Fit in Mathe. Januar Klassenstufe 12 Ebenen

Transkript

1 Thema Musterlösungen Ebenen Das Foto zeigt einen Eimerkettenbagger im Braunkohletagebau. Beim Schürfen bewegt sich der Bagger in Richtung des Vektors u und die Eimerkette wird in Richtung des Vektors v gezogen. Der Bagger erzeugt auf diese Weise ein Stück einer Ebene (siehe Skizze). Parameterdarstellung der Ebene E: x a + r u + s v Mit A 4 5, B 4 und C 4 5 ergibt sich folgende Ebenengleichung: E: x 4 5 r s 5 Der Geländepunkt Q,5 9 7,5 liegt in der Ebene, die der Eimerkettenbagger erzeugt. Bestimme r und s. Wenn der Punkt in der fraglichen Ebene liegt, muss es r und s geben, so dass,5,5 r,5 r 9 4 r s 9 4 s 9 4 s 7, ,5 5 5 s 7,5 5 5 s Als en des Gleichungssystem erkennt man r,5 und s,5. Der Quotient von s/r ist, also Buchstabenpaar UN. Wer am Ende seiner Schulzeit alle ""-Aufgabenblätter eigenständig und erfolgreich bearbeiten kann, erfüllt

2 Musterlösungen Welche Parameterform hat die Ebene E ABC mit A, B 7 und C 5? Überprüfe, ob die folgenden Punkte in der Ebene liegen. a) P 7 5 b) Q 8 Die Ebene E ABC ist darstellbar als E ABC : x r 7 s 5 r s zu a) Der Punkt P liegt in der Ebene, wenn es r und s gibt, so dass 7 5 r s r s r s 4 rs mit r, s R ist. Die Addition von Gleichung I und III ergibt s s. Einsetzen in II ergibt: 7 r r 7, aber durch Einsetzen von s in in III erhält man als für r: 8 r r 8. Beides kann nicht sein, also ist das Gleichungssystem nicht lösbar und deswegen der Punkt nicht in der Ebene. zu b) Wie unter a) liegt der Punkt in der Ebene, wenn es r und s gibt mit 8 r s r s r s 7 r s I + III : s s. Einsetzen in II: r r 5 und das löst auch die Gleichung I, denn Einsetzen von r und s in I ergibt: 5. Also ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar und deswegen liegt der Punkt in der Ebene. Die Summe der gefundenen en für r und s ist -4, also Buchstabenpaar IV. Welche Lage haben die Geraden g und h zur Ebene E? E: x r s g: x t h: x 4 u 5 Wer am Ende seiner Schulzeit alle ""-Aufgabenblätter eigenständig und erfolgreich bearbeiten kann, erfüllt

3 Musterlösungen Es gibt drei Möglichkeiten für die gegenseitige Lage: a) Ebene und Gerade haben genau einen gemeinsamen Punkt, d.h. es gibt genau eine für die Parameter r, s und t bzw. u, wenn man die Parameterdarstellungen von Ebene und Gerade gleichsetzt. b) Ebene und Gerade sind parallel zueinander mit einem Abstand größer Null, d.h. es gibt keine r,s und t bzw. u bei Gleichsetzen der Parameterdarstellungen. c) Die Gerade liegt in der Ebene, d.h. bei Gleichsetzen der Parameterdarstellungen gibt es eine, die allerdings nicht eindeutig ist. Für jeden Parameterwert der Gerade gibt es en r und s der Ebenenparameter. Zur Lage von E und g: r r s r r s t t t s t r s t rt r st Die Addition der Gleichungen I und III ergibt: s. Mit diesem s ergibt sich aus der Gleichung I: r t. Man sieht, dass man für t einen beliebigen Wert einsetzen kann und erfüllt damit auch die Gleichung II. Das Gleichungssystem hat unendlich viele en, die Gerade g liegt also in der Ebene E. Zur Lage von E und h Wieder setzen wir die Parameterdarstellung gleich und erhalten: 4 r s t 5 r s r r s 4t 5t rs t r5t r s Aus der Gleichung II folgt: t 5 r 5 und aus III.: s 4 r. Beides in die Gleichung I eingesetzt ergibt: r 4 r 5 r 5 9 r r. Und daraus folgt: t 5 5 und s 4 Es gibt also genau einen gemeinsamen Punkt und dieser hat die Koordinaten: Wer am Ende seiner Schulzeit alle ""-Aufgabenblätter eigenständig und erfolgreich bearbeiten kann, erfüllt

4 Musterlösungen 4 P 5 Die Gerade durchstößt die Ebene. Die Summe der Koordinaten des Durchstoßpunktes ist, also Buchstabenpaar ER. Ein Taucher befindet sich im Punkt Meter) und bewegt sich in Richtung des Vektors v Wasseroberfläche (x y-ebene) taucht er auf? P 5 unter Wasser (Angaben in. In welchem Punkt der Die Gerade, auf der sich der Taucher bewegt, hat die Parameterdarstellung: 5 t. Im Auftauchpunkt ist die z-komponente, also erhält man das Gleichungssystem: 5 t x t y. t Aus Gleichung III folgt t und daraus ergibt sich für den gesuchten Punkt Die Summe der Koordinaten des Auftauchpunktes ist 9, also Buchstabenpaar SI. Die Gerade g: x s ist die Schnittgerade der beiden Ebenen E und E. Gib Parametergleichungen der beiden Ebenen an, wobei der Punkt P 5 in E und Q in E liegen soll. Wenn die beiden angegebenen Punkte nicht auch auf der Gerade liegen, so spannen sie jeweils zusammen mit zwei beliebigen Geradenpunkten eine Ebene auf. Angenommen 5 s 5 s s s. Wer am Ende seiner Schulzeit alle ""-Aufgabenblätter eigenständig und erfolgreich bearbeiten kann, erfüllt

