Lineares Gleichungssystem - n = 3

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1 Lineares Gleichungssystem - n = 3. Problemstellung Für Unbekannte ist das Gleichungssystem geometrisch äquivalent der Suche nach einem Schnittpunkt zweier Geraden in R. Für 3 Unbekannte ist das Äquivalent die Suche nach einem Schnittpunkt dreier Ebenen in R 3. Für n = gab es nur 3 Möglichkeiten: a) die Geraden schneiden sich, b) sind parallel, c) sind äquivalent. Für n = 3 gibt es Möglichkeit für gemeinsamen Punkt, den Schnittpunkt. Die Lösung des Linearen Gleichungssystems enthält dann keinen Parameter. Es gibt Möglichkeit, dass 3 Ebenen identisch sind. Dazu kommt eine Reihe anderer Situation, zwei parallele Ebenen, verschiedene Schnittgeraden, usw.. Allgemein gültige Entscheidung n = Anzahl der Unbekannten rang(a) = rang(a c) = n Lösung rang(a) = rang(a c) < n Lösungen (freie Parameter) rang(a) rang(a c) keine Lösung "Lösung" bedeutet geometrisch Schnittpunkt. Damit ist vor einer detaillierten Angabe klar, dass " Lösung" einem Schnittpunkt der 3 Ebenen entspricht, " Lösungen" Schnittgerade oder identische Ebene bedeuten muss und unter "keine Lösung" die parallele Ebene vorkommen muss. Die verschiedenen geometrischen Möglichkeiten werden konkret gezeigt und mit jeweils einem Zahlenbeispiel vorgerechnet. Welche Ränge sind bei überbestimmten Gleichungssystemen - entsprechend mehr als drei Ebenen - möglich? Der Rang der Koeffizientenmatrix ist maximal 3. Es liegen 3 Spalten vor. Damit ist der Spaltenrang maximal 3. Für mehr als 3 Zeilen ist daher der Zeilenrang auch maximal 3. (Rang = Spaltenrang = Zeilenrang!) Es liegt lineare Abhängigkeit vor, die nur "mit einem Blick" nicht mehr einfach zu erkennen ist. Der Rang der erweiteren Matrix ist maximal 4. Es liegen 4 Spalten vor. Auch hier muss für mehr als 4 Zeilen eine lineare Abhängigkeit bestehen. Eine vorhandene Lösung (gleiche Ränge) kann durch eine weitere Zeile verschwinden, aber nicht neu durch eine weitere Zeile entstehen. Die geometrischen Situationen bei überbestimmten Gleichungssystemen enthalten Kombinationen der 8 Grundtypen des Systems mit 3 Zeilen. Z5 Lineares Gleichungssystem, n = 3 - Seite (von 8)

2 3. Detaillierte Entscheidung (3 Gleichungen, also 3 Ebenen) Fall rang(a) rang(a c) geometrisch (Lage Ebenen) verschieden Schnittpunkt A 3 parallel, 3. schneidet parallele Schnittgeraden B 3 3 verschieden 3 verschiedene Schnittgeraden 3A 3 verschieden gemeinsame Schnittgerade 3B identisch, 3. schneidet Schnittgerade 4A 3 parallel kein Schnitt-Objekt 4B identisch, 3. parallel Schnittebene 5 3 identisch gemeinsame Schnittebene Z5 Lineares Gleichungssystem, n = 3 - Seite (von 8)

