TEIL 1 (ohne Rechner)

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1 Fachhochschule Nordwestschweiz FHNW) Hochschule für Technik Institut für Geistes- und Naturwissenschaft Dozent: Roger Burkhardt Klasse: Studiengang ST Lösungen Test 2 Algebra Büro: 4.63 Semester: 2 Modul: Algebra Datum: FS200 Bemerkungen: Erlaubt sind alle Unterrichtsunterlagen Skript, Bücher und Formelsammlung). Im ersten Teil sind keine elektronische Hilfsmittel Taschenrechner, Computer) zugelassen. Im zweiten Teil kann der Taschenrechner und MATLAB verwendet werden. El. Lösungen MATLAB) können als PDF-Dateien abgegeben werden USB-Stick). Korrekte) Resultate ohne ersichtlichen Lösungsweg ergeben nicht die volle Punktzahl. Es können 32 Punkte erreicht werden. Für 30 Punkte ergibt es die Note 6 und für 8 Punkte die Note 4 lineare Skala). Zeit: 7 Minuten. VIEL ERFOLG!! TEIL ohne Rechner). Aufgabe 6 Punkte) Gegeben sei das Polynom p x) x + 3x 4 2x 3 47x x + 44 Bestimmen Sie mit Hilfe des Hornerschemas die ganzzahligen) Nullstellen des Polynoms und geben Sie die Produktdarstellung des Polynoms an. Kanditaten für ganzzahlige Nullstellen Satz von Vieta) C {±, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±2, ±6, ±24, ±36, ±48, ±72, ±44} Hornerschema: x x Nullstelle x 24 0 x x x x Nullstelle x x Nullstelle x x x 3 0 Nullstelle x 4 3 x 3 0 Nullstelle x 3

2 Faktorisierung: p x) x )) 3 x ) x 3)) x + ) 3 x ) x + 3) 2. Aufgabe 4 / 4 / 4 Punkte) Faktorisieren Sie im Reellen und im Komplexen: a) p x) 3x komplexe) Nullstellen bestimmen: Faktorisierung im Komplexen: 3x x cis π) x k 6 π 64cis 6 + 2kπ ) 6 z 0,3 2cis ± π ) 3 ± i 6 z,4 2cis ± π ) ±2i 2 z 2, 2cis ± π ) 3 ± i 6 p x) 3x x ) 3 i x ) 3 + i x 2i) x + 2i) x + ) 3 i x + )) 3 + i Faktorisierung im Reellen: p x) 3x x 2 2 x 3x + 4) ) x )) 3x + 4 b) Hinweis: x + i ist eine Nullstelle des Polynoms) p x) x + 4x 4 + 3x 3 + 4x x Wenn x + i eine Nullstelle des Polynoms mit reellen Koeffizienten) ist, so ist auch die konjugiert-komplexe Zahl x 2 i eine Nullstelle. Das Produkt der beiden Linearfaktoren x x ) x x 2 ) x + i) x + + i) x 2 + 2x + 26 ) ist somit ein Teiler des gegebenen Polynoms. Mittels Polynomdivision erhält man das Deflationspolynom: Seite 2 / 7

3 x +4x 4 +3x 3 +4x 2 +26x) : x 2 + 2x + 26) x 3 + 2x 2 + x x +2x 4 +26x 3 ) 2x 4 +x 3 +4x 2 +26x 2x 4 +4x 3 +2x 2 ) x 3 +2x 2 +26x x 3 +2x 2 +26x) 0 Nun gilt für die Faktorisierung im Reellen: p x) x + 4x 4 + 3x 3 + 4x x x 2 + 2x + 26 ) x 3 + 2x 2 + x ) x x 2 + 2x + 26 ) x 2 + 2x + ) x x 2 + 2x + 26 ) x + ) 2 Im Komplexen gilt: p x) x + 4x 4 + 3x 3 + 4x x x x 2 + 2x + 26 ) x + ) 2 x x + i) x + + i) x + ) 2 c) Hinweis: Verwenden Sie die Substitution x 2u) p x) x 4 2x 3 + 4x 2 8x + 6 Die vorgeschlagene Substitution führt auf: p x) x 4 2x 3 + 4x 2 8x + 6 p u) 6u 4 6u 3 + 6u 2 6u + 6 Es liegt eine endliche geometrische Reihe vor: p u) 6u 4 6u 3 + 6u 2 6u u 4 u 3 + u 2 u + ) 6 u u 6u u Die Nullstellen des Zählerpolynoms ermöglichen dessen Faktorisierung: ) 2kπ u 0 u u k cis 6 u ) 2π p u) 6 u u )) 2π )) 4π u Kürzen liefert die Faktorisierung im Komplexen: )) 2π 2π p u) 6 )) x 2π x 2π p x) 6 2 cis 2 cis )) )) x 2 cis )) 4π )) 4π )) )) 4π x 2 cis )) 4π )) 4π Seite 3 / 7

