Komplexe Zahlen und Funktionen

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Cathrin Sylvia Kerner
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1 Komplexe Zahlen und Funktionen 1. komplexes Gleichungssystem z 1 iz 2 = i 2 z 2 + 3z 3 = 6 6i 2iz 1 3iz 3 = 1 8i 2. komplexe Gleichung Welche z C erfüllen die Gleichung 4z 2 4 z + 1 = 0? 3. konjugiert-komplexe Zahlen Für welche Zahlen z C gilt: z 1 = z 4. Komplexe Gleichungen Welche z C erfüllen die folgenden Gleichungen? (a) z = 2z i 2z 2i (b) z 4 iz = 0 (c) z = i i z 5. nochmals komplexe Gleichungen Welche z C erfüllen die folgenden Gleichungen? (a) 4z 2 4 z + 1 = 0 (b) z i z+i = 1 6. Untersuchung der Lösungsmenge Gegeben ist die quadratische Gleichnung az 2 + 2z + a = 0. Für welche Werte von a ist die Gleichung lösbar, wenn folgende Bedingungen gelten sollen. Gib jeweils die entsprechenden Lösungen an. (a) a IN und die Lösungsmenge ist Teilmenge von IN (b) a ZZ und die Lösungsmenge ist Teilmenge von ZZ (c) a IR und die Lösungsmenge ist Teilmenge von IR (d) a IR und die Lösungsmenge ist Teilmenge von C 7. Gerade und Kreis abbilden Gegeben ist die komplexe Funktion w = f(z) = (4 + 2i)z sowie die Gerade g : y = x und der Kreis k : z + 1 = 1 2 in der Gauss schen Ebene. (a) Bestimme die Bilder g und k die bei der Abbildung der Gerade g resp. des Kreises k mit der Funktion f(z) entstehen. (b) Beweise: Die Gerade g berührt den Kreis k und g berührt k. 8. abgebildetes Dreieck Gegeben sind die drei Eckpunke eines Bilddreiecks A (2), B (5+2i) und C (1+2i). Das Dreieck wurde mit der Funktion w = f(x) = 1 2iz 7 + 9i abgebildet. (a) Wie lauten die Originalpunkte A, B und C? (b) Welchen Flächeninhalt hat das Bilddreieck A B C?(Tipp: Skizze!) (c) Wie kann auf einfache Weise aus dem Flächeninhalt des Bilddreiecks und der Funktionsgleichung der Flächeninhalt des Originaldreiecks berechnet werden? Begründe und führe es konkret aus.

2 9. Schnittmenge Gegeben ist der Kreis K: z 2 2i = 5 und die Funktion w = f(z) = i(z + i) i. Der Kreis K werde mit der Funktion f(z) abgebildet. (a) Wie lautet die Kreisgleichung des abgebildeten Kreises K? (b) K und K schneiden sich. Wie gross ist die gemeinsame Fläche? 10. Drehzentrum gesucht Von einer Drehung kennt man den Originalpunkt P(-3+3i) und den zugehörige Bildpunkt P ( 3+ 3i). Wo liegt das Drehzentrum, wenn der Drehwinkel ϕ = 120 beträgt? 11. abbilden! Gegeben ist die ganz-lineare Funktion w = f(z) = ( 1 i)z 2 2i. (a) Gesucht ist der Fixpunkte von f(z). (b) Wie lautet die Gleichung des Bildes des Kreises z 1 = 2? (c) Welche Gerade wird auf die imaginäre Achse abgebildet? 12. Halbmond Von einer halbkreisförmigen Figur ( Halbmond ) weiss man, dass sein (Kreis-)Mittelpunkt im Punkt M(4+2i) ist,... seine gerade Seite parallel zur reellen Achse liegt und... sein Flächeninhalt 3π beträgt. (a) Wie lauten die Gleichungen des Kreises und der Gerade, welche den Halbkreis begrenzen? (b) Mit welcher ganz-linearen Funktion mit Drehzentrum Z 0 (1 i) wird der Halbkreismittelpunkt in den Ursprung abgebildet? Wie gross wird der Radius? 13. Drehstreckung Die komplexe Funktion f(z) = (5 12i) z 8i stellt als Abbildung eine Drehstreckung dar. Vom Punkt P weiss man, dass er auf den Punkt P (-3) abgebildet wird. Bestimme das Drehzentrum (=Fixpunkt der Abbildung!), den Streckungsfaktor sowie den Punkt P. 14. Quadrat Gegeben ist die komplexe Funktion f(z) = i i mit z 0. Die Eckpunkte A(1 + i); B( 1 + z i); C( 1 i); D(1 i) eines Quadrates werden mit f(z) abgebildet. Die Bildpunkte A ; B ; C ; D anschliessend wieder miteinander verbunden. Welche Art Figur entsteht? Wieviel Prozent der ursprünglichen Quadratfläche misst die Bildfläche? 15. Komplexe Abbildung Gegeben ist die komplexe Funktion w = u + iv = f(z) = z 2 + iz i. (a) Bestimme die Fixpunkte von f(z) (b) Die reelle Achse soll mit f(z) abgebildet werden. Welche Beziehung gilt zwischen den Koeffizienten u und v. Wie sieht das Bild aus? 16. Abbilden eines Kreises Der Kreis K : z + 7 i = 1 soll mit der Funktion f(z) = ( 3 i)z 15 8i abgebildet werden. Wie lautet die Gleichung des Bildkreises? 17. Komplexe Gleichungen Bestimme alle Lösungen der komplexen Gleichungen: (a) iz i = iz 2 2z 2 (b) (1 + i) z + (1 i) z = 1 2 (Achtung: Interpretiere das Resultat!)

