Aufgabe 1 (a) Bestimmen Sie die Schnittgerade der beiden Ebenen gegeben durch 3x y 2z 5 = 0 und x y 4z 3 = 0.

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1 Mathematik I für Naturwissenschaften Dr. Christine Zehrt Übung 10 (für Pharma/Geo/Bio) Uni Basel Besprechung der Lösungen: 26. November 2018 in den Übungsstunden Aufgabe 1 (a) Bestimmen Sie die Schnittgerade der beiden Ebenen gegeben durch 3x y 2z 5 = 0 und x y 4z 3 = 0. (b) Geben Sie zwei Ebenen an, welche sich schneiden in der Geraden 7 4 r = 5+t 2, t R. 0 1 (c) Welche Länge hat der Vektor v = ( 15 v der Länge 1. Aufgabe 2 Gegeben ist das lineare Gleichungssystem 3 2 ) in R 4? Bestimmen Sie einen Vektor parallel zu 2x+5y = 8 ax 10y = b. Wählen Sie reelle Zahlen a,b so, dass das Gleichungssystem (a) genau eine Lösung, (b) unendlich viele Lösungen und (c) keine Lösung hat. Aufgabe 3 Lösen Sie mit Hilfe des Gauß-Algorithmus das lineare Gleichungssystem x+2y + 4z = 8 5x+7y +15z = 12 2x+3y + 7z = 10 Schreiben Sie bei jedem Schritt die durchgeführte Zeilenumformung hin (wie in der Vorlesung). Aufgabe 4 (a) Führen Sie den Gauß-Algorithmus für das lineare Gleichungssystem x 1 x 2 +4x 3 +4x 4 = 3 x 1 +8x 3 5x 4 = 0 2x 1 +x 2 +20x 3 19x 4 = 9 durch. Gibt es Lösungen? Wenn ja, geben Sie sie an.

2 (b) Lösen Sie mit Hilfe des Gauß-Algorithmus das lineare Gleichungssystem x 1 +2x 2 +4x 3 +7x 4 = 6 2x 1 +4x 2 +6x 3 +8x 4 = 10 x 1 +2x 2 5x 4 = 2 x 1 +2x 2 +2x 3 + x 4 = 4 Aufgabe 5 Die folgenden Matrizen sind erweiterte Matrizen (A b) von linearen Gleichungssystemen. Bestimmen Sie die Anzahl der Lösungen der linearen Systeme. (a) (b) Zusatzaufgaben Aufgabe 6 Hat das Gleichungssystem x+2y +2z = b 1 2x+2y +3z = b 2 3x+4y +5z = b 3 für beliebige reelle Zahlen b 1,b 2,b 3 eine Lösung? Aufgabe 7 Was kann über die Anzahl der Lösungen eines linearen Gleichungssystems mit 3 Gleichungen in 5 Unbekannten gesagt werden? Begründen Sie Ihre Antwort. Was gilt, falls das System homogen ist? Aufgabe 8 Für welche Werte der reellen Zahl a hat das lineare Gleichungssystem x+ 9y = 3 2x+2a 2 y = 2a keine Lösung, genau eine Lösung, bzw. unendlich viele Lösungen? Beschreiben Sie die verschiedenen Fälle geometrisch. Aufgabe 9 Sei a eine reelle Zahl und A die Matrix 1 1 a A = 1 a 1. a 1 1 Bestimmen Sie den Rang rg(a) der Matrix A in Abhängigkeit von a (d.h. für welche Werte von a ist rg(a) = 0, 1, 2 bzw. 3).

3 Lösungshinweise Aufgabe 1 (a) Wie im Beispiel auf Seite 120 des Skripts. Gesucht ist eine Parametergleichung der Schnittgeraden. (b) Am einfachsten gibt man die beiden Ebenen durch Parametergleichungen an. Der Ortsvektor und der eine Richtungsvektor der Ebenen kann so gewählt werden, dass die angegebene Gerade auf den Ebenen liegt. Bei der Wahl des zweiten Richtungsvektors ist man frei. (c) Die Länge von v gemäss Formel von Seite 121 des Skripts. Hat v die Länge 2, dann ist der halbe Vektor 1 2 v parallel zu v und hat die Länge 1. Wie erhält man also einen zu v parallelen Vektor der Länge 1? Aufgabe 2 Analog zu den Beispielen auf den Seiten Für (b) muss die zweite Gleichung ein Vielfaches der ersten Gleichung sein, für (c) müssen sich die beiden Gleichungen widersprechen. Aufgabe 3 Analog zum 1. Beispiel auf den Seiten des Skripts (die Übersetzung der Matrizen durch lineare Gleichungssysteme nach jedem Schritt braucht man nicht hinzuschreiben). Aufgabe 4 Gauß-Algorithmus analog zu den Beispielen auf den Seiten des Skripts. Aufgabe 5 Satz 7.2 (Seite 130) anwenden, analog zu den Beispielen auf Seite 131. Aufgabe 6 (Zusatzaufgabe) Eventuell erkennt man direkt einen Zusammenhang der drei Gleichungen. Wenn nicht, hilft der Gauß-Algorithmus. Aufgabe 7 (Zusatzaufgabe) Satz 7.2 (Seite 130) anwenden; Satz 7.3 beachten, falls das System homogen ist. Aufgabe 8 (Zusatzaufgabe) Zunächst kann die zweite Gleichung durch 2 dividiert werden. Dann entweder direkt durch Ausprobierenvon Werten von a undgeometrischen Überlegungen (ähnlich wiein denbeispielen auf den Seiten 122 und 123 des Skripts) oder man führt den Gauß-Algorithmus durch. Aufgabe 9 (Zusatzaufgabe) Definition des Ranges einer Matrix: Seite 130 des Skripts. Für welche reelle Zahl a die Matrix A den Rang 1 hat, sieht man (ev.) ohne zu rechnen. Für weitere Aussagen lohnt es sich jedoch, die Matrix mit Hilfe des Gauß-Algorithmus auf Zeilenstufenform zu bringen. Anschliessend muss man untersuchen, für welche Werte von a wieviele Nullzeilen auftreten.

