme alle Nullstellen, deren Vielfachheit sowie die vollständige Faktorisierung folgender Polynome. a) x 3 4x + 9x 10 Lösung. Durch Ausprobieren finden wir die Nullstelle. Wir dividieren x 3 4x + 9x 10 durch x und erhalten x 3 4x + 9x 10 = x )x x + 5). x x + 5 = 0 ist eine quadratische Gleichung. Die Lösungen lauten x 1, = ± 4 0. Also x 1 = 1 + i, x = 1 i. Die vollständige Faktorisierung ist x 3 4x + 9x 10 = x )x 1 + i))x 1 i)) und die Vielfachheit aller Nullstellen ist 1. b) x 6 4x 5 + 5x 4 + 4x 3 0x + 4x 1 Hinweis: x = 1 + i ist eine doppelte Nullstelle). Lösung. Gemäss Hinweis ist 1 + i eine doppelte Nullstelle. Aus Aufgabe 3b) wissen wir, dass 1 i auch eine doppelte Nullstelle ist. Also ist x 6 4x 5 + 5x 4 + 4x 3 0x + 4x 1 durch teilbar. x 1 + i)) x 1 i)) = x x + ) = x 4 4x 3 + 8x 8x + 4 x 6 4x 5 +5x 4 +4x 3 0x +4x 1) : x 4 4x 3 + 8x 8x + 4) x 3 x 6 4x 5 +8x 4 8x 3 +4x ) 3x 4 +1x 3 4x +4x 1 3x 4 +1x 3 4x +4x 1) 0 Siehe nächstes Blatt!

3 Also gilt x 6 4x 5 + 5x 4 + 4x 3 0x + 4x 1 = x x + ) x 3). x 3 = 0 ist eine quadratische Gleichung mit Lösungen x = ± 3. Die Gleichung x x + = 0 ist auch quadratisch und die Lösungen sind x = 1 ± i. Also ist vollständige Faktorisierung x 6 4x 5 + 5x 4 + 4x 3 0x + 4x 1 = x x + ) x 3) = x 1 + i)) x 1 i))) x ) 3 x + ) 3 = x 1 + i)) x 1 i)) x ) 3 x + ) 3. Die Nullstellen sind 1 ± i beide doppelt) und ± 3 beide einfach). 3. Sei px) ein Polynom mit reellen Koeffizienten. Verifiziere: a) Für alle z C gilt pz) = pz). Lösung. Sei z eine komplexe Zahl. Dann ist z = re iϑ für eine r 0 und ein ϑ [0, π]. Für n N haben wir z n ) = re iϑ ) n ) = r n e iϑn ) = r n e iϑn = re iϑ) n = z) n Sei px) = a n x n + a n 1 x n a 0 ein Polynom mit reellen Koeffizienten, dann ist wegen a k = a k für alle k. pz) = pz) Bitte wenden!

4 b) Sei z eine Nullstelle von px), dann ist z auch eine Nullstelle von p. Lösung. Es folgt aus a). Sei z eine Nullstelle von px), dann pz) = pz) = 0 = 0 Siehe nächstes Blatt!

5 4. Multiple choice. 1. Betrachte ein quadratisches Polynom px) = x + λ, λ C. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? a) Für λ > 0 hat px) keine reelle Nullstelle. Ja, die Lösungen lauten ± λ und sind daher imaginär. b) Es gibt ein λ R, so dass px) eine reelle Nullstelle und eine nicht reelle Nullstelle hat. Nein, aus Aufgabe 3b) wissen wir, dass beide Nullstellen nicht reell sind. c) Es gibt ein nicht-reelles λ, so dass px) eine reelle Nullstelle und eine nicht reelle Nullstelle hat. Nein, man kann die Gleichung x = λ lösen, und die Nullstellen sind beide nicht reell. d) Für jedes λ C hat px) keine doppelten Nullstellen. Nein, betrachte λ = 0. Bitte wenden!

6 . Sei qx) = x + ) 3 5x + ) + x + 3. Der Graph ist Betrachte px) := qx) + λ, für ein reelles λ. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? a) qx) hat drei Nullstellen mit Vielfachheit 1. Ja, qx) schneidet die x-achse in 3 Punkten. b) Es gibt ein λ < 0, so dass px) := qx) + λ nur eine reelle Nullstelle hat. Ja, sei d der Abstand zwischen A und der x-achse, dann schneidet px) := qx) + λ für λ < d die x-achse nur in einem Punkt. c) Es gibt ein λ > 0 so dass px) := qx) + λ nür eine reelle Nullstelle hat. Ja, sei d der Abstand zwischen B und der x-achse, dann schneidet px) := qx) + λ für λ > d die x-achse nur in einem Punkt. Siehe nächstes Blatt!

7 3. Sei px) := x 3 4x + 5x. Der Graph ist Welche der folgenden Aussagen sind richtig? a) px) hat eine reelle Nullstelle mit Vielfachheit 3. Nein, px) trifft die x-achse in Punkten. b) px) hat zwei reelle Nullstellen mit Vielfachheit 1 und eine nicht-reelle Nullstelle z mit Vielfachheit 1. Nein, px) ist ein reelles Polynom, also z ist auch eine Nullstelle mit Vielfachheit 1. Der Grad von px) ist 3 und das ist ein Widerspruch mit dem Fundamentalsatz der Algebra! c) px) hat zwei nicht-reelle Nullstellen mit Vielfachheit 1. Nein, px) schneidet die x-achse in Punkten. d) px) hat eine doppelte reelle Nullstelle x1 und eine einfache reelle Nullstelle x.