5 Musterlösungen 5 Aus der. Komponente folgte s, aber das erfüllt die beiden anderen Komponentengleichungen nicht, also liegt der Punkt nicht auf der Geraden. Man kann deswegen als einen zweiten nicht kollinearen Richtungsvektor für die Ebene E den Vektor vom Stützvektor der Geraden zu diesem Punkt nehmen, also: v 5, somit ist die Ebene E : x r s. In gleicher Weise muss man prüfen, wie es sich mit dem Punkt Q verhält. Wieder s nehmen wir an, es gäbe ein s mit s s. Aus der s ersten Komponente würde folgen s, aber das erfüllt die anderen beiden Gleichungen nicht, also liegt auch dieser Punkt nicht auf der Geraden. Analog zum ersten Fall kann man als zweiten nicht-kollinearen Richtungsvektor konstruieren: w,somit ist die Ebene E : x r s. Das Produkt der Koordinaten des. Richtungsvektors von Ebene E ist -8, also Buchstabenpaar TA. (So war es mit der szahl gemeint, die Kritik ist aber berechtigt, dass diese Zahl nicht eindeutig ist, denn es gibt beliebig viele andere. Richtungsvektoren für dieselbe Ebene). Gegeben ist ein Dreieck mit den Ecken A 7, B 8 5 und C 7 5. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks (Koordinaten in cm). Der Vektor AB und dessen Länge: c AB 9 5. Der Vektor AC und dessen Länge: b AC. Wer am Ende seiner Schulzeit alle ""-Aufgabenblätter eigenständig und erfolgreich bearbeiten kann, erfüllt

6 ER Musterlösungen Das Skalarprodukt der beiden obigen Vektoren ist: 9 9, also stehen sie senkrecht aufeinander. Die Fläche des von ihnen aufgespannten Dreiecks ist demnach: F AB AC 5 5 Der Flächeninhalt beträgt 5 cm²,,also Buchstabenpaar ET. 9 NR 5 ET 4 IE en mit Kennsilben -4 IV -8 TA swort: UNIVERSITAET (Expertenaufgabe) Welche der drei Ebenen ist parallel oder identisch zur Ebene E ABC in der Zeichnung? E : x E : x 8 E : x { r r x y z s s / x y z } ST UN 5 SE Die Vergleichsebenendarstellung mit Stütz- und Richtungsvektoren ist in Parameterform: x V : y t 4 u 4 t u z Die Ebenen E und E können geschrieben werden als: E r s r s und E 8 r s r s mit jeweils r, s R 9 SI 4 u t u 4 t - UD - EI mit t,u R. Wer am Ende seiner Schulzeit alle ""-Aufgabenblätter eigenständig und erfolgreich bearbeiten kann, erfüllt

7 Musterlösungen 7 zu V und E ) Ob und welche gemeinsamen Punkte es zwischen der Vergleichsebene V und der Ebene E gibt, wird durch den Ansatz 4 u tu 4 t r s r s r s u r t u st ermittelt. Das ist ein lineares Gleichungssystem mit Gleichungen und 4 Unbekannten. Die durch den Ergebnisvektor erweiterte Koeffizientenmatrix ist Mit dem Gauß-Algorithmus bringen wir diese in Obere Dreiecks -Gestalt: In der letzten Zeile beginnend kann man das u frei wählen und die smenge von unten nach oben einsetzend dann angeben als: t 5 5 u, s u u u s 5 5 u r 5 5 u u r u. Da r und s von einem Parameter -nämlich u- abhängig sind, wird durch die smenge eine Schnittgerade beschrieben. Zu V und E ) Ob und welche gemeinsamen Punkte es zwischen der Vergleichsebene V und der Ebene E gibt, wird durch den Ansatz 4 u t u 4 t 8 r s r s r s u r t u 4 s t ermittelt. Das ist ein lineares Gleichungssystem mit Gleichungen und 4 Unbekannten. Die durch den Ergebnisvektor erweiterte Koeffizientenmatrix ist 4 Wer am Ende seiner Schulzeit alle ""-Aufgabenblätter eigenständig und erfolgreich bearbeiten kann, erfüllt

8 Musterlösungen 8 Mit dem Gauß-Algorithmus bringen wir diese in Obere Dreiecks -Gestalt: Die letzte Zeile ist aber unlösbar, da alle Koeffizienten sind, während die Komponente des Ergebnisvektors ungleich ist. Es gibt keinen gemeinsamen Durchschnitt von V und E und daher müssen beide Ebenen parallel sein. Zu V und E ) E ist in Gleichungsdarstellung gegeben. Es ist zu prüfen, ob diese für geeignete Werte t,u der Vergleichsebene erfüllbar ist d.h. xyz 4 u t u 4 t utu8 t u u d.h. setzt man u bei freiem Parameter t, so wird eine Gerade beschrieben, die die Gleichungsdarstellung der Ebene E erfüllt. Sie ist somit die Schnittgerade. V und E schneiden sich. Wer am Ende seiner Schulzeit alle ""-Aufgabenblätter eigenständig und erfolgreich bearbeiten kann, erfüllt