4 )) 2π 2π )) )) 4π )) 4π Die Produkte mit den konjugiert-komplexen Nullstellen ausmultipliziert liefert die Faktorisierung im Reellen: ) ) ) ) 2π 4π p x) x 2 4 cos x + 2 x 2 4 cos x Aufgabe 6 Punkte) Bestimmen Sie die Werte für die Parameter a und b, so dass die folgende Polynomdivision ohne Rest aufgeht: 2x x 3 + 3x 2 x + a ) : x 2 + b )? Polynomdivision: 2x x 3 +3x 2 x +a) : x 2 + b) 2x 3 + b)x + 3 2x +2bx 3 ) 2b)x 3 +3x 2 x +a 2b)x 3 b 2b 2 )x) 3x 2 + b + 2b 2 )x +a 3x 2 +3b) + b + 2b 2 )x a 3b) Der Rest der Polynomdivision lautet somit: R + b + 2b 2 )x + a 3b) Gesuchte Parameterwerte Koeffizienten müssen Null werden): 2b2 + b 0 a 3b 0 4. Aufgabe 4 / 4 Punkte) a 3 2, b 2 a 2 3, b 2 Teil 2 mit Rechner) a) Bestimmen Sie die Funktion der Ortskurve des Kreises mit Mittelpunkt M4, 3) und Radius r 2. Zeiger zum Kreismittelpunkt: z M 4 + 3i Seite 4 / 7

5 Normierter Zeiger: Durchmesserzeiger: z M,e z M z M 4 + 3i) 4 + i3 a z 2rz M,e 4 ) 4 + i3 6 + i2 Kreisgleichung mit dem gefundenen Durchmesser: 6 z a z + it + i 2 + it Punkt des gesuchten Kreises, welcher dem Ursprung am nächsten liegt: ) 4 z N z M r) z M,e 3 + i3 2 + i9 Gefundener Kreis durch den Ursprung verschieben: MATLAB: z 2 z + z N 6 + i 2 + it i9 % Loesung zu Aufgabe 4 / Test 2 FS200) % %Radius: r2 %Zeiger zum Mittelpunkt: z_m4+3*i %Normiert: z_m_e/absz_m)*z_m %Durchmesserzeiger: a_z2*r*z_m_e %Hilfskreis: syms t z_a_z/+i*t) %Naechster Punkt: z_nabsz_m)-r)*z_m_e %Entferntester Punkt: z_wabsz_m)+r)*z_m_e %gesuchter Kreis: z_2z_+z_n %Skizze: ortskurvez_2, t,[-,],[-,-3,-,0,,3,],0,0) hold on compass[z_n,z_w,z_m]) Skizze: Seite / 7

6 b) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung des invertierten Kreises ergibt wieder einen Kreis). Geben Sie Mittelpunkt und Radius des invertierten Kreises an. Entferntester Punkt des ursprünglichen Kreises: ) 4 z W z M + r) z M,e 7 + i3 Nächster Punkt des invertierten Kreises: w N z W 28 + i 2 28 i 2 49 Entferntester Punkt des invertierten Kreises: w W z N 2 + i 9 2 i i2 4 3 i i 3 Mittelpunkt des invertierten Kreises: w M 2 w N + w W ) [ 4 2 i 3 ) i 3 )] 3 [ i 2 ) i 9 )] i i M w 2, 3 ) 2 Durchmesserzeiger des invertierten Kreises: 4 a w w W w N i 3 ) 28 0 i 2 ) i 9 ) i 3 ) i 2 0 Seite 6 / 7

7 Durchmesser und Radius: Invertierter Kreis: d w a w 4 0 r w d w w k a w + it + w N 6 i it i 3 3 MATLAB: %Inversion: % %Naechster Punkt: w_n/z_w %Entferntester Punkt: w_w/z_n %Mittelpunkt: w_m/2*w_n+w_w) %Durchmesserzeiger: a_ww_w-w_n %Durchmesser: d_wabsa_w) %Radius: r_wd_w/2 %gesuchter Kreis: w_inva_w/+i*t)+w_n %Skizze: hold off ortskurvew_inv, t,[-,],[-,-3,-,0,,3,],0,0) hold on compass[w_n,w_w,w_m]) Skizze: Seite 7 / 7