1 Komplexe Zahlen. Grenzwertverlag 1

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1 1 Komplexe Zahlen Grenzwertverlag 1

2 11 Einführung Grenzwertverlag 2 11 Einführung Problem: Es gibt algebraische Gleichungen, die in der Menge IR der reellen Zahlen keine Lösung besitzen Beispiel 11: x 2 +1 = 0 x = ± 1 keine reelle Lösung! Wir führen ein neues Symbol ein und legen fest: 1 = j Damit können wird der obigen Gleichung die Lösungen x = ±j zuordnen

3 11 Einführung Grenzwertverlag 3 Wenn wir voraussetzen, dass diese neue Zahlen denselben Rechengesetzen genügen, wie die reellen Zahlen, erhalten wir damit auch Lösungen für andere bisher nicht lösbare quadratische Gleichungen, wie das folgende Beispiel zeigt: Beispiel 12: Obiges Beispiel zeigt, dass Linearkombinationen von alten reellen Zahlen und Vielfachen der neuen Zahl j sinnvoll sind

4 11 Einführung Grenzwertverlag 4 Bezeichnungen: a) Der Ausdruck 1 heiÿt imaginäre Einheit und wird mit j bezeichnet b) Ausdrücke der Form j y mit y IR heiÿen imaginäre Zahlen c) Ausdrücke der Form z = x + j y mit x, y IR werden als komplexe Zahlen bezeichnet d) Ist z = x + j y eine komplexe Zahl, so heiÿen x = Re (z) Realteil von z y = Im (z) Imaginärteil von z e) Die Menge C= {z = x + j y x, y IR} wird als Menge der komplexen Zahlen bezeichnet

5 11 Einführung Grenzwertverlag 5 Bemerkungen: 1) Der Imaginärteil y einer komplexen Zahl z = x + j y ist selbst eine reelle Zahl Vorsicht!! Der Imaginärteil ist der Faktor bei j! 2) In der Mathematik wird die imaginäre Einheit 1 üblicherweise mit i bezeichnet Wir verwenden hier jedoch das Symbol j, das insbesondere in der Elektrotechnik üblich ist, um Verwechslungen mit dem Symbol i für die Stromstärke zu vermeiden

6 12 Darstellungen komplexer Zahlen Grenzwertverlag 6 12 Darstellungen komplexer Zahlen Eine komplexe Zahl wird durch zwei reelle Zahlen charakterisiert Analog zu zweidimensionalen Vektoren benötigen daher zur geometrischen Veranschaulichung von komplexen Zahlen eine Ebene 121 Kartesische Darstellung Im y z = x + jy 1 Jeder komplexen Zahl z = x + j y entspricht genau ein Punkt P = (x, y) in der komplexen Zah- x Re lenebene und umgekehrt

7 12 Darstellungen komplexer Zahlen Grenzwertverlag 7 Bezeichnungen: 1) Die komplexe Zahlenebene wird auch als Gauÿsche Zahlenebene bezeichnet 2) In der Gauÿschen Zahlenebene werden die Achsen des kartesischen Koordinatensystems als reelle Achse bzw imaginäre Achse bezeichnet

8 12 Darstellungen komplexer Zahlen Grenzwertverlag 8 Beispiel 13: Die folgenden komplexen Zahlen sind in der Gauÿschen Zahlenebene darzustellen: z 1 = 2 + 3j, z 2 = 3 j 3j Im z 1 = 2 + 3j 1 j 3 1 z 2 = 3 j j 1 2 Re

9 12 Darstellungen komplexer Zahlen Grenzwertverlag 9 Bemerkungen: 1) Wir beschriften die imaginäre Achse hier in der Form j, 2j, 3j wie dies in der Elektrotechnik üblich ist (und nicht 1, 2, 3, ) Das bedeutet, dass auf dieser Achse nicht der Imaginärteil y, sondern die imaginäre Zahl jy dargestellt wird

10 12 Darstellungen komplexer Zahlen Grenzwertverlag 10 2) Für manche Anwendungen ist es hilfreich, eine komplexe Zahl nicht als Im Punkt P = (x, y) in der Gauÿschen Zahlenebene zu veranschaulichen, sondern stattdessen den zugehörigen Ortsvektor zu betrachten: jy z 1 x Re z = x + j y z = x y In diesem Fall spricht man von z als einem komplexen Zeiger

11 12 Darstellungen komplexer Zahlen Grenzwertverlag Polardarstellung Neben der oben eingeführten kartesischen Darstellung z = x + j y kann eine komplexe Zahl auch entsprechend der neben stehenden Skizze durch ihren Abstand r vom Koordina- jy Im ϕ r z = x + jy 1 x Re tenursprung und den Winkel ϕ eindeutig festgelegt werden Diese Darstellung wird als Polardarstellung bezeichnet, da sie einer Beschreibung des entsprechenden Punktes P = (x, y) durch ebene Polarkoordinaten entspricht

12 12 Darstellungen komplexer Zahlen Grenzwertverlag 12 Zusammenhang zwischen den Koordinaten (x, y) und (r, ϕ): Bemerkung: Der Zusammenhang zwischen dem Quotienten y x und dem Winkel ϕ [0, 2π) ist nicht eindeutig, da die Tangensfunktion π-periodisch ist Die damit verbundene Problematik werden wir im folgenden Abschnitt genauer betrachten

13 12 Darstellungen komplexer Zahlen Grenzwertverlag 13 Damit erhalten wir die trigonometrische Darstellung z = x + j y = r cos ϕ + j r sin ϕ z = r (cos ϕ + j sin ϕ) Im Folgenden wird der Ausdruck cos ϕ + j sin ϕ sehr häug auftreten Deshalb führen wir dafür die Abkürzung e jϕ = cos ϕ + j sin ϕ ein Somit ergibt sich schlieÿlich eine sehr kompakte Darstellung, die sogenannte Exponential-Darstellung einer komplexen Zahl: z = r (cos ϕ + j r sin ϕ) = re jϕ

14 12 Darstellungen komplexer Zahlen Grenzwertverlag 14 Bezeichnungen: r = z Betrag von z (Abstand von z zum Koordinatenursprung) ϕ = arg z Argument oder Phase von z

15 12 Darstellungen komplexer Zahlen Grenzwertverlag 15 Wir fassen die verschiedenen Arten, komplexe Zahlen darzustellen, nochmals zusammen: Darstellung komplexer Zahlen: Eine komplexe Zahl z lässt sich auf verschiedene Arten darstellen: 1) z = x + jy (kartesische Darstellung) 2) z = r(cos ϕ + j sin ϕ) (trigonometrische Darstellung) 3) z = re jϕ (Exponential-Darstellung) Die Darstellungen 2) und 3) werden unter dem Begri Polardarstellung zusammengefasst

16 12 Darstellungen komplexer Zahlen Grenzwertverlag Umrechnung zwischen den Darstellungen Die Umrechnung von der Exponential-Darstellung in die kartesische Darstellung erfolgt mit Hilfe der trigonometrischen Darstellung: Beispiel 14:

17 12 Darstellungen komplexer Zahlen Grenzwertverlag 17 Bei der Umrechnung von der kartesischen Darstellung in die Polardarstellung gehen wir aus von den bereits eingeführten Beziehungen r = x 2 + y 2 und tan ϕ = y x Dabei ist jedoch zu beachten, dass der Winkel ϕ nicht eindeutig bestimmt ist, da zb die Winkel ϕ und ϕ+2π zum gleichen Punkt in der Gauÿschen Zahlenebene führen und somit zu der gleichen komplexen Zahl Daher vereinbaren wir, den Winkel ϕ jeweils so zu wählen, dass 0 ϕ < 2π gilt (Hauptwert des Winkels ϕ) Entsprechend dieser Vereinbarung bestimmen wir nun ϕ aus tan ϕ = y x bzw ϕ = arctan ( y x ) (11)

