Lösung Serie 5 (Polynome)

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1 Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW) Hochschule für Technik Institut für Geistes- und Naturwissenschaft Dozent: Roger Burkhardt Klasse: Studiengang ST Lösung Serie 5 (Polynome) Büro: 4613 Semester: 2 Modul: Algebra 1 Datum: FS Aufgabe Faktorisiere mit Hilfe des Sates von Vieta: (a) x 2 3x 10 =? 10 = 1 10 ( 1) + 9 = 8 ( 3) 10 = 2 5 ( 2) + 5 = 3 x 2 3x 10 = (x ( 2)) (x 5) = (x + 2) (x 5) (b) (c) 6x 2 + 6x 36 =? 6x 2 + 6x 36 = 6 ( x 2 + x 6 ) 6 = 1 6 ( 1) + 6 = = 2 3 ( 2) + 3 = = 3 2 ( 3) + 2 = 1 6x 2 + 6x 36 = 6 (x ( 3)) (x 2) = 6 (x + 3) (x 2) 3x 2 6x 72 =? 3x 2 6x 72 = 3 ( x 2 2x 24 ) 24 = 1 24 ( 1) + 24 = 23 ( 2) 24 = 2 12 ( 2) + 12 = 10 ( 2) 24 = 3 8 ( 3) + 8 = 5 ( 2) 24 = 4 6 ( 4) + 6 = 2 = ( 2) 3x 2 6x 72 = 3 (x ( 4)) (x 6) = 3 (x + 4) (x 6)

2 (d) 15x 2 + 2x 1 =? 15x 2 + 2x 1 = ( 1 2x 15x 2) 15 = ( 1) = ( 3) 5 ( 1) + 15 = 14 ( 2) ( 3) + 5 = 2 = ( 2) 15x 2 + 2x 1 = (1 ( 3x)) (1 5x) = (1 + 3x) (1 5x) ( = 15 x + 1 ) ( x 1 ) Aufgabe Bestimme mittels Hornerschema eine Wertetabelle des Polynoms p 5 (x) = x 5 4x 4 5x x 2 + 4x 88 und skizziere den Graphen Wertetabelle: x = = p 5 (0) x = = p 5 (1) x = = p 5 ( 1) x = = p 5 (2) x = = p 5 ( 2) x = = p 5 (3) x = = p 5 ( 3) x = = p 5 (4) x = = p 5 ( 4) Seite 2 / 12

3 Graph: 3 Aufgabe Bestimme die restlichen Nullstellen der folgenden Polynome, bei denen eine Nullstelle jeweils bei x = 2 liegt Bestimme zudem jeweils die reelle Produktdarstellung der Polynome (a) p 3 (x) = 2x 3 6x x 48 Polynomdivision durch den Linearfaktor (x 2): x = p 3 (x) = 2x 3 6x 2 +28x 48 = (x 2)(2x 2 2x+24) = 2(x 2)(x 2 x+12) Nullstellen des quadratischen Deflationspolynoms: x 2,3 = ( 1) ± ( 1) 2 4(1)(12) 2(1) = 1 ± 47 2 = 1 2 ± i 47 2 Es gibt keine weiteren reellen Nullstellen Obiges Produkt entspricht also der Faktorisierung im Reellen! Seite 3 / 12

4 (b) p 4 (x) = 3x x 3 9x 2 54x Da das Absolutglied fehlt kann ein x ausgeklammert werden (x 1 = 0 ist eine einfache Nullstelle des Polynoms!): p 4 (x) = 3x 4 +12x 3 9x 2 54x = x(3x 3 +12x 2 9x 54) = 3x(x 3 +4x 2 3x 18) Polynomdivision durch den Linearfaktor (x 2): x = p 4 (x) = 3x x 3 9x 2 54x = 3x(x 2)(x 2 + 6x + 9) Nullstellen des quadratischen Deflationspolynoms: x 3,4 = 6 ± 6 2 4(1)(9) 2(1) = 6 ± 0 2 = 3 3 ist eine doppelte reelle Nullstelle und man findet die folgende Faktorisierung: p 4 (x) = 3x x 3 9x 2 54x = 3x(x 2)(x + 3) 2 (c) p 5 (x) = x 5 2x 4 29x x x 200 Polynomdivision durch den Linearfaktor (x 2): x = p 5 (x) = x 5 2x 4 29x x x 200 = (x 2)(x 4 29x ) Die Nullstellen des Deflationspolynoms erhält man durch das Lösen der biquadratischen Gleichung (u = x 2 ): u 1,2 = ( 29) ± ( 29) 2 4(1)(100) 2(1) = 29 ± = 29 ± 21 2 u 1 = 25 x 2,3 = ±5, u 2 = 4 x 4,5 = ±2 Die gesuchte Faktorisierung lautet somit: p 5 (x) = x 5 2x 4 29x 3 +58x x 200 = (x 2) 2 (x 5)(x+5)(x+2) Seite 4 / 12