3 18. Abbilden von Geraden Im Abstand 2 werden Parallelen zur imaginären Achse gezogen. Diese beiden Geraden werden mit der Funktion f(z) = iz + 2 i abgebildet. Wie lauten die Gleichungen der Bildgeraden? Welchen Abstand haben sie voneinander? 19. Gerade und Kreis abbilden Gegeben ist die komplexe Funktion w = f(z) = (4 + 2i)z sowie die Gerade g : y = x und der Kreis k : z + 1 = 1 2 in der Gauss schen Ebene. (a) Bestimme die Bilder g und k die bei der Abbildung der Gerade g resp. des Kreises k mit der Funktion f(z) entstehen. (b) Beweise: Die Gerade g berührt den Kreis k und g berührt k.

4 Lösung zu: Komplexe Zahlen und Funktionen 1. komplexes Gleichungssystem z 1 = 1 + i z 2 = 3i z 3 = 2 i 2. komplexe Gleichung z 1,2 = 1 2 ± i Zuerst z = x + yi und z = x yi ersetzen. Imaginärteil-Vergleich gelöst werden. Anschliessen kann die Gleichung durch Real- resp. 3. konjugiert-komplexe Zahlen z 1,2 = ±i In der Gleichung z durch x+yi ersetzten und anschliessend durch Vergleich der Real- resp. Imaginärteile lösen. 4. Komplexe Gleichungen (a) i (b) z 1 = 1 + i z 2 = i (c) z 1 = i z 2 = i 5. nochmals komplexe Gleichungen (a) 1 2 ± i (b) z = a + i mit a beliebig IR 6. Untersuchung der Lösungsmenge (a) nicht lösbar (b) a = 1 und z = 1 oder a = 1 und z = 1 (c) 1 a 1 mit den Lösungen z 1,2 = 2± 4 4a 2 2a (d) beliebiges a IR mit den Lösungen z 1,2 = 2± 4 4a 2 2a 7. Gerade und Kreis abbilden (a) g : v = 3u; k : w + (4 + 2i) = 10 Die Kreisabbildung erhält man am einfachsten, wenn man zuerst den Mittelpunkt mit der gegebenen Funktion abbildet und anschliessend den Radius mit dem Streckungsverhältnis berechnet. Dies funktioniert, weil es sich bei der (linear komplexen) Abbildung um eine Ähnlichkeitsabbildung handelt. (b) Der Beweis wird am einfachsten mit der Hess schen Normalform geführt. 8. abgebildetes Dreieck (a) A(18+18i); B(14+24i); C(14+16i) (b) A = 4 Die eine Seite des Dreiecks liegt parallel zur x-ache, daraus lassen sich Grundlinie und Höhe bestimmen.

5 (c) A = 16 Der Streckungsfaktor der Umkehrfunkion ist 2, somit ändert sich die Fläche mit Faktor Schnittmenge (a) w (3 3i) = 5 Es handelt sich bei der Abbildung um eine Drehung, daher r=r =5 (b) A Da Original- und Bildkreis gleich gross sind kann mit dem Satz von Pythagoras und Trigonometrie der Zentriwinkel berechnet werden. Damit lässt sich dann die Schnittmenge berechnen. 10. Drehzentrum gesucht Z(i-1) 11. abbilden! (a) z = i (b) w i = 2 2 (c) y=x Halbmond (a) k: z 4 2i = 6 und g: y = 2 (b) w = 1 3 iz i; r = Drehstreckung Drehzentrum D( i); Streckungsfaktor 13; P ( i) Um P zu bestimmen soll zuerst die Umkehrfunktion ermittelt werden. 14. Quadrat A ( i) ; B ( i) ; C ( i) ; D ( i) Es entsteht wieder ein Quadrat. Seine Fläche ist 25% der ursprünglichen Quadratfläche. 15. Komplexe Abbildung (a) z 1 = i und z 2 = 1 sind die Fixpunkte. (b) Es gilt u = (v + 1) 2 Durch Einsetzen von z = x+vi, sowie y = 0 (reelle Achse) lassen sich für u und v zwei Gleichungen in x herleiten, aus denen dann x eliminiert werden kann. 16. Abbilden eines Kreises K : w ( 7 + 4i) = 10 Da die lineare komplexe Abbildung eine Ähnlichkeitsabbildung ist kann zuerst der Mittelpunkt abgebildet werden. Anschliessend das Streckungsverhältnis bestimmen und damit die Länge von r berechnen. 17. Komplexe Gleichungen (a) z 1 = 3 i; z 2 = 3 + i; z 3 = i; z 4 = i Die Gleichung kann durch Substitution gelöst werden. Stichwort biquadratische Gleichung. (b) Alle Punkte der Gerade y = x 1 4 erfüllen die Gleichung. Zum Lösen ist z = x + yi und z = x yi zu setzen.

6 18. Abbilden von Geraden g 1 : v = 3 und g 2 : v = 1. Der Abstand der Geraden ist 4. Aus der Abbildungsgleichung kann zuerst die Umkehrfunktion bestimmt werden. Es ergeben sich für x und y je eine Gleichung in u und v. Die Geraden x = 2 und x = 2 in der x-gleichung eingesetzt ergibt die Lösungen. 19. Gerade und Kreis abbilden (a) g : v = 3u; k : w + (4 + 2i) = 10 Die Kreisabbildung erhält man am einfachsten, wenn man zuerst den Mittelpunkt mit der gegebenen Funktion abbildet und anschliessend den Radius mit dem Streckungsverhältnis berechnet. Dies funktioniert, weil es sich bei der (linear komplexen) Abbildung um eine Ähnlichkeitsabbildung handelt. (b) Der Beweis wird am einfachsten mit der Hess schen Normalform geführt.

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