Lösung Serie 6 (Polynome)

Transkript

1 Fachhochschule Nordwestschweiz FHNW Hochschule für Techni Institut für Geistes- und Naturwissenschaft Dozent: Roger Burhardt Klasse: Studiengang ST Lösung Serie 6 Polynome Büro: 4.6 Semester: Modul: Algebra Datum: FS00. Aufgabe Zerlelege in Fatoren im Reellen und im Komplexen: a b p 6 z z 6 + Die omplexen Einheitswurzeln bestimmen: z z 6 e iπ+π z e i π+π 6 e i π 6 + π Fatordarstellung im Komplexen: p 6 z z z 0 z z z z z z z z 4 z z 5 z e i π 6 z e i z π z e i 5π 6 z e i 5π 6 e i π z e i π 6 z e i π 6 z e i π 6 z i z + i z e i 5π 6 z e i 5π 6 und im Reellen: z i z + i z e i 5π 6 z e i 5π 6 p 6 z z e i π 6 z e i π 6 z z e i π 6 + e i π 6 + z i z z e i 5π 6 + e i 5π 6 π z z z cos + + 5π z z cos z z z + + z z + p 5 z z 5 Die omplexen Einheitswurzeln bestimmen: Fatordarstellung im Komplexen: und im Reellen: z 5 0 z 5 e iπ z e i π 5 p 5 z z z 0 z z z z z z z z 4 z z e i π 5 z e i 4π 5 z e i π 5 z e i 4π 5 p 5 z z π z z z cos 5 z e i π 5 z e i 4π 5 z e i π 5 + z z cos + z e i 4π 5 4π + 5

2 Algebra Lösung Serie 6 Polynome FS 00. Aufgabe Zerlelege in Fatoren im Reellen und im Komplexen: a b Endliche geom. Reihe: p 7 z z 7 + z 6 + z 5 + z 4 + z + z + z p 7 z z+z +z +z 4 +z 5 +z 6 +z 7 z } + z + z + z {{ + z 4 + z 5 + z } 6 z z7 z z 7 z z7 z z z e i π 7 z e i π 7 z e i 4π 7 z e i 4π 7 z z z z z cos Endliche geom. Reihe: π + z z cos 7 4π 7 p 6 z z 6 z 5 + z 4 z + z z + z e i 6π 7 + z z cos p 6 z z + z z + z 4 z 5 + z 6 z7 z z7 + z + z + z e i π 7 z e i π 7 z e i π 7 z e i π 7 z e i 5π 7 z e i 6π 7 6π + 7 z e i 5π 7 z + z e i π 7 z e i π 7 z e i π 7 z e i π 7 z e i 5π 7 z e i 5π 7 π z z cos + π 5π z z cos + z z cos Aufgabe Entwicle mit der allgemeinen binom schen Formel: a x a 4? x 4 x a 4 x 4 a x 4 a x 4 a x a a 4 x4 4 x a +6x a 4 x a + a 4 Seite / 5

3 Algebra Lösung Serie 6 Polynome FS 00 b x + x 6? x + x x 6 x x 6 x 6 + 6x 4 + 5x x + 6x 4 + x 6 c z + i 0? 0 z + i x 0 i x 0 +0ix 9 45x 8 0ix 7 +0x 6 +5ix 5 0x 4 0ix +45x +0ix 4. Aufgabe Beweise: a n n n n!! n! n! n! n n! n! n!! b c n + n n 0 0 n n n + n n n + n n!! n! + n!! n! n!! n! + n!! n! Seite / 5

4 Algebra Lösung Serie 6 Polynome FS 00 n!! n! n + n!! n! n! + n n!! n! n n! + n! n! n n!n! n! n n!! n! n d Beweis mit vollständiger Indution: Veranerung mit n : n + + Indutionsschritt: Es gelte für n n + Es ist zu zeigen, dass die Behauptung für n + gilt: n+ +n + n + +n + n +! +n +! n +! n +! n n + n n + + n + + n + + n +! n! n + n + n! n + n + n! n +!!n! n + Wir haben hier gezeigt, dass die Summe der Binomialoeffizienten der ersten Spalte des Pascal schen Dreiecs bis und mit n-ter Zeile gleich dem Binomialoeffizienten ist, also: n + n + Seite 4 / 5

5 Algebra Lösung Serie 6 Polynome FS 00 Diese Tatsache ann auch verallgemeinert werden: n + p p + p 5. Aufgabe Bestimme vom ubischen Polynom p x 9x + 7x x + alle reellen Nullstellen mittels: a Lösungsformel von Cardano exat, Normalform: 9x + 7x x + 0 x x 9 x Substitution x u a a u 7 9 u 7 x x 9 x+ 9 u : u Ansatz u A + B: u u A + B 4 A A B + A B + B [ A + B ] u u u A + B A A + B [ AB Ecige Klammern Null setzen: A + B AB A + B AB System in quadratische Gleichung umwandeln B A 760 Disriminante: D A A A A : < B ] Da die Disriminante negativ ist Fall Casus irreducibilis liegen drei reelle Lösungen vor A und B werden omplex: A + i i cis Seite 5 / 5