5 4 Aufgabe Die folgenden Polynome besitzen nur ganzahlige Nullstellen Bestimme (mittels Satz von Vieta und dem Hornerschema) alle Nullstellen und gib die Produktedarstellung der Polynome an: (a) p 6 (x) = x 6 + 5x 5 15x 4 85x x x Kandidaten: C = {±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±8, ±9, ±10, ±12, ±15,, ±360} Erste Nullstelle mittels Hornerschema: x = x = x = x = x 1 = 2 ist eine erste Nullstelle! Faktorisierung: Neue Kandidaten: p 6 (x) = (x + 2)(x 5 + 3x 4 21x 3 43x x + 180) C = { 2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±9, ±10, ±12, ±15,, ±180} Zweite Nullstelle mittels Hornerschema: x = x 1 = 2 ist eine doppelte Nullstelle! Faktorisierung: Neue Kandidaten: p 6 (x) = (x + 2) 2 (x 4 + x 3 23x 2 + 3x + 90) C = { 2, ±3, ±5, ±6, ±9, ±10, ±12, ±15, ±18, ±20,, ±90} Dritte Nullstelle mittels Hornerschema: x = Seite 5 / 12

6 x 1 = 2 ist eine dreifache Nullstelle! Faktorisierung: Neue Kandidaten: p 6 (x) = (x + 2) 3 (x 3 x 2 21x + 45) C = {±3, ±5, ±9, ±15, ±45} Vierte Nullstelle mittels Hornerschema: x = x 2 = 3 ist eine einfache Nullstelle! Faktorisierung: p 6 (x) = (x + 2) 3 (x 3)(x 2 + 2x 15) (b) Neue Kandidaten: C = {±3, ±5, ±15} Fünfte (und sechste) Nullstelle mittels Hornerschema: x = x 2 = 3 ist eine doppelte Nullstelle und x 3 = 5 eine einfache Nullstelle! Faktorisierung: p 6 (x) = (x + 2) 3 (x 3) 2 (x + 5) p 5 (x) = x 5 + 4x 4 2x 3 8x 2 + x + 4 Kandidaten: C = {±1, ±2, ±4} Erste Nullstelle mittels Hornerschema: x = x 1 = 1 ist eine erste Nullstelle! Faktorisierung: p 5 (x) = (x 1)(x 4 + 5x 3 + 3x 2 5x 4) Kandidatenmenge bleibt gleich! Zweite Nullstelle mittels Hornerschema: x = x 1 = 1 ist eine doppelte Nullstelle! Faktorisierung: p 5 (x) = (x 1) 2 (x 3 + 6x 2 + 9x + 4) Seite 6 / 12

7 Kandidatenmenge bleibt gleich! Dritte Nullstelle mittels Hornerschema: x = x = x 2 = 1 ist eine Nullstelle! Faktorisierung: p 5 (x) = (x 1) 2 (x + 1)(x 2 + 5x + 4) = (x 1) 2 (x + 1) 2 (x + 4) (c) p 5 (x) = 4x x x x 2 432x Ausklammern: p 5 (x) = 4x 5 +68x x x 2 432x = 4x(x 4 +17x 3 +63x 2 +27x 108) Kandidaten: C = {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±27, ±36, ±54, ±108} Erste Nullstelle mittels Hornerschema: x = x 1 = 1 ist eine erste Nullstelle! Faktorisierung: p 5 (x) = 4x(x 1)(x x x + 108) Kandidaten bleiben gleich! Zweite Nullstelle mittels Hornerschema: x = x = x = x = x 2 = 3 ist eine weitere Nullstelle! Faktorisierung: p 5 (x) = 4x(x 1)(x + 3)(x x + 36) = 4x(x 1)(x + 3) 2 (x + 12) Seite 7 / 12

8 (d) p 3 (x) = x 3 + 3x 2 58x 240 Kandidaten: C = {±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±8, ±10, ±12,, ±240} Erste Nullstelle mittels Hornerschema: x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x 1 = 5 ist eine erste Nullstelle! Faktorisierung: p 3 (x) = (x + 5)(x 2 2x 48) = (x + 5)(x + 6)(x 8) (e) p 6 (x) = x x x x x 2 Ausklammern: p 6 (x) = x 2 (x x x x + 64) Kandidaten: C = {±1, ±2, ±4, ±8, ±16, ±32, ±64} Erste Nullstelle mittels Hornerschema: Seite 8 / 12