18 12 Darstellungen komplexer Zahlen Grenzwertverlag 18 Beispiel 15: Bestimme arg z für die komplexen Zahlen z 1 = 1 + 2j und z 2 = 1 2j Re Im 1 j 2 z 1 = 1 + 2j 2 z 2 = 1 2j ϕ 1 ϕ 2

19 12 Darstellungen komplexer Zahlen Grenzwertverlag 19 Dieses Beispiel macht deutlich, dass die Gleichung tan ϕ = x y mit x : Realteil, y : Imaginärteil in [0, 2π) zwei verschiedene Lösungen hat, die sich um den Winkel π unterscheiden Welche dieser Lösungen jeweils die Richtige ist, kann man durch ein Handskizze leicht feststellen

20 12 Darstellungen komplexer Zahlen Grenzwertverlag 20 Bemerkung: Wird zur Berechnung von ϕ ein Rechner benutzt, so liefert dieser in der Regel zunächst einen Winkel ψ = arctan x y mit π 2 ψ π 2 Der gesuchte Winkel ϕ = arg z ergibt sich dann durch Addition eines Korrekturwinkels dessen Wert abhängig ist vom Quadranten, in dem die komplexe Zahl z liegt ϕ = arg z = arctan ( ) y x + (12) Die Werte für ergeben sich für jeden einzelnen Quadranten durch Vergleich der Winkelwerte ϕ = arg(z) einerseits und ψ = arctan x y andererseits:

21 12 Darstellungen komplexer Zahlen Grenzwertverlag 21 Beispiel 16: z = 1 + 3j 1 Re 1 Im 1 3j 4 z r ϕ

22 12 Darstellungen komplexer Zahlen Grenzwertverlag 22 Zur Erinnerung stellen wir an dieser Stelle nochmals das Schaubild der arctan-funktion vor und geben einige wichtige Werte dieser Funktion an: π 2 y π 4 f(x) = arctan x 1 x

23 12 Darstellungen komplexer Zahlen Grenzwertverlag 23 x arctan x 0 π 6 π 4 π 3 π 2 0 o 30 o 45 o 60 o 90 o Ferner gilt: arctan( x) = arctan x

24 12 Darstellungen komplexer Zahlen Grenzwertverlag 24 Bemerkungen: 1) Bei der Bestimmung von ϕ ist es stets sinnvoll, sich zunächst die Lage der Zahl z in der Gauÿschen Zahlenebene klar zu machen und ϕ überschlägig zu bestimmen Die exakte Bestimmung von ϕ nach (12) erfolgt dann in einem zweiten Schritt 2) Für Zahlen die auf der reellen oder imaginären Achse liegen, ist Gleichung (12) zur Bestimmung von ϕ = arg(z) nicht anwendbar Hier ergibt sich arg(z) unmittelbar aus der Lage von z in der Gauÿschen Zahlenebene 3) In manchen technischen Anwendungen wird für den Hauptwert des Winkels ϕ der Bereich π < ϕ π festgelegt In diesem Fall ergeben sich entsprechend andere Werte für den Korrekturwinkel

25 12 Darstellungen komplexer Zahlen Grenzwertverlag 25 Beispiel 17: Umrechnung zwischen den Darstellungen: 1) z 1 = 1 + 2j 2j Im r ϕ 1 z 1 = 1 + 2j 1 1 Re

26 12 Darstellungen komplexer Zahlen Grenzwertverlag 26 2) z 2 = 2 2j Re Im 1 j 1 z 2 = 2 2j r 2 ϕ 2

27 12 Darstellungen komplexer Zahlen Grenzwertverlag 27 3) z 3 = 3e 4π 3 j Re Im ϕ 3 r 3 1 z 3 = 3e 4π 3 j

28 12 Darstellungen komplexer Zahlen Grenzwertverlag 28 4) z 4 = 2 = j Re Im z 4 = 2 r 4 ϕ 4

29 12 Darstellungen komplexer Zahlen Grenzwertverlag Konjugiert komplexe Zahl Bei der Lösung einer quadratischen Gleichung mittels komplexer Zahlen ergab sich stets ein Ausdruck der Gestalt x 1,2 = a ± jb Beispiel 18: x 2 + 4x + 20 = 0 x 1,2 = 4 ± = 2 ± 4j Im weiteren Verlauf werden wir sehen, dass solche Pärchen komplexer Zahlen häug auftreten

30 12 Darstellungen komplexer Zahlen Grenzwertverlag 30 Zu einer gegebenen komplexen Zahl z = x + j y ist die konjugiert komplexe Zahl deniert durch z = x jy y Im ϕ ϕ r 1 z = x + j y x Re In der Gauÿschen Zahlenebene erhält man z indem man die Zahl z an der reellen Achse spiegelt y r 1 z = x j y

31 12 Darstellungen komplexer Zahlen Grenzwertverlag 31 In der Polardarstellung ergibt sich entsprechend: Beispiel 19: z = 2 3j z = 2 + 3j z = 1 + 2j z = 1 2j z = 2e 3π 4 j z = 2e 3π 4 j

32 13 Grundrechenarten für komplexe Zahlen Grenzwertverlag Grundrechenarten für komplexe Zahlen 131 Gleichheit zweier komplexer Zahlen Zwei Zahlen sind sicher dann als gleich anzusehen, wenn die entsprechenden Punkte bzw Zeiger in der Gauÿschen Zahlenebene zusammen fallen Daraus folgt unmittelbar:

33 13 Grundrechenarten für komplexe Zahlen Grenzwertverlag 33 Bemerkung: Eine Gleichung mit komplexen Zahlen besitzt denselben Informationsgehalt wie zwei Gleichungen mit reellen ZahlenDies ist besonders für Gleichungen in der Komponentenform deutliches ergeben sich stets zwei Gleichungen für Real- und Imaginärteil

34 13 Grundrechenarten für komplexe Zahlen Grenzwertverlag Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen Addition und Subtraktion ergeben sich aus den entsprechenden Rechenoperationen für reelle Zahlen, indem man die üblichen Rechengesetze anwendet und das Symbol j wie eine reelle Zahl behandelt Beispiel 110: z 1 = 3 + j, z 2 = 1 + 2j z 1 + z 2 = (3 + j) + (1 + 2j) = 4 + 3j, z 1 z 2 = (3 + j) (1 + 2j) = 2 j

35 13 Grundrechenarten für komplexe Zahlen Grenzwertverlag 35 Bemerkung: Die Addition von komplexen Zahlen entspricht in der Gauÿschen Zahlenebene der Addition der entsprechenden komplexen Zeiger im Sinne der Vektoraddition für ebene Vektoren Entsprechendes gilt für die Dierenz von komplexen Zahlen Insbesondere gelten die gleichen Parallelogrammregeln 1 Im z 1 + z z 2 2 z 1 1 Re 1 Im z 2 z 1 1 z 1 z 2 z 2 Re

36 13 Grundrechenarten für komplexe Zahlen Grenzwertverlag Multiplikation von komplexen Zahlen Bei der Multiplikation von komplexen Zahlen gehen wir ebenso vor wie im vorhergehenden Abschnitt Wir gehen von der Gültigkeit der Klammerregel aus und beachten zusätzlich, dass j 2 = 1 Beispiel 111: 1) z 1 = 3 + j, z 2 = 1 + 2j 2) z 1 = 4 2j, z 2 = 2 + j z 1 z 2 = (4 2j) ( 2+j) = 8+4j+4j 2j 2 = 8+8j+2 = 6+8j

37 13 Grundrechenarten für komplexe Zahlen Grenzwertverlag 37 Spezialfall: Es sei z = x + jy eine beliebige komplexe Zahl und z die zu z konjugiert komplexe Zahl Dann gilt:

38 13 Grundrechenarten für komplexe Zahlen Grenzwertverlag Division von komplexen Zahlen Zunächst überlegen wir, wie eine komplexe Zahl durch eine reelle Zahl zu teilen ist Beispiel 112:

39 13 Grundrechenarten für komplexe Zahlen Grenzwertverlag 39 Die Division von zwei beliebigen komplexen Zahlen kann durch einen kleinen Trick auf diesen Spezialfall zurückgeführt werden Dies soll an dem folgenden Beispiel erläutert werden: Beispiel 113: 2 + j 3 j =? Auf diese Weise lässt sich jeder Quotient von zwei komplexen Zahlen in kartesischer Darstellung berechnen Beispiel 114: 1 j 1 2j 1 j 1 2j j = (1 j)(1 + 2j) (1 2j)(1 + 2j) = 1 j + 2j 2j = j + 2 = 3 + j 5 =

40 13 Grundrechenarten für komplexe Zahlen Grenzwertverlag Multiplikation und Division in Polardarstellung Wir betrachten zwei komplexe Zahlen in trigonometrischer Darstellung: z 1 = r 1 (cos ϕ 1 + j sin ϕ 1 ), z 2 = r 2 (cos ϕ 2 + j sin ϕ 2 ) Nach Abschnitt 133 ergibt sich für das Produkt:

41 13 Grundrechenarten für komplexe Zahlen Grenzwertverlag 41 Mit Hilfe der Additionstheoreme für Sinus und Cosinus lassen sich Realund Imaginärteil der obigen Beziehung einfacher darstellen Somit folgt: cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) = cos ϕ 1 cos ϕ 2 sin ϕ 1 sin ϕ 2 sin(ϕ 1 + ϕ 2 ) = cos ϕ 1 sin ϕ 2 + sin ϕ 1 cos ϕ 2

42 13 Grundrechenarten für komplexe Zahlen Grenzwertverlag 42 Regel: Die Radien werden multipliziert und die Winkel addiert Benutzen wir die oben eingeführte Abkürzung e jϕ = cos ϕ + j sin ϕ, so können wir dies kürzer schreiben:

43 13 Grundrechenarten für komplexe Zahlen Grenzwertverlag 43 Für die Division ergibt sich analog: Regel: Die Radien werden dividiert und die Winkel subtrahiert Mit e jϕ = cos ϕ + j sin ϕ ergibt sich entsprechend:

44 13 Grundrechenarten für komplexe Zahlen Grenzwertverlag 44 Bemerkung: Die hier gewonnenen Regeln für die Multiplikation und Division von komplexen Zahlen in Polardarstellung zeigen, dass sich der zunächst als reine Abkürzung eingeführte Ausdruck e jϕ tatsächlich wie eine Exponentialfunktion verhält Der Nachweis, dass es sich dabei um die komplexe Erweiterung der reellen Funktion e x handelt, geht über den Rahmen dieser Darstellung hinaus

45 13 Grundrechenarten für komplexe Zahlen Grenzwertverlag 45 Wir fassen die Ergebnisse dieses Abschnitts nochmals zusammen: Zusammenfassung: Multiplikation und Division komplexer Zahlen in Polardarstellung Es sei z 1 = r 1 e jϕ 1, z 2 = r 2 e jϕ 2 Dann gilt für das Produkt z 1 z 2 : z 1 z 2 = r 1 r 2 e j(ϕ 1+ϕ 2 ) (Produkt der Beträge, Summe der Argumente) Für den Quotienten z 1 z2 gilt die Regel: (Quotient der Beträge, Dierenz der Argumente) z 1 z 2 = r 1 r2 e j(ϕ 1 ϕ 2 ) Für die trigonometrische Darstellung gelten entsprechende Multiplikations- und Divisionsregeln

46 13 Grundrechenarten für komplexe Zahlen Grenzwertverlag 46 Spezialfall: Betrachte das Produkt einer komplexen Zahl z mit ihrer konjugiert komplexen Zahl z :

47 13 Grundrechenarten für komplexe Zahlen Grenzwertverlag 47 Bemerkungen: 1) Die Ergebnisse von Abschnitt 13 lassen sich in der Aussage zusammenfassen, dass für die komplexen Zahlen die gleichen Gesetze der Algebra gelten wie in der Menge IR Das bedeutet, dass man mit komplexen Zahlen so rechnen kann, wie man es von den reellen Zahlen gewohnt ist, wenn man zusätzlich die Regel j 2 = 1 beachtet 2) Beim Übergang von den reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen geht jedoch die sogenannte Anordnungeigenschaft verloren,dh genau wie bei den Vektoren verlieren hier die Relationen < oder > ihren Sinn!

48 14 Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Grenzwertverlag Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen 141 Potenzen Die Potenzen z n für komplexe Zahlen sind wie im Reellen als n-fache Multiplikationen deniert: Regel: Bilde die n-te Potenz von r = z und multipliziere ϕ = arg z mit n In der trigonometrischen Darstellung erhalten wir entsprechend: z = r(cos ϕ + j sin ϕ) z n = r n [cos(nϕ) + j sin(nϕ) ]

49 14 Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Grenzwertverlag 49 Beispiel 115: z = 1 + j = 2 e jπ 4 Im z4 z3 1 z2 1 z Re Rechnung in kartesischer Darstellung zur Kontrolle:

50 14 Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Grenzwertverlag Komplexe Wurzeln Der komplexe Wurzelbegri ergibt sich wieder wie im Reellen durch Umkehren des Potenzierens Wir suchen wieder eine Zahl, die entsprechend oft mit sich selber multipliziert die Ausgangszahl ergibt Die rechentechnischen Unterschiede sollen an folgendem Beispiel deutlich werden Beispiel 116: z = 3 8

51 14 Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Grenzwertverlag 51 Wir erkennen bereits hier die Mehrdeutigkeit des Wurzelbegris Im Reellen ergab sich dies nur bei Quadratwurzeln aus positiven Zahlen Zur Denition der komplexen n-ten Wurzel z = n a betrachten wir für eine gegebene komplexe Zahl a die Gleichung z n a = 0 z n = a z = n a Wir gehen von der Exponential-Darstellung der komplexen Zahlen z und a aus:

52 14 Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Grenzwertverlag 52 Wir fassen diese Ergebnisse in dem folgenden Satz zusammen: Satz: Die Gleichung z n = a = Ae jα (A > 0) besitzt genau n verschiedene komplexe Lösungen (Wurzeln) z k = re jϕ k = r(cos ϕ k + j sin ϕ k ) mit r = n A, ϕ k = α + 2πk n k = 0, 1,, n 1 Diese liegen in der Gauÿschen Zahlenebene auf einem Ursprungskreis vom Radius r = n A und bilden die Eckpunkte eines regelmäÿigen n-ecks

53 14 Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Grenzwertverlag 53 Beispiel 117: 1) z = 4 1 Re Im 1 z 0 1 z 1 z z 3 r = 1

54 14 Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Grenzwertverlag 54 2) z = 3 j Re Im 1z 0 1 z 1 1 z 2 r = 1

55 14 Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Grenzwertverlag 55 3) z = 1 + j Re Im 1 z0 1 z 1 r = 4 2

56 14 Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Grenzwertverlag 56 Bemerkung: Im Reellen erhielten wir beim Wurzelziehen mit einem ungeraden Exponenten nur eine Lösung, bei geradem Wurzelexponenten ergaben sich (soweit überhaupt im Rellen lösbar) stets zwei Lösungen Wie ist diese Beobachtung mit den obigen Resultaten verträglich? Wie wir erkannt haben, liegen sämtliche komplexen Wurzeln einer Zahl auf den Ecken eines regelmäÿigen Vielecks mit Mittelpunkt im Ursprung Bei ungerader Eckenzahl kann nur eine Ecke auf der reellen Achse liegen Liegt bei gerader Eckenzahl eine Ecke auf der reellen Achse, so stets auch eine zweite

