BERUFSAKADEMIE S T U T T G A R T University of Cooperative Education. Höhere Mathematik II. Übungen. Komplexe Zahlen. i e π + 1=

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1 BERUFSAKADEMIE S T U T T G A R T University of Cooperative Education Höhere Mathematik II Übungen Komplexe Zahlen i e π + 0 8

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3 R. Mohr FK Blatt Komplexe Zahlen I WS 004/ Aufgabe : Gegeben sind die komplexen Zahlen z + j; z + 4j. a) Skizzieren Sie in der Gaußschen Ebene z,z,z; z + z,z z z + z b) Überprüfen Sie die Ergebnisse aus a) rechnerisch. z j; z + z + j; z z 4 j; c) Berechnen Sie z, z, z, arg z, arg z, arg z. z + ; z ; z z tan(arg z ) arg z π 4 (o ) tan(arg z ) 4 arg z (. o ) arg z arg z z z z z z Aufgabe : Bestimmen Sie al- und aginärteil folgender komplexer Zahlen. Wie groß sind jeweils Betrag und Argument? a) + 7j j b) + j j c) 7 + j; ; tan ϕ 7 ( + j)( + j) ( j)( + j) j j;... ; ϕ π j + j + j j 4 8j ;... ( j)( j) ( + j)( j) ; tanϕ 8 4 ( + j)( + j) j ( j)( + j) d) e jπ/4 ( + j) ( j) ( + j)( + j) ( + j)( + j) ;... tanϕ ϕ ( o ) ϕ (.94.. o ) + j ϕ.07.. ( o ) 4 + e) e j0 (cos 0 o + j sin 0 o ) + j;... + ϕ π (0o ) f) e jπ/6 (cos π 6 + j sin π 6 ) ( + j);... + tanϕ π 6 0 ; g) e jπ/ (cos π + j sin π ) j;... ; ϕ π h) 7e jπ 7;... 7; ϕ π (80 o )

4 i) j + j ( e jπ/ j)... ( 4 ) 0 + ( 4 ) 00 0 tan ϕ 4 4 ( 4 )( + 4 ) ( 4 )( + 4 ) ϕ ( o ) (cos π + j sin π ) 4 + ( 4 )j Aufgabe : Wie heissen die folgenden komplexen Zahlen in Exponentialform a) j e j π 4 b) + j e j π 4 c) + 4j e jϕ tan ϕ 4 ϕ (... o ) d) 4j e jϕ tan ϕ 4 ϕ (... o ) e) j e j π f) e jπ g) j e jϕ tan ϕ ϕ ( ) Aufgabe 4: Es sei z x + jy und z die zu z konjugiert komplexe Zahl. Bestimmen Sie a) a z z b) b (z ) z (x + jy) x y + xyj x y + xyj x 4 + x y + y 4 {...} x y (x + y ) x y xyj (x + y ) x y xyj (x y ) + 4x y z r e j( ϕ) r [cos( ϕ) + j sin( ϕ)] r [cos(ϕ) j sin(ϕ)] {...} r cos(ϕ) c) c (z ) (z ) (x jy) x x yj xy + y j {...} y x y d) d [(z ) ] (z ) [(x + jy) ] [x + x yj xy y j] x x yj xy + y j {...} y x y Punktrechnung und Übergang zur konjugiert komplexen Zahl ist in der ihenfolge vertauschbar!

5 Aufgabe : Berechnen Sie [ ] + 4j 0 a) + 4j 9 + 6e jϕ tan ϕ 4 ϕ [ ] + 4j 0 0 e j0ϕ cos(0ϕ) + sin(0ϕ) j b) (j + + j )6 j + + j (j + + j )6 c) [ ] ( + j) e j π 9 6 j( + j) + + j + j j j( j) ( + j)( j) + j e j π 4 [ ] 6 e j π 4 8 ej π j 8 ( + j) e j π 6 e j π 4 e j π 6 e j π [ ] ( + j) e j π 9 [ ] 9 6 e j π 4 6 [cos( π) + 4 sin(π )] 6( + j) 4 Aufgabe 6: Bestimmen Sie die reellen Werte A und ϕ aus der Gleichung 4e jϕ A [ ] + j j Übergang zu Beträgen: [ 4e jϕ + j A j] ] [ + j 4 A j [ ] 4 A Bestimmung des Winkels: e jϕ [...] [...] + j j [...] j ϕ π ( + j)( + j) ( j)( + j) + j 4 A A Aufgabe 7: Berechnen Sie alle (reellen und komplexen) Lösungen der Gleichungen a) z j z e j π e j( π +k π 6 ) ; k 0,, z ( + j) z z z ( + j) z j z