6 Algebra Lösung Serie 6 Polynome FS B i i cis Eine erste reelle Lösung lautet somit: u A B cis cis cis + cis Rücsubstitution: cis cos 968 x u cis Analog für die beiden weiteren Lösungen Periodizität nach Satz von Moivre: u cis π + cis.8484 π cis cis cos x u u cis π + cis π cis cis cos x u 7 7 b dem Seantenverfahren und Seite 6 / 5

7 Algebra Lösung Serie 6 Polynome FS 00 Graph: Startwerte: x 0 0 und x Iterationsvorschrift: x Einige Schritte: x + x x x f x f x f x x x 9x + 7x x + 9x + 7x x + 9x + 7x x + x x 0 9x + 7x x + x x 9x + 7x x + 9x 0 + 7x 0 x x x 9x + 7x x + x x 9x + 7x x + 9x + 7x x z.b. mit Hilfe von Excel: x 4... Seite 7 / 5

8 Algebra Lösung Serie 6 Polynome FS 00 Die weiteren beiden Lösungen findet man durch das Anpassen der beiden Startwerte: Seite 8 / 5

9 Algebra Lösung Serie 6 Polynome FS 00 c dem Verfahren von Newton. Startwert: x 0 0 Iterationsvorschrift: Einige Schritte: x + x f x f x x 9x + 7x x + 7x + 4x x x 0 9x 0 + 7x 0 x 0 + 7x 0 + 4x x x 9x + 7x x + 7x + 4x z.b. mit Hilfe von Excel: x Aufgabe Bestimme von den nachfolgenden rationalen Funtionen die Partialbruchzerlegung: a f x x x x Ansatz: f x A x x x A x + B x + C x, B, C Seite 9 / 5

10 Algebra Lösung Serie 6 Polynome FS 00 b f x x x x x + x + x f x 7x 6x 5x + Umformen: Ansatz: f x 7x 6x 5x + 7x 6 x 5x f x A 7 x x 6 x 6 A x 7 x 6 6 x x + B x , B c f x 7 x f x x 6 x 6 x 4 4 x x + x 5 + x Umformen: Ansatz: f x x 4 x x + 4 x + + 9x 4x x + x g x 9x 4x 8 x + x A x + + B x + A 9 4 9, C C x 6, B 80 9 d f x x 4 x x + 4 x++ 9x x x + x x++ 9 x x + x f x 9x + 6x + 9x + x x + x + Seite 0 / 5

11 Algebra Lösung Serie 6 Polynome FS 00 Ansatz: f x 9x + 6x + 9x + x x + x + A x + B x + Cx + D x + x + 9x +6x +9x+ A x x + x + +B x + x + +Cx + D x Lineares Gleichungssystem Werte einsetzen: x 0 A + B + D e x 47 5B x A + B 4C + 4D x 67 0A + 0B + C + D A A B C 47 B C D 67 D f x 9x + 6x x + x x + x + 5 x + 5 x + x x + x + f x x5 + x Umformen: Ansatz: f x x5 + x + 4 x 5 + x 4 + 8x + 6 x + 8x 6x + x + 4 g x 8x 6x + x + 4 Ax + B x Cx + D x + 4 8x 6x + Ax + B x Cx + D Lineares Gleichungssystem Werte einsetzen: x 0 4B + D x 5A + 5B + C + D x 5 5A + 5B C + D x 95 6A + 8B + C + D A A B C 5 B C D 95 D Seite / 5

12 Algebra Lösung Serie 6 Polynome FS 00 f g x 8x 6x + x + 4 8x x x + x + 4 f x x5 + x + 4 x + 8x x x + x + 4 f x x + x x + x + Umformen: Ansatz: f x f x x + x x + x + x + x x + x x + x + x x + x x + x + x x + x x + x + A x + B x + + Cx + D x + x x+ A x + x + +B x x + +Cx + D x x + Lineares Gleichungssystem: f x x 0 A B D x 4A x 4B x 5A + 5B + 6C + D A A B C B C D D x + x x + x + x x + x x + x + 4 x + 4 x + + x + x Seite / 5

13 Algebra Lösung Serie 6 Polynome FS Aufgabe Sizziere die Graphen der rationalen Funtionen der vorigen Aufgabe. f x x x x : Nullstellen: N {} Polstellen: P {,, } alle einfach! asympt. Verhalten: y asym x Graph: f x 7x : 6x 5x+ Nullstellen: N { 7} einfach Polstellen: P {, } alle einfach! asympt. Verhalten: y asym x Graph: f x x 4 x+x : Nullstellen: N {0} vierfach Polstellen: P {, } bei einfach und bei doppelt asympt. Verhalten: y asym x Graph: Seite / 5

14 Algebra Lösung Serie 6 Polynome FS 00 f x 9x +6x +9x+ x x +x+ : Nullstellen: N {.694} einfach Polstellen: P {} doppelt asympt. Verhalten: y asym x Graph: f x x5 + x +4 : Nullstellen: N { } einfach Polstellen: P {} asympt. Verhalten: y asym x Graph: f x x + x x+ x + x x+ : x x+x + Seite 4 / 5

15 Algebra Lösung Serie 6 Polynome FS 00 Nullstellen: N {} Polstellen: P {, } einfach asympt. Verhalten: y asym x Graph: Seite 5 / 5