57 14 Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Grenzwertverlag Lösen algebraischer Gleichungen In Abschnitt 11 hatten wir die komplexen Zahlen eingeführt, indem wir für eine im Reellen unlösbare quadratischen Gleichung eine (formale) Lösung deniert hatten Wir wollen diesen Sachverhalt nun auf Polynomgleichungen beliebiger Ordnung verallgemeinern Es ist bekannt, dass die Gleichung p n (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0 im Reellen höchstens n Lösungen besitzt

58 14 Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Grenzwertverlag 58 Im vorhergehenden Abschnitt hatten wir festgestellt, dass die komplexe Polynomgleichung z n a stets genau n Lösungen hat Der folgende Satz zeigt, dass im Komplexen eine entsprechende Aussage für jede Polynomgleichung vom Grad n gilt:

59 14 Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Grenzwertverlag 59 Satz: (Fundamentalsatz der Algebra) Die Gleichung p n (z) = a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0 = 0 besitzt in der Menge der komplexen Zahlen stets genau n Lösungen z 1, z 2, z n Das Polynom p n (z) lässt sich daher komplett in (komplexe) Linearfaktoren zerlegen: p n (z) = a n (z z 1 ) (z z 2 ) (z z n )

60 14 Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Grenzwertverlag 60 Bemerkung: Dies ist ein reiner Existenzsatz Explizite Lösungsformeln existieren nur für einfache Gleichungen Neben der bekannten Mitternachtsformel für quadratische Gleichungen existieren nur noch für Gleichungen der Ordnung drei und vier explizite Lösungsformeln Wir wollen nun zeigen, dass die von reellen Fall bekannten Methoden auch zur Bestimmung von Lösungen komplexer Polynomgleichungen angewandt werden können:

61 14 Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Grenzwertverlag 61 1) Lösen einer quadratischen Gleichung mit der Mitternachtsformel: Die Lösung der quadratische Gleichung az 2 + bz + c = 0, mit a, b, c C ist analog zum reellen Fall gegeben durch z 1/2 = b ± b 2 4ac 2a Betrachten wir speziell den für die praktische Anwendung interessanten Fall, dass die Koezienten a, b und c reelle Zahlen sind, so hängt die Art der Lösungen vom Vorzeichen der (reellen) Diskriminante b 2 4ac ab

62 14 Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Grenzwertverlag 62 2) Wurzelsatz von Vieta Wir normieren die quadratische Gleichung nun so, dass der Koezient beim Quadratglied eins wird z 2 + pz + q = 0 z 1,2 = 2 p (p2 ± ) 2 q Ein Vergleich der Koezienten entsprechender z-potenzen liefert den Wurzelsatz von Vieta Sind z 1, z 2 Lösungen einer quadratischen Gleichung z 2 +pz+q = 0, so gilt: p = (z 1 + z 2 ), q = z 1 z 2

63 14 Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Grenzwertverlag 63 Beispiel 118: z 2 8z + 25 = 0

64 14 Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Grenzwertverlag 64 3) Abspalten von Linearfaktoren Ist z 0 Lösung von p n (z) = 0, so gilt: p n (z) = (z z 0 ) q n 1 (z), wobei q vom Grad (n 1) ist

65 14 Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Grenzwertverlag 65 4) Paarweises Auftreten von komplexen Nullstellen Die folgende Aussage ist die Verallgeminerung von 1 c) auf Polynome von Grad n: Sind alle Koezienten a 0, a 1,, a n von p n (z) reell, so treten komplexe Nullstellen stets als Paare konjugiert komplexer Zahlen auf Begründung: z 0 ist ebenfalls Nullstelle Es können die beiden Linearfaktoren (z z 0 ) und (z z 0 ) abgespalten werden (Polynomdivision)

66 14 Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Grenzwertverlag 66 Behauptung: Diese beiden Linearfaktoren ergeben ausmultipliziert stets ein quadratisches Polynom mit reellen Koezienten Begründung:

67 14 Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Grenzwertverlag 67 Aus 3) und 4) ergibt sich die folgende wichtige Aussage über die Zerlegung von Polynomen: Jedes Polynom mit reellen Koezienten ist zerlegbar in Linearfaktoren und quadratische Polynome mit reellen Koezienten Insbesondere kann jedes reelle Polynom in Faktor-Polynome zerlegt werden, die höchstens vom Grad 2 sind

68 14 Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Grenzwertverlag 68 Beispiel 119: 1) Bestimme sämtliche Lösungen von z 3 z 2 + 4z 4 = 0 2) Bestimme sämtliche Lösungen von z 4 4z 3 + 6z 2 4z + 5 = 0

69 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag Anwendungen der komplexen Rechnung 151 Harmonische Schwingungen Betrachte die reelle Funktion x = x(t) = A cos(ωt + ϕ) (13) Die Funktion x(t) beschreibt Schwingungsvorgänge wie z B mechanische Schwingungen oder elektrische Schwingkreise

70 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 70 A x(t) = A cos (ωt + ϕ) ϕ ω t T = 2π ω

71 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 71 Die neben der Zeitvariablen t auftretenden Parameter A, ω und ϕ haben folgende Bedeutungen: A: Amplitude (Maximalauslenkung) der Schwingung (A > 0) ω: Kreisfrequenz (ω > 0) ω = 2πf = 2π T ϕ: Nullphasenwinkel Winkel zur Zeit t = 0 (x(0) = A cos ϕ) Gilt ϕ > 0, so bedeutet dies, dass die durch (13) beschriebene harmonische Schwingung der Funktion cos (ωt) um ϕ voraus eilt Die zugehörige Kurve ist um ϕ ω nach links verschoben Entsprechend führt ein Phasenwinkel ϕ < 0 zu einer nach rechts verschobenen Kurve

72 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 72 Eine harmonische Schwingung lässt sich auch als Summe von reinen Cosinus- und Sinusfunktionen darstellen x(t) = a cos(ωt) + b sin(ωt) Mit Hilfe der Additionstheoreme erhalten wir den Zusammenhang mit der Form (13): Bei der Bestimmung des Phasenwinkels ist wieder eine Quadrantenbetrachtung notwendig Der richtige Phasenwinkel ergibt sich dabei aus den Gleichungen für die Koezienten a und b

73 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 73 Beispiel 120: Stellen Sie die Schwingung x(t) = cos t 3 sin t in der Form A cos(ωt + ϕ) dar

74 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag Zeigerdarstellung harmonischer Schwingungen Viele Rechenoperationen mit harmonischen Schwingungen sind im Reellen unter Zuhilfenahme der Additionstheoreme für Sinus und Cosinus recht mühsam Die Grundidee der komplexen Darstellung einer harmonischen Schwingung besteht darin, an Stelle der Amplitude A und des Phasenwinkels ϕ eine komplexe Ersatzgröÿe einzuführen Wir denieren deshalb eine komplexwertige Funktion, deren Realteil die vorgegebene Schwingung darstellt

75 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 75 1) Darstellung der Cosinus-Schwingung A cos(ωt) Ausgehend von der komplexwertigen Funktion z(t) = A e jωt erhalten wir mit der Eulerschen Formel

76 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 76 Zur geometrischen Veranschaulichung der zeitlichen Veränderung von z(t) in der komplexen Zahlenebene beachten wir, dass der Betrag z(t) = A unverändert bleibt, während der Winkel arg z(t) = ωt pro Zeiteinheit um ω wächst Daher bewegt sich z(t) auf einem Kreis mit Radius A um den Ursprung, wobei ω die Winkelgeschwindigkeit dieser Kreisbewegung angibt

