Lösungen Serie 2 (Lineare Gleichungssysteme, Matrizen)

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1 Fachhochschule Nordwestschwei (FHNW Hochschule für Technik Institut für Geistes- und Naturwissenschaft Lösungen Serie 2 (Lineare Gleichungsssteme, Matrien Doent: Roger Burkhardt Klasse: Studiengang ST Büro:.63 Semester:. Aufgabe Bestimme den Rang der folgenden Matrien: Modul: Lineare Algebra Datum: HS29/ (a (b (c ( ( M = M = ( ( 2 3 II II 2 I rg (M = ( ( 2 3 II 2 I II 2 M = rg (M = II I II III 7 I III III 2 II III rg (M = 2

2 Lineare AlgebraLösungen Serie 2 (Lineare Gleichungsssteme, Matrien HS 29/ (d M = II II I III III I IV IV I III 2 III II IV IV I 3 2 (e (f M = rg (M = II II 2 I III III 3 I III 3 III 2 II IV 3 IV 5 II M = rg (M = Seite 2 /

3 Lineare AlgebraLösungen Serie 2 (Lineare Gleichungsssteme, Matrien HS 29/ III II 7 III IV 3 II 7 IV V 5 II V IV III 5 IV V 5 V III V V IV II 5 I II III 3 I III IV I + IV V 3 I V rg (M = 5 2. Aufgabe Zeige, dass die Vektoren a = 2, b =, c = linear abhängig sind und stelle den Vektor c als Linearkombination der beiden anderen Vektoren dar. Der Rang der Matri 2 9 II II 2 I IV I IV rg III III II = 2 Seite 3 /

4 Lineare AlgebraLösungen Serie 2 (Lineare Gleichungsssteme, Matrien HS 29/ gibt die Zahl der linear unabhängigen Vektoren (Rang = Spaltenrang an. Die gesuchte Linearkombination führt auf ein lineares Gleichungssstem: a + b = c = ( Bei der Rang Berechnung ergab sich die Zeilen-Stufenform: 3. Aufgabe = = ; = Bestimme die Werte von k derart, dass die folgenden linearen Gleichungsssteme eine eindeutige Lösung, unendliche viele Lösungen bw. keine Lösungen hat: (a ( k k ( k k ( ( k k = 9 9 ( ( k k 2 Für k 2 (also k ± liegt ein reguläres Sstem (eine Lösung vor. L = {(, } Bei k = ± dementsprechend ein singuläres Sstem. Einseten dieser Werte eigt, dass in beiden Fällen die Ränge von Koeffiienten- und erweiterter Koeffiientenmatri übereinstimmen und somit unendlich viele Lösungen vorliegen: k = : ( rg (A = rg (A b = L = {(, R 2 : (, } Seite /

5 Lineare AlgebraLösungen Serie 2 (Lineare Gleichungsssteme, Matrien HS 29/ (b (c k = : ( rg (A = rg (A b = L = {(, R 2 : (, } k k k Mit dem Gauss schen Algorithmus: = Nr. Bek. Op. I k II k III k I k- k 2 - k- kiii-i II k- -k II-III I (k (k + 2 k- I -II Somit erhalten wir das äquivalente Sstem: k k k (k (k + = k Eindeutige Lösung (Fall I. Dau muss der Rang der Matri gleich der Anahl der Unbekannten sein, also 3. k k (k (k + k ± Also darf k nicht gleich ± sein, damit dass Sstem eine eindeutige Lösung besitt. Seten wir nun k =, so erhalten wir: = Hier ist der Rang der Matri nur noch gleich Eins. Somit ist das Sstem singulär. Da jedoch der Rang der Koeffiientenmatri mit dem Rang der erweiterten Koeffiienten Matri übereinstimmt, gibt es unendlich viele Lösungen (die Lösungsmenge beschreibt eine Ebene im R k 2 k Mit dem Gauss schen Algorithmus: = 3 2 Seite 5 /