3 4. Beispiele Die Ebenen entsprechen den Zeilen des Linearen Gleichungssystems, sind damit also als Koordinatengleichung definiert. Die verschiedenen Ebenen werden den Zeilen zugeordnet, Zeile steht also für E, usw. Bekannt ist, dass eine parallele Ebene vorliegt, wenn die Koeffizienten (linke Seite in der Koordinatengleichung) einer Ebene Vielfache der Koeffizienten der anderen Ebene sind. Identisch sind Ebenen dann, wenn alle Koeffizienten (linke + rechte Seite) Vielfache sind. Bekannt ist, dass in R 3 eine Gerade nicht als Koordinatengleichung definiert werden kann. Es muss als Ergebnis der Rechnung eine Parameterform g: x = a + t u entstehen. Bei linear abhängigen Zeilen kann irgendein Vielfaches in den Zeilen, z.b. "4 8 6" anstelle von " 3 4", stehen oder eine Linearkombination der anderen Zeilen. In den Beispielen wird jeweils eine einfache Möglichkeit angeschrieben. Bei der Erzeugung der Stufenform kann ein Umsortieren der Zeilen nötig sein. In den Beispielen wird die Ausgangsmatrix so angegeben, dass "ohne langes Überlegen" eine sinnvolle Stufenform entsteht. ) 3 verschiedene Ebenen - Schnittpunkt ) ( ( ) rang (A) = 3, rang(a c) = 3 z = 5; y = = 8; x = = ; Schnittpunkt S( 8 5) L = {Schnittpunkt S} Nur als Kontrolle und zur "Illustration", nicht als vorgeschlagener Rechenweg: Jeweils Ebenen haben eine Schnittgerade, dann Schnittpunkt dieser Geraden. Schnittgeraden g : ( ) ( freier Parameter, sei z = t y = -7 + t; x = t - 3 t = -5 t +; g : x = ( g 3 : ( ) ( freier Parameter, sei y = t z = t; x = 6 - t t = -7 t +36; g 3 : x = ( g 3 : ( ) ( freier Parameter, sei y = t z = t; x = 54-3 t t = -9 t +7; g 3 : x = ( 7 3 Z5 Lineares Gleichungssystem, n = 3 - Seite 3 (von 8)

4 Schnittpunkt (g /g 3 ): ( )+ s ( -5 s + 7 t = 6 / s - t = 7 / s - 5 t = = ( Zeile,: s = 7 + t; t + 7 t = 6; t = 8; s = 5; 3. Zeile: 5-4 = -5 Schnittpunkt (g /g 3 ): s = ( Schnittpunkt (g /g 3 ): ( )+ s ( )+ 5 ( -5 s + 9 t = -3 / s - t = 7 / s - 3 t = -9 = ( = ( ); s = ( )+ 8 ( 7 = ( 8 ) 5 5 Zeile,: s = 7 + t; t + 9 t = -3; t = 8; s = 5; 3. Zeile: 5-4 = -9 Schnittpunkt (g /g 3 ): s = ( Schnittpunkt (g 3 /g 3 ): ( 36 5 )+ 5 ( )+ s ( = ( = ( 5-7 s + 9 t = -64 / s - t = / 5 s - 3 t = 6 ); s = ( 3 7 )+ 8 ( Zeile,: s = t; -7 t + 9 t = -64; t = 8; s = 8; 3. Zeile: 4-4 = 6 Schnittpunkt (g 3 /g 3 ): s = ( 36 5 )+ 8 ( 7 = ( ); s = ( 7 )+ 8 ( = ( 8 ) 3 5 = ( 8 ) 3 5 A) parallele Ebenen, 3. schneidet - Schnittgeraden ) ( ) 3 5 rang (A) =, rang(a c) = 3 Widerspruch, Lösungsmenge L = {} Lösung mit freiem Parameter für E und E z = ; x + y + 6 = 4; Parameter y = t; x = - t - geordnet: Schnittgerade g : x = ( Das ist die Schnittgerade der Ebenen E und E. Weil E 3 parallel zu E ist, gibt es auch noch eine Schnittgerade E und E 3. ( ) ( 4 6 geordnet: g : x = ( ) z = ; x + y + 4 = 6; y = t; x = - t ) Dies ist eine zu g parallele Schnittgerade. Z5 Lineares Gleichungssystem, n = 3 - Seite 4 (von 8)