77 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 77 Die Funktion x(t) = A cos(ωt) entspricht wegen x(t) = Re {z(t)} gerade der Projektion von z(t) auf die reelle Achse Entsprechend ergibt die Projektion auf die imaginäre Achse die Funktionswerte der Sinusfunktion: A sin(ωt) ωt A cos(ωt) A e jωt = z(t) A = z(0) Im {z(t)} = y(t) = A sin(ωt)

78 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 78 Die Funktion z(t) = Ae jωt beschreibt einen komplexen Zeiger, der sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um den Ursprung dreht Die Projektionen dieser Bewegung auf die reelle bzw imaginäre Achse ergeben die entsprechenden Cosinus- und Sinusfunktionen: Re {z(t)} = A cos ωt, Im {z(t)} = A sin ωt

79 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 79 2) Darstellung der phasenverschobenen Cosinus-Schwingung A cos(ωt + ϕ) Wir betrachten die komplexwertige Funktion z(t) = A e j(ωt+ϕ) und erhalten wie oben

80 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 80 Zur geometrischen Deutung der durch z(t) beschriebenen Bewegung in der komplexen Ebene gehen wir aus von der Zahl a = A e jϕ Beim Übergang zu w = a e jα = Ae jϕ e jα = A e j(ϕ+α) bleibt der Betrag A erhalten, während sich der Winkel um α vergröÿert In der Zahlenebene erhalten wir w also durch Drehung von a um den Koordinatenursprung um den Winkel α

81 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 81 Entsprechend können wir z(t) = A e j(ωt+ϕ) = A e jϕ } {{ } a e jωt = a e jωt als Bewegung der komplexen Zahl a = A e jϕ mit der Winkelgeschwindigkeit ω auf einem Kreis um den Ursprung mit Radius A deuten Die Zahl a wird dabei als komplexe Amplitude oder komplexer Zeiger der harmonischen Schwingung bezeichnet ϕ A a = z(0) ωt z(t)

82 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 82 Bei fester Kreisfrequenz ω ist die Information über Amplitude und Nullphase der Schwingung in der komplexen Zahl a = z(0) = A e jϕ enthalten Da nach Voraussetzung x(t) = Re {z(t)} gilt, ergibt sich x(t) wieder als Projektion von z(t) auf die reelle Achse Somit erhalten wir die folgenden Aussagen:

83 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 83 Komplexe Zeiger-Darstellung von Schwingungsvorgängen Die reelle harmonische Funktion x(t) = A cos(ωt + ϕ) und die komplexe Erweiterung z(t) = A e (ωt+ϕ) besitzen denselben Informationsgehalt Bei vorgegebener Kreisfrequenz ω wird eine harmonische Schwingung durch die Amplitude A und den Phasenwinkel ϕ bestimmt Die Funktion x(t) = A cos(ωt + ϕ) kann als Realteil des in der komplexen Zahlenebene mit der Winkelgeschwindigkeit ω rotierenden komplexen Zeigers a = z(0) = A e jϕ betrachtet werden Der Übergang zum Realteil entspricht geometrisch derprojektion auf die reelle Achse

84 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 84 Bemerkungen: 1) In gleicher Weise kann die Sinus-Schwingung y(t) = A sin(ωt + ϕ) als Imaginärteil von z(t) = A e j(ωt+ϕ) dargestellt werden Geometrisch entspricht dies der Projektion auf die imaginäre Achse 2) Die Vorteile der komplexen Darstellung bestehen vor allem darin, dass die Rechengesetze für Exponentialfunktion meist einfacher sind, als die für trigonometrischen Funktionen

85 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 85 Beispiel 121: 1) x(t) = 3 cos(2t π 4 ) 2) y(t) = 4 sin(ωt + π 3 ) 3) x(t) = 3 cos(ωt + 08)

86 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen Wir betrachten nun zwei harmonischen Schwingungen gleicher Frequenzω x 1 (t) = A 1 cos(ωt + ϕ 1 ), x 2 (t) = A 2 cos(ωt + ϕ 2 ) und wollen untersuchen, welche Art von Bewegung sich als Überlagerung dieser beiden Vorgänge ergibt

87 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 87 Aus der Physik wissen wir, dass sich diese Schwingungen ungestört additiv überlagern (Superpositionsprinzip): x(t) = x 1 (t) + x 2 (t) Der Nachweis, dass sich für x(t) ebenfalls eine harmonische Schwingung der Frequenz ω ergibt, ist mit reeller Rechnung (Additionstheoreme, Koezientenvergleich) relativ mühsam Zudem ist eine Verallgemeinerung auf den Fall der Überlagerung von mehr als 2 Schwingungen nur schwer möglich

88 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 88 Das folgende Beispiel zeigt, wie x(t) mit Hilfe komplexer Rechnung einfacher bestimmt werden kann Dabei benutzen wir die im vorhergehenden Abschnitt eingeführte Darstellung harmonischer Schwingungen durch komplexe Zeiger Beispiel 122: Bestimmen Sie Amplitude und Phase der Schwingung, die sich als Überlagerung von ergibt x 1 (t) = 2 cos(ωt + π 4 ) und x 2(t) = 2 2 cos(ωt + π)

89 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 89 Allgemeiner Fall: Wir betrachten nun den allgemeinen Fall der Überlagerung von zwei reellen harmonischen Schwingungen gleicher Frequenz, aber unterschiedlicher Amplitude und Phase Wie im obigen Beispiel gehen wir dabei in 3 Schritten vor:

90 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 90 Bemerkung: Bei der Berechnung von Amplitude A und Phase ϕ der resultierenden Schwingung x(t) ist der Zeitfaktor e jωt ohne Bedeutung A und ϕ ergeben sich vielmehr direkt als Betrag und Argument der komplexen Amplitude a = a 1 + a 2 Die Überlagerung der Schwingungen lässt sich somit einfach durch die Summe a = a 1 + a 2 der zugehörigen komplexen Zeiger a 1 und a 2 beschreiben

91 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 91 Hieraus ergibt sich neben der oben dargestellten rechnerischen Lösung zusätzlich die (einfachere) Möglichkeit, dieses Problem geometrisch zu lösen Wir demonstrieren dies an den Schwingungen des vorhergehenden Beispiels Beispiel 123: x 1 (t) = 2 cos(ωt + π 4 ), x 2(t) = 2 2 cos(ωt + π) Im a 2 a j a 2 ϕ a 1 1 Re a 1 = 2e jπ 4, a 2 = 2 2e jπ a = a 1 + a 2 = Ae jϕ A = 2, ϕ = 3π 4 x(t) = 2 cos(ωt + 3π 4 )

92 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 92 Fazit: Die Addition von zwei harmonischen Schwingungen entspricht der Addition der zugehörigen komplexen Zeiger Dabei kommt dasselbe Konstruktionsprinzip wie bei der Addition zweier ebener Vektoren zur Anwendung j Im a 2 ϕ a 1 1 a Re Entsprechend kann natürlich auch bei der rechnerischen Lösung der Zeitfaktor e jωt unberücksichtigt bleiben, so dass sich das folgende Schema ergibt:

93 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 93 Beispiel 124: Bestimmen Sie zeichnerisch und rechnerisch Amplitude und Phase der Überlagerung von x 1 (t) = 2 cos(ωt π 4 ) und x 2(t) = 4 cos(ωt + π 3 )

94 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 94 a) Zeichnung: Im j a 2 A a 2 ϕ a 1 1 a = a 1 + a 2 Re A 4 ϕ 30 o

95 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 95 b) Rechnung:

96 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 96 Bemerkung: Die Überlegungen dieses Abschnitts gelten entsprechend für die Überlagerung von zwei gleichfrequenten Sinus-Funktionen y 1 (t) = A 1 sin(ωt + ϕ 1 ) und y 2 (t) = A 2 sin(ωt + ϕ 2 ) In diesem Fall gehen wir bei der Wahl der komplexen Ersatzgröÿen von der Beziehung y 1 (t) = Im {z 1 (t)} und y 2 (t) = Im {z 2 (t)} aus und erhalten daher bei der Rückkehr zur reellen Darstellung (Schritt 3) y(t) = Im {z(t)} = A sin(ωt + ϕ) Auf die geometrische Addition der komplexen Zeiger a 1 und a 2 hat diese Änderung des Blickwinkels keine Auswirkung Wir demonstrieren dies an dem folgenden Anwendungsbeispiel

97 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 97 Beispiel 125: Anwendungbeispiel: 3-Phasen-Wechselspannung Die 3-Phasen Wechselspannung besteht aus drei um den Phasenwinkel 2π 3 gegeneinander verschobenen harmonischen SchwingungenWählen wir die Sinus-Darstellung, so erhalten wir: U 1 = U 0 sin(ωt), U 2 = U 0 sin(ωt + 2π 3 ), U 3 = U 0 sin(ωt + 4π 3 ), a) Zeigen Sie, dass U 1 + U 2 + U 3 = 0 gilt b) Welche Spannung (Amplitude und Phase) liegt zwischen den Phasen U 2 und U 1 an? (Lösung zeichnerisch und rechnerisch!)

98 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 98 Lösung: a) Im a 3 a 2 a o 240 o a 1 U 0 Re a 3

99 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 99 Im a 2 a 2 a 1 b) 120 o 240 o a 1 U 0 Re a 3

100 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag Wechselstromkreise Vorbemerkung: Entsprechend der in der Elektrotechnik üblichen Konventionen führen wir folgende Regeln für die Bezeichnung der in diesem Abschnitt auftretenden Wechselstromgröÿen ein: Zeitunabhängige reelle Gröÿen werden mit Groÿbuchstaben bezeichnet Zeitabhängige reelle Gröÿen werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet Komplexe Gröÿen werden durch Unterstreichung gekennzeichnet

101 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 101 Ausgangspunkt unserer Überlegungen ist das Ohmsche Gesetz für Gleichströme U = R I bzw R = U I (14) d h Spannung und Stromstärke sind zueinander proportional Diese Beziehung gilt auch für Wechselstrom: Eine sinusförmige Wechselspannung erzeugt in einem Stromkreis, der nur ohmsche Verbraucher enthält, einen sinusförmigen Wechselstrom gleicher Phase Somit ist auch hier der Quotient zwischen Spannung und Stromstärke von der Zeit unabhängig u(t) i(t) = U 0 cos ωt I 0 cos ωt = R = konstant

102 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 102 In Wechselstromkreisen gibt es allerdings darüber hinaus noch weitere Widerstandstypen: Kondensatoren und Spulen Am Beispiel des Kondensators wollen wir uns klarmachen, dass hier Spannung und Stromstärke gegeneinander phasenverschoben sind Bei einem Stromkreis mit Spannungsquelle und Kondensator muss die Kondensatorspannung der angelegten Spannung entgegengesetzt gleich sein Wird eine veränderliche Spannung angelegt, so muss den Kondensatorplatten fortwährend Ladung zu und abgeführt werden, dh es ieÿt ein Strom

103 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 103 P 1 u(t) = U 0 cos ωt P 4 P 2 P 3 t Die Spannung u C zwischen den Kondensatorplatten ist dabei stets proportional zur Ladung q C u C q C bzw q C = C u C

104 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 104 Eine Veränderung der Spannung bewirkt eine Veränderung der Ladung auf den Kondensator-Platten und damit einen Ladungstransport Die Veränderungsrate (Steigung) der Spannung ist am Punkt P 2 am gröÿten, in der Umgebung von P 1, P 3 gleich Null Dies hat zur Folge, dass die Stromstärke an Nullstellen der Spannungsfunktion Extrema besitzt, während die Extrema der Spannung Nulldurchgänge bei der Stromstärke zur Konsequenz haben Wenn wir die plausible Annahme machen, dass auch die Stromstärke eine harmonische Schwingung darstellt, so müssen die beiden Funktionen u(t) und i(t) eine Phasendierenz von π 2 haben Dieser Sachverhalt soll noch mathematisch etwas präzisiert werden:

105 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 105 Da die Stromstärke i(t) der Veränderung der Ladung q(t) pro Zeiteinheit entspricht, gilt i(t) = dq dt = C du dt Wird eine harmonische Schwingung der Form U 0 cos ωt als Spannung angelegt, so ergibt sich für die Stromstärke i(t) die Beziehung: i(t) = C ddt [U 0 cos ωt] = ω C U 0 sin ωt = U 0 ω C cos d h die Stromstärke eilt der Spannung um π 2 voraus ( ωt + π ) 2 Eine ähnliche Betrachtung des induktiven Widerstands einer Spule zeigt, dass dabei die Stromstärke der Spannung um π 2 nacheilt Betrachten wir allgemeine Widerstände in Wechselstromkreisen, mit ohm-

106 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 106 schen, induktiven und kapazitiven Anteilen, so ergibt sich im Allgemeinen eine Phasendierenz zwischen Spannung und Stromstärke Damit wird jedoch der reelle Quotient von Spannung und Stromstärke abhängig von der Zeit! u(t) i(t) = U 0 cos ωt I 0 cos (ωt + α) = U 0 I 0 cos ωt cos (ωt + α) } {{ } zeitabhängig! Betrachten wir jedoch wie im vorhergehenden Abschnitt komplexe Ersatzgröÿen für Spannung und Strom so ist das Verhältnis von Spannung und Stromstärke zeitunabhängig mit Z = Z 0 = U 0 I 0 : Verhältnis der Scheitelwerte von Spannung und Strom arg Z = ϕ: Phasendierenz zwischen Spannung und Strom

107 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 107 Damit lässt sich das Ohmsche Gesetz (14) auf Wechselstromkreise übertragen: Ohmsches Gesetz für Wechselstromkreise In Wechselstromkreisen gilt das Ohmsche Gesetz in der Form u = Z i, (15) mit u(t) = U 0 e jωt komplexe Spannung i(t) = I 0 e j(ωt ϕ) komplexe Stromstärke Z = Z 0 e jϕ komplexer Widerstand (Impedanz) Bemerkung: Die Eektivwerte von Spannung und Strom sind gegeben durch U e =

108 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 108 U 0 2 bzw I e = I 0 2 Daher gilt auch R = U 0 I 0 = U e I e Verhältnis der Eektivwerte von Spannung und Strom

109 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 109 Die Impedanz kann natürlich auch in kartesischer Form dargestellt werden: Z = R + jx Im Z 0 ϕ R Z = R + j X 1 X Re Bezeichnungen: Z 0 = Z : Scheinwiderstand (Impedanz) R = Re Z: Wirkwiderstand (Resistanz) X = Im Z: Blindwiderstand (Reaktanz)

110 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 110 Bemerkung: Alle in einem Wechselstromkreis erbrachte Leistung tritt am Wirkwiderstand auf, der mit dem Ohmschen (Gleichstrom-Widerstand des Verbrauchers übereinstimmt und daher ebenfalls mit R bezeichnet wird Bzgl der Blindstromproblematik siehe Beispiel 154

111 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 111 Wir wollen im Folgenden die Eigenschaften der drei in Wechselstromkreisen auftretenden Typen von Widerständen nochmals in einer Übersicht darstellen Wir gehen dabei wieder von der komplexen Darstellung von Spannung und Strom aus: u(t) = U 0 e jωt bzw i(t) = I 0 e (jωt ϕ) 1) Ohmscher Widerstand R Am Ohmschen Widerstand ist stets die Stromstärke proportional zur Spannung i(t) u(t)

