Anwendungen der Mathematik

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1 Gymnasium Muttenz Maturitätsprüfung 2012 Anwendungen der Mathematik (Profil A ) Kandidatin / Kandidat Name Vorname:... Klasse 4A Hinweise - Die Prüfung dauert 4 Stunden. - Es können maximal 48 Punkte erreicht werden. - Alle Aufgaben werden bewertet. - Erlaubte Hilfsmittel:1. Teil (Aufgaben 1 bis 3): TI-Nspire Formelsammlung Kantonsschule Zelgli 2. Teil (Aufgaben 4 und 5): Nur Formelsammlung Kantonsschule Zelgli - Vorgehen: Im 1. Teil lösen Sie die Aufgaben 1 bis 3 mit Hilfe des TI-Nspire. Nach Abgabe des TI-Nspire erhalten Sie die Aufgaben 4 und 5, welche ohne Rechner gelöst werden müssen. - Der Lösungsweg muss bei allen Aufgaben ersichtlich und vollständig sein. Der Einsatz des TI-Nspire ist klar anzugeben. Klasse Examinator Experte 4A Bewertung (Details siehe Lösungen) Aufgabe Punkte (möglich) Punkte (erreicht) Punktesumme Benotung " Note = $ Punktesumme! 5 + 1', gerundet auf halbe Noten 40 # % &

2 1. Teil (mit TI-Nspire) Aufgabe 1 10 Punkte Die folgenden Teilaufgaben sind unabhängig voneinander: 1.1. Zinseszins- und Rentenrechnung Herr Huber hatte zu Beginn des Jahres 2001 Fr auf seinem Sparkonto. Er hob Ende 2005 Fr von seinem Sparkonto ab. Zu Beginn des Jahres 2007 wurde der Zinssatz um 0.5% erhöht. Zu wie vielen Prozenten war das Kapital ursprünglich verzinst, wenn er Ende 2011 Fr abheben konnte? Herr Meier zahlte 10-mal zu Beginn jedes Jahres Fr ein. Nach der letzten Einzahlung liess er das Geld fünf Jahre auf seinem Konto liegen um vom Beginn des 15. Jahres an 15-mal eine vorschüssige Rente R zu beziehen. Berechnen Sie die Rente R. Es wird während der gesamten Zeit mit dem konstanten Zinssatz p = 2.25% gerechnet Gegeben: Fläche F: z = f(x, y) = x 2 2y 2! 6x! 4y + 7 " 14% " 8% Gerade g:! r = $ 6 ' $ ' + t ( $ 5' $ ' # 5& # 6 & Zeichnen Sie die Niveaulinie der Fläche F für z = 4. (1 P.) Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von g und der Fläche F sowie den Schnittwinkel in einem der Schnittpunkte Berechnen Sie die Gleichung der Tangentialebene, welche zur Ebene Φ: 4x 2z + 5 = 0 parallel ist Das Wachstum einer Fichte wird durch eine Funktion h(t) beschrieben, welche der Differenzialgleichung h'(t) = ! h(t)!(30 " h(t)) mit der Bedingung h(0)=0.58m genügt. Dabei ist h(t) die Höhe der Fichte in Metern und t Jahre nach Beobachtungsbeginn Berechnen Sie die Funktionsgleichung h(t). (1 P.) Welche Höhe kann die Fichte höchstens erreichen? (0.5 P.) Nach wie vielen Jahren hat die Fichte eine Höhe von 20 m erreicht? (0.5 P)

3 Aufgabe 2 10 Punkte Gegeben: Gleichung der Parabel K 1 : y = 1 4 x x 2.1. Berechnen Sie den Radius und die Koordinaten des Mittelpunktes des Krümmungskreises im Scheitelpunkt der Parabel Der Punkt P wandert mit wachsendem x auf der Parabel und schiebt eine Tangentenstrecke der Länge 3 [LE] vor sich her. Berechnen Sie die Parameterdarstellung der Kurve K 2, auf welcher sich der Endpunkt dieser Tangentenstrecke bewegt Berechnen Sie von K 2 die Koordinaten des Punktes mit horizontaler Tangente sowie die Koordinaten der Schnittpunkte mit der x-achse Zeichnen Sie die Parabel K 1 und die Kurve K 2 in dasselbe Koordinatensystem (Einheiten auf beiden Achsen: 2 Häuschen) 2.5. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche zwischen den Kurven K 1 und K 2 im ersten und zweiten Quadranten. (1 P.) 2.6. Berechnen Sie die Länge der Kurve K 2 im ersten Quadranten.