5 Kontrolle: E und E 3 schneiden sich nicht: ( ) ( 4 6 ) Widerspruch erhalten, kein Schnitt-Objekt. B) 3 verschiedene Ebenen, - 3 Schnittgeraden ) ( 5 ) ( 5 ) Zeile 3 enthält einen Widerspruch, keine Lösung, L = {} rang(a) =, rang(a c) = 3 rang(a) =, rang(a c) = 3: 3 verschiedene Ebenen liegen vor, bei den Normalen muss aber eine lineare Abhängigkeit bestehen. Hier ist z.b. E 3 = 4 E - E. Schnittgeraden zwischen jeweils Ebenen: g : ( ) ( 3 4 ) freier Parameter, sei z = t. 5 5 y + t = ; y = - /5 t; x /5 t + 3 t = 4; x = -3/5 t geordnet: x = ( 3/5 /5 ) g : x = ( 3 g 3 : ( ) ( 3 4 ) freier Parameter, sei z = t y + 3 t = ; y = /5 - /5 t; x + /5 - /5 t + 3 t = 4; x = -3/5 t + 38/5 geordnet: x = ( 38/5 /5 3/5 /5 ) g 3 : x = ( 38/5 /5 3 (Eine "schönere" Angabe für den Aufpunkt wäre möglich, ist aber nicht nötig für diese Aufgabe.) g 3 : ( 5 5 ) ( ) freier Parameter, sei z = t. 5 y + t = -9; y = -9/5 - /5 t; x + 9/5 + /5 t + 5 t = -; x = -3/5 t -9/ geordnet: x = ( / /5 3/5 /5 ) g 3 : x = ( / /5 3 Geometrisch: Drei parallele Schnittgeraden (zwischen jeweils Ebenen) Allgemeine Aussage dazu: Unten, "6. Anhang" 3A) 3 verschiedene Ebenen - Schnittgerade ) ( ) ( 3 4) freier Parameter, sei y = t 3z = 4; z = 4/3; x + t + 4 = 4; x = - t rang(a) =, rang(a c) = rang(a) = rang(a c) = und keine parallelen Ebenen: nur linear unabhängige Ebenen liegen vor, eine Ebene muss also von den zwei anderen linear abhängig sein. Hier ist z.b. E 3 = 4 E - E. Z5 Lineares Gleichungssystem, n = 3 - Seite 5 (von 8)

6 geordnet: Schnittgerade g: x = ( ; L = {Schnittgerade g} 4/3 Nur als Kontrolle und zur "Illustration", nicht als vorgeschlagener Rechenweg: Wie bei. wäre es möglich, auch jeweils die einzelnen Schnittgeraden zweier Ebenen zu berechnen. Man erhält dann dreimal dieselbe Gerade wie im Gesamt-Schritt. Beispiel g 3 : ( ) ( 3 4 ) gleiche Gerade wie vorher 3 4 3B) identische Ebenen, 3. schneidet - Schnittgerade ) ( ) 3 4 rang (A) =, rang(a c) = rang(a) = ist bei identischen Ebenen erklärbar: nur linear unabhängige Ebenen liegen vor. Lösung mit freiem Parameter z = ; x + y + 3 = 4; Parameter y = t; x = - t + geordnet: Schnittgerade g: x = ( ) ; L = {Schnittgerade g} Geometrisch: Schnittgerade einer Ebene mit den zwei identischen anderen Ebenen 4A) 3 parallele Ebenen - kein Schnitt-Objekt ) ( ) ( ) 3 6 rang (A) =, rang(a c) = Widerspruch keine Lösung, L = {}, kein Schnitt-Objekt 4B) identische Ebenen, 3. parallel - Schnittebene ) ( ) 3 4 rang (A) =, rang(a c) = Einmal Widerspruch, Einmal Lösung mit Parametern Lösungsmenge L = {} Geometrisch Schnittebene E: x + y + 3z = 4 für E und E 3 E parallel zu E (und E 3 ) Z5 Lineares Gleichungssystem, n = 3 - Seite 6 (von 8)