4 Ergebnisse Aufgabe 1 (a) Eine mögliche Parametergleichung der Schnittgeraden lautet x 1 1 r = y = 2+t 5, t R. z 0 1 (b) Zum Beispiel E 1 : r = 5+s 2+t0 und E 2 : r = 5+s 2+t für s, t R. Der Ortsvektor und der erste Richtungsvektor sind gleich dem Ortsvektor und dem Richtungsvektor der Geraden. (c) Länge v = ( 3) = 39. ( 15 ) 1 Parallel zu v der Länge 1 ist der Vektor 39 v = Aufgabe 2 (a) Zum Beispiel a = 4, b = 0 = x = 2, y = 4 5 (b) a = 4, b = 16 ist die einzige Möglichkeit (damit die zweite Gleichung ein Vielfaches der ersten Gleichung ist). ( ) ( ) ( ) x 4 5 = y = t R, x = t, bzw. = +t, t R. y 0 2 (c) a = 4 und zum Beispiel b = 0 (jedes b 16 erfüllt die Bedingung). Aufgabe 3 Zum Beispiel so (im 2. Schritt lohnt es sich, vom Gauß-Algorithmus abzuweichen, um Brüche zu vermeiden): (A b) = z 2 z 3 z 3 = 1 2 z 3 z 2 = z 2 z 3 z 1 = z 1 4z z 2 = z 2 5z 1 z 3 = z 3 2z 1 z 3 = z 3 +3z Matrix in Zeilenstufenform z 1 = z 1 2z 2 Matrix in reduzierter Zeilenstufenform = x = 14, y = 1, z =

5 Aufgabe 4 (a) Es gibt keine Lösung. Die dritte Zeile der erweiterten Matrix in Zeilenstufenform (d.h. nach Durchführung des Gauß-Algorithmus) ist ( ). Als Gleichung bedeutet diese Zeile 0 = 1, was ein Widerspruch ist. (b) x 4 = t R (beliebig), x 2 = s R (beliebig), x 3 = 1 3t, x 1 = 2+5t 2s Andere Schreibweise: x x = x 2 x 3 = 0 1 +s 1 0 +t x , s,t R (Geometrisch bedeutet dies eine Ebene im 4-dimensionalen Raum.) Aufgabe 5 (a) rg(a) = rg((a b)) = 3 = genau eine Lösung (gemäss Satz 7.2) (b) rg(a) = 2 3 = rg((a b)) = keine Lösung Aufgabe 6 (Zusatzaufgabe) Nein, nur falls b 3 = b 1 +b 2. Wir führen einen Schritt des Gauß-Algorithmus durch: (A b 1 b) = b b 3 z 2 = z 2 2z 1 z 3 = z 3 3z b b 2 2b b 3 3b 1 Damit sich die zweite und die dritte Zeile nicht widersprechen, muss gelten b 2 2b 1 = b 3 3b 1. Daraus folgt b 3 = b 1 +b 2. Spätestens jetzt sieht man, dass die linke Seite der 3. Gleichung die Summe der linken Seiten der 1. und 2. Gleichung ist. Aufgabe 7 (Zusatzaufgabe) Für die Koeffizientenmatrix A gilt rg(a) 3, das heisst rg(a) 5 = Anzahl Unbekannte. Das lineare System hat also entweder keine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Im zweiten Fall hat das System mindestens 2 freie Parameter, da 5 rg(a) 2. Ein homogenes System hat stets mindestens eine Lösung (die triviale). Ein homogenes System mit 3 Gleichungen in 5 Unbekannten hat also immer unendlich viele Lösungen. Aufgabe 8 (Zusatzaufgabe) 1. a = 3 = unendlich viele Lösungen 2. a = 3 = keine Lösung

6 3. a ±3 = genau eine Lösung Die Gleichungen beschreiben Geraden in der Ebene, welche 1. übereinstimmen 2. parallel zueinander sind und 3. sich genau in einem Punkt schneiden. Der Gauß-Algorithmus führt auf die erweiterte Matrix ( ) a 2. 9 a 3 Aufgabe 9 (Zusatzaufgabe) Wir formen die Matrix A mit Hilfe des Gauß-Algorithmus um: A z 2 = z 2 z 1 z 3 = z 3 az a 0 a 1 1 a 0 1 a 1 a 2 z 3 = z 3 +z a 0 a 1 1 a 0 0 (a 2 +a 2) Wegen (a 2 +a 2) = (a+2)(a 1) folgt: a = 1 = rg(a) = 1 (2 Nullzeilen) a = 2 = rg(a) = 2 (1 Nullzeile) a 1, a 2 = rg(a) = 3 (keine Nullzeilen)