9 x = x = x = x = x 1 = 2 ist eine erste Nullstelle! Faktorisierung: Neue Kandidaten: p 6 (x) = x 2 (x + 2)(x x x + 32) C = {±2, ±4, ±8, ±16, ±32} Erste Nullstelle mittels Hornerschema: x = x 1 = 2 ist eine doppelte Nullstelle! Faktorisierung: p 6 (x) = x 2 (x + 2) 2 (x 2 + 8x + 16) = x 2 (x + 2) 2 (x + 4) 2 5 Aufgabe Das Polynom p 4 (z) = z 4 8z z 2 32z + 15 hat eine komplexe Nullstelle bei z = 2 i Bestimme die restlichen Nullstellen und gib eine Produktdarstellung (im reellen und im komplexen) an Da das Polynom reelle Koeffizienten besitzt, treten komplexe Nullstellen immer konjugiertkomplex auf: z 1,2 = 2 ± i Das Produkt der entsprechenden Linearfaktoren: (z z 1 ) (z z 2 ) = (z (2 + i)) (z (2 i)) = z 2 4z + 5 ist ein Teiler des ursprünglichen Polynoms Bilden wir die Polynomdivision: (z 4 8z 3 +24z 2 32z +15) : (z 2 4z + 5) = z 2 4z + 3 (z 4 4z 3 +5z 2 ) 4z 3 +19z 2 32z +15 ( 4z 3 +16z 2 20z) 3z 2 12z +15 (3z 2 12z +15) 0 Seite 9 / 12

10 Das Quotientenpolynom lässt sich einfach Faktorisieren (mit den weiteren reellen Nullstellen z 3 = 1 und z 4 = 3): Die Faktorisierung im Reellen: z 2 4z + 3 = (z 1)(z 3) p 4 (z) = z 4 8z z 2 32z + 15 = (z 1)(z 3)(z 2 4z + 5) Die Faktorisierung im Komplexen: p 4 (z) = z 4 8z z 2 32z + 15 = (z 1)(z 3) (z (2 + i)) (z (2 i)) 6 Aufgabe Führe die folgenden Polynomdivisionen aus: (a) ( x 4 + 3x ) : ( x 3 x + 1 ) =? (x 4 +3x 2 +1) : (x 3 x + 1) = x (x 4 x 2 +x) +4x 2 x +1 Die Division hat einen Rest ungleich Null Es gilt: ( x 4 + 3x ) : ( x 3 x + 1 ) = x4 + 3x x 3 x + 1 = x + 4x2 x + 1 x 3 x + 1 (b) ( x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 + x ) : ( x 4 2x 3 + x 2 2x + 1 ) =? (x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 +x) : (x 4 2x 3 + x 2 2x + 1) = x 2 + x (x 6 2x 5 +x 4 2x 3 +x 2 ) x 5 2x 4 +x 3 2x 2 +x (x 5 2x 4 +x 3 2x 2 +x) 0 Die Division hat keinen Rest Es gilt: x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 + x x 4 2x 3 + x 2 2x + 1 = x 2 + x Seite 10 / 12

11 7 Aufgabe Führe die folgenden Polynomdivisionen mittels Horner-Schema aus: (a) ( x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 + x ) : (x + 1) =? x = 1 im Hornerschema einsetzen: x = Die Division hat keinen Rest Es gilt: x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 + x x + 1 = x 5 2x 4 + x 3 2x 2 + x (b) ( x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 + x ) : (x 5) =? x = 5 im Hornerschema einsetzen: x = Die Division hat einen Rest ungleich Null Es gilt: x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 + x x 5 = x 5 + 4x x x x x 5 8 Aufgabe Entwickle das Polynom p (x) = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 in Potenzen von (x 2) bzw von (x + 2) Entwicklung in Potenzen von (x 2): x = = b x = = b x = = b x = = b 3 2 x = 2 1 = b 5 11 = b 4 Seite 11 / 12

12 Es ergibt sich: p (x) = x 5 +x 4 +x 3 +x 2 +x+1 = (x 2) 5 +11(x 2) 4 +49(x 2) (x 2) (x 2)+63 Entwicklung in Potenzen von (x + 2): x = = b x = = b x = = b x = = b 3 2 x = 2 1 = b 5 9 = b 4 Es ergibt sich: p (x) = x 5 +x 4 +x 3 +x 2 +x+1 = (x+2) 5 9(x+2) 4 +33(x+2) 3 61(x+2) 2 +57(x+2) 21 Seite 12 / 12