6 b) z + j z e j π e j π +kπ ; k 0, z 0 [cos( π ) + j sin(π )] z ( + ) z z 0 z c) z 4 0 z 4 ej0 4 kπ ej kπ ej ; k 0,,,, 4 z z z z 4 z 0 d) z j 0 z 4 + j e j π 4 e j( π 4 +π ) ; k 0,, z z 0 z e) z 4 + ejπ + e jπ 0 z + e jπ 4 + e jπ 4 + j j 4 e j π 4 j e j( π 8 +k π ) ; k 0,,, f) z jz + 0 z z z z 0 z, j ± ( j) j ± 4 j ± j 4

7 Aufgabe 8: In welchen Quadranten der komplexen Ebene besitzt die Gleichung z + j 0 keine Lösung? z 0 z + j z e j π 4 6 e j( π 4 +kπ ) ; k 0,, z Aufgabe 9: Zeigen Sie, daß z +j eine Lösung der Gleichung z 4 z +z +z 4 0 ist und geben Sie die restlichen Nullstellen an. (+j) 4 (+j) +(+j) +(+j) 4 4 ( +j)+ (j)+(+j) 4 0 Mit z + j ist auch z z j Nullstelle und damit [z ( + j)] [z ( j)] z z + als Faktor enthalten: (z 4 z + z + z 4) : (z z + ) z z z,4 ± + 8 z ; z 4

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9 R. Mohr FK Blatt Komplexe Zahlen II WS 004/ Aufgabe : Von einem Polynom.Grades mit reellen Koeffizienten p (z) z + a 4 z 4 + a z + a z + a z + a 0 sind folgende Nullstellen bekannt: z, z + j, z j Bestimmen Sie die restlichen Nullstellen sowie die Koeffizienten a k des Polynoms. Mit z + j und z j sind auch z 4 z j sowie z z j Nullstellen des Polynoms. p (z) (z ) [(z j)(z + j)] [(z j)(z + j)] (z ) [z z + 4] [z + ] (z z 4 + 7z 7z + 6z 4) z 6z 4 + 4z 4z + z 8 Aufgabe : Welche Punkte der komplexen Zahlenebene erfüllen folgende Bedingungen. a) z z 0 < ; z 0 + j b) z j < Inneres des Kreises um ( ) mit Radius Kreisring um ( ) mit Innenradius und Außenradius (Der innere Kreis gehört zum Gebiet, der Äußere nicht) c) z j z+j z j z + j z j z + j x + (y ) x + (y + ) y 0 reelle Achse

10 d) z (z) x + y y x + y + y ( ) x + (y + ) 0. Kreis um (0 ) und Radius e) z (z) (x + y ) x y x x y ± x x f) z z + 6j x yj x + yj + 6j y... Parallele zur reellen Achse Aufgabe : Bestimmen Sie durch komplexe Zeigeraddition folgende harmonische Schwingungen mit cos als Grundfunktion. Wie lauten die entsprechenden Darstellungen mit Sinus als Grundfunktion? Skizzieren Sie die Schwingungen; wo liegen Nullstellen, Extrema und Wendepunkte? a) cos ( x ) π 4 cos x cos ( x ) ( π 4 + cos x + π) e j( x π 4) + e j( x +π) e j x (e j π 4 + e jπ) mit tan ϕ ϕ.88.. e j x ( j ) e jϕ e j x }{{} cos ( x ) π 4 cos x cos ( x + ϕ) sin( x + ϕ + π ) }{{} b) cos x + 4 sin x cos x + 4 cos(x π )