112 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 112 Widerstand rein reell keine Phasendierenz zwischen Spannung und Strom 2) Kapazitiver Widerstand (Kondensator der Kapazität C): Z C = j 1 ω C Widerstand rein imaginär mit negativem Imaginärteil Blindwiderstand X C = 1 ω C ϕ = arg Z C = π 2 (Strom eilt der Spannung um π 2 voraus)

113 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 113 3) Induktiver Widerstand (Spule der Induktivität L): Z L = jωl Widerstand rein imaginär mit positivem Imaginärteil Blindwiderstand X L = ωl ϕ = arg Z L = π 2 (Strom läuft der Spannung um π 2 nach)

114 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 114 Mit dem Ohmschen Gesetz für Wechselstromkreise (15) und der komplexen Denition der Wechselstromwiderstände gemäÿ 1) - 3) können die elektrischen Gröÿen in Wechselstromkreisen nach den aus der Gleichstromlehre bekannten Kirchoschen Gesetzen (Maschenregel, Knotenregel) berechnet werden

115 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 115 Damit gilt insbesondere: a) Bei Reihenschaltung addieren sich die Widerstände Z = Z 1 + Z 2 Z 1 Z 2 b) Bei Parallelschaltung gilt: 1 Z = 1 Z Z 2 Z = Z 1 Z 2 Z 1 + Z 2 Z 1 Z 2

116 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 116 Bemerkung: Führt man wie in der Gleichstromlehre den Begri des komplexen Leitwerts Y = 1 Z = 1 Z e jϕ ein, so nehmen die obigen Regeln die folgende leicht merkbare Form an: a) Reihenschaltung: Z = Z 1 + Z 2 (Summe der Widerstände) b) Parallelschaltung: Y = Y 1 + Y 2 (Summe der Leitwerte)

117 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 117 Beispiel 126: Reihenschaltung von Spule, Kondensator und Ohmschem Widerstand i(t) R L C u(t) Beispiel 127: Zu bestimmen ist der komplexe Gesamtwiderstand der Schaltung

118 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 118 C i(t) R L u(t) Beispiel 128: Blindstromkompensation oder warum ist bei einem Elektromotor (induktiver und Ohmscher Widerstand) ein Kondensator parallel geschaltet?

119 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 119 i(t) R L u(t) Bei Gleichstrom ergibt sich die Leistung eines Verbrauchers aus dem Produkt von Spannung und Stromstärke Bei Wechselströmen ist die zeitliche Veränderung und gegebenenfalls die Phasendierenz zwischen Spannung und Strom zu berücksichtigen, d h die Leistung des Verbrauchers ergibt sich nicht einfach aus dem Produkt der Amplituden von Spannung und Strom Hier ist vielmehr der (zeitliche) Mittelwert aus dem Produkt der Momentanwerte von Spannung und Strom zu betrachten

120 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 120 Die Phasenverschiebung um ϕ reduziert also die am Verbraucher erbrachte Wirkleistung um den Faktor cos ϕ Bei vorgegebener Spannung und Leistung ieÿt bei kleinem cos ϕ (d h groÿem Winkel ϕ) ein groÿer Strom, wobei nur ein kleiner Teil für die Wirkleistung relevant ist Groÿe Ströme führen jedoch bei den Zuleitungen etc zu Verlusten, und deshalb versucht man durch einen zweiten Blindwiderstand einen Kondensator den Imaginärteil des Gesamtwiderstands (Blindwiderstand) möglichst klein zu machen

121 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 121 C i(t) R L u(t) Die Kapazität des parallel geschalteten Kondensators ist nun zu so wählen, das der Imaginärteil des Gesamtwiderstandes minimal wird Für den Gesamtwiderstand der obigen Schaltung gilt:

122 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 122 Zahlenbeispiel für einen 2000 Watt-Motor 1 : U 0 = 230V, R = 10Ω, L = 40mH, ω = 100 π 1 Bei Leuchtstoröhren ndet eine analoge Blindstromkompensation statt

123 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 123

124 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 124

125 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 125

126 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 126 Zusammenfassung: In Wechselstromkreisen mit Ohmschen Widerständen, Kapazitäten und Induktivitäten (RCL-Netzwerken) gilt bei komplexer Darstellung von Spannung und Strom u(t) = U 0 e j(ωt+ϕu), i(t) = I 0 e j(ωt+ϕ i) das Ohmsche Gesetz in der Form u = Z i, Z = Z 0 e jϕ = R + j X Die komplexe Zahl Z entspricht dem Wechselstromwiderstand und wird auch als Impedanz bezeichnet

127 15 Anwendungen der komplexen Rechnung Grenzwertverlag 127 Die Widerstände der einzelnen Schaltelemente sind gegeben durch Ohmscher Widerstand R: Z R = R Kapazität C: Z C = 1 jω C Induktivität L: Z L = jω L

128 16 Komplexe Ortskurven Grenzwertverlag Komplexe Ortskurven 161 Physikalische Beispiele In der Wechselstrom- und Regelungstechnik treten häug Gröÿen auf, die noch von einem reellen Parameter z B der Frequenz abhängen Solche Abhängigkeiten lassen sich als sogenannte Ortskurven in der komplexen Zahlenebene darstellen Im Folgenden wollen wir bei Wechselstromkreisen den Zusammenhang zwischen Frequenz und Widerstand bzw Leitwert untersuchen Wechselstromkreis mit ohmschem und induktivem Widerstand (Reihenschalt

129 16 Komplexe Ortskurven Grenzwertverlag 129 i(t) R L u(t) Bei festen Werten für den Ohmschen Widerstand R Ω und die Induktivität L ergibt sich für den komplexen Widerstand die folgende Abhängigkeit: Z(ω) = R + jωl

130 16 Komplexe Ortskurven Grenzwertverlag 130 Jedem Wert der Kreisfrequenz ω entspricht ein komplexer Widerstandszeiger, der sich in der komplexen Zahlenebene darstellen lässt Variert man ω von 0 bis, so durchläuft Z(ω) die Punkte auf der Halbgeraden x = R j Im ω 4 ω 3 ω 2 ω 1 1 ω = 0 R Wechselstromkreis mit ohmschem und kapazitivem Widerstand (Parallelschal Re

131 16 Komplexe Ortskurven Grenzwertverlag 131 i(t) R u(t) C Bei festen Werten für den ohmschen Widerstand R und die Kapazität C ergibt sich für den komplexen Widerstand die folgende Abhängigkeit: 1 Z(ω) = 1 R + jωc = 1 + jωrc R Z(ω) = R 1 + jωrc Durchläuft die Kreisfrequenz sämtliche Werte von 0 bis, so bewegt sich der komplexe Widerstandszeiger auf einer Kurve Durch eine geeignete Umformung wollen wir die Natur dieser Ortskurve deutlich machen

132 16 Komplexe Ortskurven Grenzwertverlag 132 Z(ω) = R 1 + jωrc [ = R jωrc jωrc jωrc [ = R jωrc ] jωrc [ = R ω2 R 2 C 2 ] j2ωrc 1 + ω 2 R 2 C 2 ] ( ) ( ) Der Quotient einer komplexen Zahl durch die zugehörige konjugiert komplexe Zahl hat stets den Betrag 1 Aus der Darstellung ( ) erkennt man daher leicht, dass für alle ω gilt: jωrc jωrc = 1 Damit können wir die Ortskurve geometrisch beschreiben: Ausgehend von dem Punkt R 2 auf der reellen Achse wird eine komplexe Zahl der Länge

133 16 Komplexe Ortskurven Grenzwertverlag 133 R 2 abgetragen Aus ( ) erkennt man, dass nur negative Imaginärteile auftreten können Damit bewegt sich der komplexe Widerstanszeiger auf dem unteren Halbkreis mit Radius R 2 und Mittelpunkt (R 2 0) Für ω = 0 ergibt sich der Punkt (R 0) Für ω strebt Z(ω) gegen den Nullpunkt