4 Aufgabe 3 10 Punkte Eine Abbildung α u bildet den Punkt P( 2 0) auf sich selbst, Q(3 3) auf Q'(0 6) und R(1 5) auf R'(4 u) ab Berechnen Sie die Abbildungsgleichungen in Abhängigkeit von u Für welches u ist die Abbildung α u keine affine Abbildung? (1 P.) Für die folgenden Teilaufgaben setzen wir u = 2 und erhalten die Abbildungsgleichungen! 2 : # % $ % &% x 1 ' x 2 ' = 1 2 " x " x 2 3 = 3 2 " x " x Zeigen Sie, dass es sich bei der Abbildung α 2 um eine perspektive Affinität handelt und bestimmen Sie die Koordinatengleichung der Affinitätsachse und die Affinitätsrichtung Der Punkt L(3 1) wird mit Hilfe der perspektiven Affinität α 2 abgebildet. Berechnen Sie die Koordinaten des Bildpunktes L'. (0.5 P.) 3.5. Die Parabel mit der Gleichung y = x 2 5x wird mit Hilfe der perspektiven Affinität α 2 abgebildet. Berechnen Sie eine Parameterdarstellung der Bildkurve Bilden Sie nur zeichnerisch den Punkt M(2 1) mit Hilfe der perspektiven Affinität α 2 und dem Punkt Q und dem Bildpunkt Q' ab Die Ursprungsgerade g mit der Steigung m wird mit Hilfe der pespektiven Affinität α 2 auf die Bildgerade g' abgebildet. Berechnen Sie m so, dass g und g' senkrecht aufeinander stehen. (1.5 P) (1 P.) (2.5 P.)

5 Gymnasium Muttenz Maturitätsprüfung 2012 Anwendungen der Mathematik (Profil A ) Kandidatin / Kandidat Name Vorname:... Klasse 4A 2. Teil (ohne Taschenrechner) Aufgabe 4 9 Punkte! 3 1 4$! 5 2 $ 4.1. Gegeben sind die Matrizen A = # 2 1 2& # & und B = # 3 1& # & " 1 1 2% " 3 6 % Berechnen Sie die Inverse der Matrix A Lösen Sie die Matrixgleichung A! X = B nach X auf. (1 P.) 4.2. Berechnen Sie die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung x! y'" 2y = x! ln(x) x > 0 (4 P.) 4.3. Die Strasse S 1 führt für x 2 entlang der Geraden g: y = 1 2 x 3 und die Strasse S 2 für x 4 entlang der Parabel mit der Gleichung y = 1 8!(x " 2)2 1. Der Unterbruch zwischen A( 2 2) und B(4 0.5) soll durch eine neue Strasse verbunden werden. Dabei soll die neue Strasse dem Graphen einer ganzrationalen Funktion mit dem kleinsten Grad folgen, so dass in den Übergangspunkten A und B die bestehenden Strassen und die Verbindungsstrasse jeweils in den Steigungen und in den Krümmungen übereinstimmen. Formulieren Sie die Gleichung der ganzrationalen Funktion und das Gleichungssystem, welche alle Bedingungen erfüllt. Das Gleichungssystem muss nicht gelöst werden. y S 2 x S 1

6 Aufgabe 5 9 Punkte 5.1. Gegeben: Polardarstellung der Spirale! " r (!) = 4! mit! #(0;8$] Die Spirale hat eine Asymptote. Weisen Sie dies rechnerisch nach und geben Sie die Gleichung dieser Asymptote an Berechnen Sie die Gleichung der Tangente im ersten Schnittpunkt mit der positiven x-achse Von einer senkrechten Kreiszylinderfläche kennt man den Grundkreismittelpunkt M(1 2 1), den Radius r = 3, sowie den " 2% Richtungsvektor der Höhe! a = $ 1' $ '. # 2& Die Höhe h misst 9 [LE]. Formulieren Sie eine Parameterdarstellung dieser Kreiszylinderfläche. (3 P.) 5.3. Gegeben ist der Kreis K mit dem Mittelpunkt M(0 0) und dem Radius r. Auf der Tangente in einem beliebigen Punkt P des Kreises wird von P aus die y P (2.5 P) Kreisbogenlänge FP! "nach hinten" abgetragen bis zum Punkt Q. Ausgehend von F soll P dabei genau einen Umlauf auf der Kreislinie im Gegenuhrzeigersinn zurücklegen. Leiten Sie die Parameterdarstellung der Kurve K her, auf welcher sich der Punkt Q bewegt. M r t F Q x