6 Lineare AlgebraLösungen Serie 2 (Lineare Gleichungsssteme, Matrien HS 29/ Nr. Bek. Op. I -3-3 II 2 k - -2 III 2 k II k 5 II-2*I III 2 k+3 III-I II k 2 +3k- k-8 kiii -2II Somit erhalten wir das äquivalente Sstem: 3 2 k + 3 (k + 5 (k 2 = 3 (k 2 Eindeutige Lösung (Fall I. Dau muss der Rang der Matri gleich der Anahl der Unbekannten sein, also 3. (k + 5 (k 2 k 5, k 2 2 Also darf k nicht gleich 5 bw. 2 sein, damit dass Sstem eine eindeutige Lösung besitt. Seten wir nun k = 5, so erhalten wir: = 3 28 Hier ist der Rang der Matri nur noch gleich Zwei. Somit ist das Sstem singulär. Da der Rang der Koeffiientenmatri nicht mit dem Rang der erweiterten Koeffiienten Matri übereinstimmt, gibt es keine Lösungen (die Lösungsmenge ist leer. Seten wir nun k = 2, so erhalten wir: 2 5 = (d Hier ist der Rang der Matri ebenfalls 2. Somit ist das Sstem singulär. Da jedoch der Rang der Koeffiientenmatri mit dem Rang der erweiterten Koeffiienten Matri übereinstimmt, gibt es unendlich viele Lösungen (die Lösungsmenge beschreibt eine Gerade im R k 2 k 2 k 2 k a b c d = k Seite 6 /

7 Lineare AlgebraLösungen Serie 2 (Lineare Gleichungsssteme, Matrien HS 29/ Zeilen-Stufen-Form (mit Gauss: 2 + k 2 k 2 k 2 k k III III (2 + k I IV IV 2 I III IV (2 k III 2 (2 + k II k (2 + k (2 k IV ( + 2k III I III 2 k 2 k 2 + k 2 k k 2 k 2 k 2 (2 + k k (2 + k (2 + k + 2k 2 k k 2 k 2 k k (2 + k (2 k (2 + k (2 k + 2k 2 k k 2 k 2 k k (2 + k (2 k (2 + k (2 k (2 + k (2 k (k 2 + k 2 (2 + k (2 k Reguläres Sstem (rg (A =, d.h. die Diagonalelemente müssen ungleich Null sein! (2 + k (2 k ( k 2 + Singuläres Sstem (rg(a < : Mit k = 2: k 2 k 2 k = 2 k = 2 k = rg(a = rg(a b = Es gibt unendlich viele Lösungspunkte (dim (L =. Mit k = 2: rg(a = rg(a b = Es gibt unendlich viele Lösungspunkte (dim (L =. Seite 7 /

8 Lineare AlgebraLösungen Serie 2 (Lineare Gleichungsssteme, Matrien HS 29/. Aufgabe Drei Punkte der Ebene, die nicht auf einer Geraden liegen, bestimmen einen Kreis (Gleichung a ( b + c =. Bestimme die Kreisgleichung des Kreises durch die drei Punkte A (,, B (, 2 und C (3, 3. Die linearen Gleichungen durch Einseten der Punkte finden: 2 a 6 2 b = c Die Lösungen lauten: L = Und somit die Kreisgleichung: { ( (a, b, c IR 3 : 7 5, 26, 67 } ( = = Mit MATLAB: %MATLAB-Lösung u Serie 2 / Aufgabe : %Punkte (mit Ortsvektoren: ra=[,] rb=[,2] rc=[3,-3] Seite 8 /

9 Lineare AlgebraLösungen Serie 2 (Lineare Gleichungsssteme, Matrien HS 29/ %Allgemeine Kreisgleichung: sms a b c k gl=a*(ˆ2+ˆ2+b*+c*- gl=subs(k gl,[,],ra gl2=subs(k gl,[,],rb gl3=subs(k gl,[,],rc %direkte Lösung mit solve [a,b,c]=solve(gl,gl2,gl3 %Kreisgleichung durch die drei Punkte: gl ges=subs(k gl,{ a, b, c },{a,b,c} %Visualisierung: eplot(gl ges,[,25,-,2] hold on plot(ra(,ra(2, *r plot(rb(,rb(2, *r plot(rc(,rc(2, *r 5. Aufgabe Drei Zahnräder eines Getriebes haben usammen 8 Zähne. Bei ehn Umdrehungen des ersten Rades drehen sich das weite 8- und das dritte 5-mal. Wieviele Zähne hat jedes Rad? Gleichungen: = 8 = 8 2 = 5 3 Lineares Gleichungssstem: = 8 Seite 9 /

10 Lineare AlgebraLösungen Serie 2 (Lineare Gleichungsssteme, Matrien HS 29/ Die drei Zahnräder haben somit 5, 25 und Zähne. Seite /