134 16 Komplexe Ortskurven Grenzwertverlag 134 Im j R 2 R 2 1 R Re 3 Bei Parallelschaltung eines ohmschen und induktiven Widerstands erhält

135 16 Komplexe Ortskurven Grenzwertverlag 135 man den oberen Halbkreis als Ortskurve des Widerstandszeigers Eine analoge Ortkurve ergibt sich, wenn man beim Eingangsbeispiel (Reihenschaltung von ohmschem und induktivem Widerstand) zum Leitwert übergeht Y (ω) = 1 Z(ω) = 1 R + jωl = 1 R = 1 R = 1 R j ωl R j ωl R jωl R 1 + j ωl R jωl R 1 + j ωl R

136 16 Komplexe Ortskurven Grenzwertverlag 136 Der Leitwertzeiger bewegt sich auf einem Kreis mit Radius 1 2R und Mittelpunkt ( 1 2R 0)

137 16 Komplexe Ortskurven Grenzwertverlag 137 Im 1 2R 1 1 R Re 3 Beispiel 129: Schwingkreis mit ohmschem, kapazitivem und induktivem

138 16 Komplexe Ortskurven Grenzwertverlag 138 Widerstand (Reihenschaltung) i(t) R L C u(t) Z(ω) = R + jωl + jωc 1 = R + j ( ωl ωc 1 ) U = 0 e jωt I 0 e j(ωt α) = U 0 I e jα 0 i 0 = R 2 + U 0 ( ωl 1 ωc ) 2 ; tan α = ωl 1 ωc R

139 16 Komplexe Ortskurven Grenzwertverlag 139 Resonanzfrequenz : 0 = ω 0 L 1 ω 0 C ω 0 = 1 LC Durchläuft die Kreisfrequebz ω den Bereich 0 < ω <, so bewegt sich der Widerstandszeiger auf der zur Imaginärachse parallelen Geradenx = R Zu jedem Punkt auf dieser Geraden gibt es genau eine passende Frequenzω 0 Die zugehörigen Leitwerte liegen auf einem Kreis durch den Nullpunkt und Mittelpunkt M( 1 2R Ω 0) auf der positiven reellen Achse Von technischem Interesse sind die Ausdrücke I 0 U 0 = 1 ( R 2 + ωl 1 ), α = arctan 2 ωc ωl 1 ωc R

140 16 Komplexe Ortskurven Grenzwertverlag 140 Diesen Zusammenhang nennt man Amplituden- bzw Phasenfrequenzgang MATLAB schwingkreis Für kompliziertere Wechselstromkreise fallen die zugehörigen Ortskurven für den Widerstandszeiger entprechend komplizierter aus

141 16 Komplexe Ortskurven Grenzwertverlag 141 C 2 L 2 i(t) R 1 L 1 u(t) R 2 C 1 Mit den nachfolgenden Konstanten ergibt sich eine interessante Ortskurve R 1 R 2 C 1 C 2 L 1 L 2 20 Ω 50 Ω 200 µf 100 µf 400 mh 500 mh

142 16 Komplexe Ortskurven Grenzwertverlag Parameterdarstellungen von Kurven im Komplexen Wir betrachten nun komplexwertige Funktionen, die von einer reellen Variablen meist t genannt abhängen z = z(t), mit z C und t IR wobei t a t t b

143 16 Komplexe Ortskurven Grenzwertverlag 143 Stellt man z(t) in der Komponentenform dar, so erhält Im man: z(t) = x(t) + jy(t) wobei x(t) und y(t) zwei reelle Funktionen einer reellen Variablen sind Gerade z(t 1 ) z(t 2 ) z(t 3 ) z(t) Re

144 16 Komplexe Ortskurven Grenzwertverlag 144 Im g e jϕ ϕ z(t) = z 0 + t e jϕ Durchläuft der Parameter t j z 0 sämtliche reelle Zahlen, so 1 Re bewegt sich der Zeiger z(t) auf der gesamten Geraden Kreis

145 16 Komplexe Ortskurven Grenzwertverlag 145 Im z 0 re jt t r z(t) = z 0 + r e jt Durchläuft der Parameter t den Bereich 0 t < 2 π, so Re bewegt sich der Zeiger z(t) auf dem Kreis Ellipse um Ursprung z(t) = r 1 e jt + r 2 e jt = (r 1 + r 2 ) cos t + (r } {{ } 1 r 2 ) sin t, r } {{ } 1 r 2 a b

146 16 Komplexe Ortskurven Grenzwertverlag 146 Durchläuft der Parameter t Im den Bereich 0 t < 2 π, so a b ϕ z(t) Re bewegt sich der Zeiger z(t) auf der skizzierten Ellipse Dabei ist zu beachten, dass der Parameter t nicht mit dem eingezeichneten Winkel ϕ übereinstimmt Hyperbel um Ursprung z(t) = a + bj 2 e t + a bj 2 e t = a et + e t } {{ 2 +b et e t } } {{ 2 } = cosh t = sinh t

147 16 Komplexe Ortskurven Grenzwertverlag 147 Durchläuft der Parameter t den Bereich < t <, so Im bewegt sich der Zeiger z(t) auf der skizzierten Hyperbel b ϕ a z(t) Re Wieder stimmt der Winkel ϕ nicht mit dem Parameter t überein Weiter ist zu beachten, dass dabei nur der rechte Ast dargestellt wird ( a > 0) Logarithmische Spirale

148 16 Komplexe Ortskurven Grenzwertverlag 148 z(t) = r e (a+jb)t Durchläuft der Parameter t Im den Bereich t <, t z(t) Re so bewegt sich der Zeiger z(t) auf der skizzierten Spirale Für t kommt die Spirale dem Koordinatenursprung beliebig nahe Wählt man b = 1, so stimmt der Parameter t mit dem skizzierten Winkel überein

149 17 Komplexe Funktionen einer komplexen Variablen Grenzwertverlag Komplexe Funktionen einer komplexen Variablen Bei der Diskussion von komplexem Widerstand und Leitwert stieÿen wir auf gewisse innere Zusammenhänge zwischen den Ortskurven von Widerstand und Leitwert Lagen z B die Widerstandszeiger alle auf einer Geraden, so durchliefen die komplexen Zeiger des Leitwerts stets einen Kreis Diese Beobachtung soll nun in einen allgemeineren Zusammenhang gestellt werden Wir betrachten nun komplexwertige Funktionen bei denen auch die unabhängige Variable komplex ist w = f(z); z D f C, w W f C Wählen wir die Komponentendarstellung, so gilt mit z = x + jy und w =

150 17 Komplexe Funktionen einer komplexen Variablen Grenzwertverlag 150 u + jv der Zusammenhang: w = f(z) = u(x, y) + jv(x, y) Solche funktionale Zusammenhänge lassen sich nicht in einer Ebene oder in dreidimensionalen Anschauungsraum darstellen Da sowohl Denitionsals auch Bildbereich die Dimension zwei hat, wäre zur Veranschaulichung ein vierdimensionaler Raum notwendig Um wenigstens eine gewisse Visualisierung zu erzielen legen wir zwei komplexe Zahlenebenen gekennzeichnet als z- und w-ebene nebeneinander Zu Veranschaulichung der Funktion w = f(z) markiert man zugeordnete Punkte in den beiden komplexen Ebenen:

151 18 Lineare Abbildungen Grenzwertverlag 151 y z-ebene w = f(z) z 1 z 2 v w-ebene w 1 z 3 x w 3 w 2 u 18 Lineare Abbildungen 181 Ganze lineare Funktionen w = az + b Bei der Funktion w = f(z) = az + b a, b C, konstant bewirkt die Multiplikation mit a = r e jϕ eine Drehstreckung mit Drehwinkel ϕ und Streckungsfaktor r; die Addition von b bedeutet eine Translation (Verschiebung)