11 e jx + 4e j(x π ) e jx (e ) j0 + 4e j π e jx ( 4j) e jx 9 + 6e jϕ mit tan ϕ 4 ϕ cos x + 4 sin x cos(x + ϕ) sin(x + ϕ + π }{{ ) } c) cos ( π x + ( π 4) sin π x ) ( π 6 cos π x + ) ( π 4 + cos π x π ) e j( π x+ π 4 ) + e j( π x π ) e j π x (e ) j π 4 + e j π e π x ( + j + j) + 6e jϕ e j π x mit tan ϕ + ϕ cos ( π x + ( π 4) sin π x ) ( π cos π x + ϕ) + 6 sin( π x + ϕ + π ) }{{ } Skizzen b) c) a) Aufgabe 4: Gegeben sind die beiden harmonischen Schwingungen f (t) cos ( ωt + 4) π ;f (t) a sin ( ) ωt + π 6 Wie muß die Amplitude a der Schwingung f gewählt werden, damit sich bei der Überlagerung f(t) f (t) + f (t) eine reine Cosinus-Schwingung ergibt (Phasenwinkel 0)? Welche Amplitude hat dann f(t)?

12 f (t) a cos ( ) ωt π Komplexe Erweiterung: f (t) + f (t) e j(ωt+ π 4 ) + ae j(ωt π ) e j(ωt (e j π 4 + ae j π ) e jωt ( + j + a a j) Phasenwinkel 0 ( f(t) + ) }{{}... a e jωt 0 a Aufgabe : Diskutieren Sie die Ortskurven a) z(t) t + j(t ( ) ) ( ) b) z(t) + j + cos t + j sin t x t z(t) + j + e Gerade x jt y t Kreis um z 0 + j mit Radius r c) z(t) j+ jt w j + jt interpretierbar als: w f(z) j + z wegen kreisverwandtschaft geht Gerade in Kreis über; t 0 wir bestimmen Punkte: w 0 + j dies ist Kreis um Mittelpunkt w 0 + j 4 und Radius r 4 Kreisgleichung(w u + jv): (u ) + (v 4 ) 6 direkte Parameterdarstellung: w u + jv j + jt (j + ) ( + jt) 4 + t u 4 t 4 + t ; v + t 4 + t erfüllt Kreisgleichung!! mit z jt (imaginäre Achse) 4 t + ( + t)j 4 + t d) z(t) jt jt w jt jt interpretierbar als: w f(z) jt z mit z jt (imaginäre Achse) wegen Kreisverwandtschaft geht Gerade in Kreis über; wir bestimmen Punkte: t 0 w + j 0 dies ist Kreis um Mittelpunkt w 0 und Radius r Kreisgleichung(w u + jv): (u + ) + v 4 direkte Parameterdarstellung: w u + jv jt (jt) ( + jt) jt 4 + t t + +tj 4 + t u t 4 + t ; v t 4 + t erfüllt Kreisgleichung!! 4

13 Skizzen + j + j Aufgabe 6: Gegeben ist die Abbildung w z a) Bestimmen Sie die Bilder folgender Kurven bzw. Gebiete wegen Kreisverwandtschaft geht Gerade in Kreis über; wir bestimmen Punkte: a ) Einheitskreis z j w j Parallele zur imaginären Achse durch w a ) reelle Achse z 0 w reelle Achse a ) imaginäre Achse z j j 0 w j + j 0 + j Kreis um w mit Radius j a 4 ) Halbebene (z) < 0 Grenze geht in den oben bestimmten Kreis über! z geht in den Punkt w über. Damit geht (z) < 0 ins Innere des Kreises über. b) Bestimmen Sie die Urbilder folgender Kurven w z z w + w

14 b ) (w) w j + j + j z j j j Kreis um z j mit Radius b ) w w j j j + j z Kreis um z mit Radius + j j j j j Aufgabe 7: Für welche komplexe Zahlen z gilt: a) + j j z + + z + j j b) j z j j ( + j) z + j j z + j + j z j z z z ( + j)( + j) 8 + 6j 8 + j 4 j z j z j 9j z j + 9j 4( + 4j) z 6 ( + j) z 4 z 4 (4 j)( j) ( + 4j)( j) 0 j 0 { } c) z z ( j) z x + jy { z } y x + y x jy x + y y x + y x + y + y + x + (y + ) Kreis um (0 ) mit Radius ohne Nullpunkt 6