7 5) 3 identische Ebenen - gemeinsame Schnittebene ) ( ) 3 4 rang (A) =, rang(a c) = Wegen linearer Abhängigkeit folgt eine Lösung mit Parametern L = {(x,y,z) x + y + 3z = 4} Geometrisch: Ebene, E: x + y + 3z = 4. (E E E E 3 ) 5. Alternative Einteilung der Lösungsmöglichkeiten Anstelle der Anordnung nach dem Rang ist auch eine Anordnung nach den geometrischen Objekten möglich. (Die vorige Einteilung wird zum Vergleich genannt.}. 3 parallele oder identische Ebenen. 3 identische Eb. [5]. identische Eb., parallele Eb. [4B].3 3 parallele Eb. [4A]. parallele oder identische Ebenen. identische Eb., 3. Eb. schneidet [3B]. parallele Eb., 3. Eb. schneidet [A] 3. keine parallelen oder identischen Ebenen 3. keine gemeinsame Gerade, kein gemeinsamer Punkt [B] 3. gemeinsame Schnittgerade [3A] 3.3 gemeinsamer Schnittpunkt [] 6. Anhang: Zum Fall B, 3 verschiedene Ebenen. Wenn 3 Schnittgeraden vorkommen, müssen diese parallel sein. Eine Schnittgerade liegt in zwei Ebenen, aus der Koordinatengleichung ist die Normale auf die Ebene bekannt. Sei die Schnittgerade g : x = f + t u. Dann ist u n und u n. Für eine direkte, parameterfreie Lösung u = n x n. (Trivial ist, dass das Vektorprodukt einen eventuell kollinearen Vektor zum Ergebnis der obigen Rechnung liefern kann.) Die Normale der Ebene E 3 ist linear abhängig von E und E. (Nicht von einer Ebene allein, weil dann eine parallele Ebene vorliegen würde.) Sei die Schnittgerade g 3 : x = f 3 + t 3 u 3. Dann ist u 3 n und u 3 n 3, u 3 = n x n 3. mit n 3 = r n + s n folgt u 3 = n x (r n + s n ) = r n x n + s n x n = s n x n (n x n = ) u 3 ist kollinear zu u, g 3 also parallel zu g. Als "Kontrolle der Idee" (evtl. auch als Kontrolle der Rechnung) kann der Aufpunkt der Schnittgeraden f ij durch Einsetzen von g ij überprüft werden. Für jede Ebene gilt E i : x n i = a i n i. Wenn eine Schnittgerade dieser Ebene E i eingesetzt wird, folgt (f ij + t ij u ij ) n i = a i n i = f ij n i + t ij u ij n i = f ij n i (wegen u n). Z5 Lineares Gleichungssystem, n = 3 - Seite 7 (von 8)

8 Zahlenbeispiel (Ebenen von B) n = ( 3 ), n = ( u = n x n = ) 5 i j k 3 5 = i j k = 3 i + j - 5 k = 3 ( Aufpunkt von g ij F ( ), F 3 (-9/ -9/5 ), a n = 4, a n = - f n = ( ) ( 3 ) = 4 ; f 3 n = ( / /5 ) ( 5 ) = -9/5 + 9/5 = - 7. Beispiele zu überbestimmten Linearen Gleichungssystemen ) Hinzufügen einer weiteren Ebene, identisch zu einer vorhandenen, ändert weder den Rang noch die prinzipielle geometrische Situation. Hinzufügen einer parallelen oder nicht parallelen Ebene ändert meistens die Art der Lösung, kann aber nie aus einer "Nicht-Lösung" (A, B, 4A, 4B) eine "Lösung" (, 3A, 3B, 5) erzeugen. Fall - rang(a) = 3, rang(a c) = 3 - Schnittpunkt Neu = parallel rang(a) = 3, rang(a c) = 4 5 Schnittgeraden, darunter Parallelenpaare. Neu = nicht parallel rang(a) = 3, rang(a c) = 4 5 verschiedene Schnittgeraden. Jeweils 3 Ebenen haben einen gemeinsamen Schnittpunkt (insgesamt 4 verschiedene). Durch die Erweiterung ist die vorher eindeutige Lösung "vernichtet". Fall A - rang(a) =, rang(a c) = 3 - Schnittgeraden Neu = parallel Ränge erhalten 3. neue Schnittgerade parallel zu den vorhandenen Neu = nicht parallel rang(a) = 3, rang(a c) = 4 5 Schnittgeraden, unter den 3 neuen Schnittgeraden parallele. Die Situation "Nicht-Lösung" bleibt bestehen. Fall 3B - rang(a) =, rang(a c) = - Schnittgerade Neu = parallel zu den identischen Ebenen oder parallel zur schneidenden Ebene rang(a) =, rang(a c) = 3 neue Schnittgerade parallel zur vorhandenen (entspricht A) Neu = nicht parallel rang(a) = 3, rang(a c) = 3 Schnittpunkt (entpricht ) Aus einer Lösung entsteht eine andere oder die Lösung wird "vernichtet". Z5 Lineares Gleichungssystem, n = 3 - Seite 8 (von 8)