15 Aufgabe 8: Zerlege in Linearfaktoren a) P (z) z + z + z P (z) z (z + z + ) }{{} 0 P (z) z (z + + z, ± 9 4 ) (z + ) b) P (z) z z 4 + z ± z z z 4 +z : (z ) z 4 + z,,4, 4 4 e jπ e j( π 4 + kπ ) z,,4, ± ± j P (z) (z ) (z j) (z + j) (z + }{{} j) (z + + j) z }{{} z + z + z + Aufgabe 9: Beschreiben Sie die Lage der Punkte z, für die gilt: a) {z} z x + jy {z} x Halbebene rechts der Geraden x b) 0 {j z} π z x + jy j z y + jx {j z} y 0 y π π y 0 Streifen zwischen der Geraden y π und der reellen Achse c) {z } z x+jy z x y +xyj {z } x y x y... Hyperbel um Ursprung mit Halbachsen a b 7

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17 R. Mohr FK Blatt Komplexe Zahlen III WS 004/ Aufgabe : Gegeben ist der komplexe Widerstand Z(ω) Z + Z Z Z + Z mit Z R ; Z jωc ;Z jωl a) Berechnen Sie alteil, aginärteil und Betrag von Z(ω) jωc Z(ω) R + jωl jωl + jωc R + L jωcl + jωc jωl R + ω CL {Z(ω)} R; {Z(ω)} ωl ω CL Z(ω) R + ω L ( ω CL) b) Wo liegen alle Z(ω) in der komplexen Zahlenebene? jωl w u + vj R + ω CL ; u R; v ωl ω CL ; Alle Z(ω) liegen auf der Parallelen zur imaginären Achse durch R; Dabei werden alle Punkte durchlaufen: v ωl ω v ω CLv ωl CL vclω + Lω v 0 ω, L ± L + 4v CL vcl besitzt für alle v Lösungen! c) Für welches ω wächst Z(ω) über alle Grenzen? jωl Wenn Nenner in Z(ω) R + ω zu Null wird! CL ω CL 0 ω CL Aufgabe : Gegeben ist die folgende Schaltung i R C i R L i G U(t) R mit den Konstanten R C L 0 Ω 0 Ω 00 µf 00mH ( ) und der Spannung U(t) 00 cos 00 t s V. Ermitteln Sie die Ströme i, i durch die beiden Zweige sowie den Gesamtstrom i G. R i 0 [ V A ] + j00 [s ] [AsV ] 0 0j [V A ] R i 0 [ V A ] + j00 [s ] 00 0 [V sa ] 0 + 0j [ V A ]

18 R G R + i R i 0 0j j 00 + j + 40 j 7 00 j R G 00 7 j R U i 00(7 + j) 8. Zweig: 0 0j U 0e jωt i,0 e j(ωt α ) i, j ; tan α α π 4. Zweig: 0 + 0j U 0e jωt i,0 e j(ωt α ) i, j ; tan α α π 4 Gesamtstrom: 00 8 (7 + j) U 0 e jωt i G,0 e j(ωt α G) i g, j 8; tanα G 7 α G Gesamtstrom über Addition der Teilströme: i G i + i e j π 4 + e j π 4 ( j ) + ( + j ) 7 + j 8e jαg i G,0 8 tanα G 7 α G Aufgabe : Gegeben ist die folgende Schaltung R U(t) L mit den Konstanten C R C L ω 0 Ω 400 µf 00 mh 0 s und der Spannung U(t) 00 cos(ωt) V. a) Berechnen Sie den Gesamtstrom i. R R + Ω R + C R I 0 [V A ] + jω [s ] 00 0 [V sa ] + jω [s ] [AsV ]

19 + 0 jω + j 4ω { j 4ω ω } R { 0 + j 4ω 0 4 ω } ω 0 R 0 j 0 Gesamtstrom: ( + j) ( + j) U 0 e jωt i G,0 e j(ωt α G) i G, j 4 ; tan α G α G π 4 b) Für welche Frequenz ω wird die Stromstärke minimal? i G,0 wird minimal, wenn R maximal wird. Dies wird der Fall sein, wenn der von ω abhängige aginärteil des Nenners zu Null wird. R { 0 + j 4ω 0 4 ω } { 4ω 0 4 ω } 0 ω 0

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