Zeilenstufenform eines Gleichungssystems
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- Bernd Müller
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1 Zeilenstufenform eines Gleichungssystems Ein lineares Gleichungssystem mit einer m n-koeffizientenmatrix lässt sich mit Gauß-Transformationen auf Zeilenstufenform (Echelon-Form) transformieren: Ax = b... p p p } {{ } A x 1. x n = c 1. c m. Zeilenstufenform 1-1
2 Zeilenstufenform eines Gleichungssystems Ein lineares Gleichungssystem mit einer m n-koeffizientenmatrix lässt sich mit Gauß-Transformationen auf Zeilenstufenform (Echelon-Form) transformieren: Ax = b... p p p } {{ } A Dabei sind die so genannten Pivots x 1. x n = p 1 = a 1,j 1,..., p k = a k,j k, k m, 1 j 1 < < j k n, ungleich Null und k ist der Rang von A. c 1. c m. Zeilenstufenform 1-2
3 Der l-te Transformationsschritt verläuft wie folgt: Zeilenstufenform 1-3
4 Der l-te Transformationsschritt verläuft wie folgt: Ein von Null verschiedenes Matrixelement p l mit Zeilenindex l und kleinstem Spaltenindex j l wird als Pivotelement gewählt und durch Zeilenvertauschung in die Position (l, j l ) gebracht. Zeilenstufenform 1-4
5 Der l-te Transformationsschritt verläuft wie folgt: Ein von Null verschiedenes Matrixelement p l mit Zeilenindex l und kleinstem Spaltenindex j l wird als Pivotelement gewählt und durch Zeilenvertauschung in die Position (l, j l ) gebracht. Existiert kein Pivotelement, so ist die Zeilenstufenform erreicht. Zeilenstufenform 1-5
6 Der l-te Transformationsschritt verläuft wie folgt: Ein von Null verschiedenes Matrixelement p l mit Zeilenindex l und kleinstem Spaltenindex j l wird als Pivotelement gewählt und durch Zeilenvertauschung in die Position (l, j l ) gebracht. Existiert kein Pivotelement, so ist die Zeilenstufenform erreicht. Andernfalls werden in den Gleichungen l + 1,..., m durch Bilden von Linearkombinationen mit der l-ten Gleichung, Gl i α i Gl i + β i Gl l, i = l + 1,..., m, die Terme mit der j l -ten Unbekannten annulliert (a i,jl ). Zeilenstufenform 1-6
7 Der l-te Transformationsschritt verläuft wie folgt: Ein von Null verschiedenes Matrixelement p l mit Zeilenindex l und kleinstem Spaltenindex j l wird als Pivotelement gewählt und durch Zeilenvertauschung in die Position (l, j l ) gebracht. Existiert kein Pivotelement, so ist die Zeilenstufenform erreicht. Andernfalls werden in den Gleichungen l + 1,..., m durch Bilden von Linearkombinationen mit der l-ten Gleichung, Gl i α i Gl i + β i Gl l, i = l + 1,..., m, die Terme mit der j l -ten Unbekannten annulliert (a i,jl ). Analog zur Gauß-Elimination werden die Modifikationen des Gleichungssystems mit Hilfe eines Tableaus A b durchgeführt, in dem die sich ändernden Koeffizienten und Elemente der rechten Seite zeilenweise aufgelistet werden. Zeilenstufenform 1-7
8 Beispiel: Transformation eines Gleichungssystems Ax = b auf Zeilenstufenform mit Hilfe des Tableaus A b Zeilenstufenform 2-1
9 Beispiel: Transformation eines Gleichungssystems Ax = b auf Zeilenstufenform mit Hilfe des Tableaus A b Zeile Zeile Zeile Zeile 3 5 Zeile 5 Zeilenstufenform 2-2
10 resultierendes Gleichungssystem in Zeilenstufenform (Zeilen 1-5) Zeilenstufenform 2-3
11 resultierendes Gleichungssystem in Zeilenstufenform (Zeilen 1-5) x = Zeilenstufenform 2-4
12 resultierendes Gleichungssystem in Zeilenstufenform (Zeilen 1-5) x = Koeffizientenmatrix mit Rang gleich 3 (Anzahl der Pivots) Zeilenstufenform 2-5
13 resultierendes Gleichungssystem in Zeilenstufenform (Zeilen 1-5) x = Koeffizientenmatrix mit Rang gleich 3 (Anzahl der Pivots) keine Lösung, da fünftes Element der rechten Seite ungleich Null Zeilenstufenform 2-6
14 Lösung eines linearen Gleichungssystems in Zeilenstufenform Ein lineares Gleichungssystem Dx = c in Zeilenstufenform,... p p 2... x 1... p x n = mit Pivots p 1,..., p k ist genau dann lösbar, wenn c k+1 = = c m =. c 1. c m Zeilenstufenform 3-1
15 Lösung eines linearen Gleichungssystems in Zeilenstufenform Ein lineares Gleichungssystem Dx = c in Zeilenstufenform,... p p 2... x 1... p x n = mit Pivots p 1,..., p k ist genau dann lösbar, wenn c k+1 = = c m =. Die Lösung ist eindeutig, falls k = n. Für k < n gibt es n k linear unabhängige Lösungen des homogenen linearen Gleichungssystems (c i = ): dim Kern D = n k. c 1. c m Zeilenstufenform 3-2
16 Lösung eines linearen Gleichungssystems in Zeilenstufenform Ein lineares Gleichungssystem Dx = c in Zeilenstufenform,... p p 2... x 1... p x n = mit Pivots p 1,..., p k ist genau dann lösbar, wenn c k+1 = = c m =. Die Lösung ist eindeutig, falls k = n. Für k < n gibt es n k linear unabhängige Lösungen des homogenen linearen Gleichungssystems (c i = ): dim Kern D = n k. Die Unbekannten, die den Spalten ohne Pivots entsprechen, können frei gewählt werden. c 1. c m Zeilenstufenform 3-3
17 Beispiel: typische Fälle von Gleichungssystemen Dx = c in Zeilenstufenform Zeilenstufenform 4-1
18 Beispiel: typische Fälle von Gleichungssystemen Dx = c in Zeilenstufenform (i) k = n = 4: x x x 3 = 9 1 x 4 1 Zeilenstufenform 4-2
19 Beispiel: typische Fälle von Gleichungssystemen Dx = c in Zeilenstufenform (i) k = n = 4: x x x 3 = 9 1 x 4 1 Rückwärts-Einsetzen eindeutige Lösung x = (1, 1, 1, 1) t Zeilenstufenform 4-3
20 Beispiel: typische Fälle von Gleichungssystemen Dx = c in Zeilenstufenform (i) k = n = 4: x x x 3 = 9 1 x 4 1 Rückwärts-Einsetzen eindeutige Lösung x = (1, 1, 1, 1) t (ii) 3 = k < n = 5, c 4 : x x x 3 x 4 = x 5 Zeilenstufenform 4-4
21 Beispiel: typische Fälle von Gleichungssystemen Dx = c in Zeilenstufenform (i) k = n = 4: x x x 3 = 9 1 x 4 1 Rückwärts-Einsetzen eindeutige Lösung x = (1, 1, 1, 1) t (ii) 3 = k < n = 5, c 4 : x x x 3 x 4 = x 5 keine Lösung, da x x 5 = 1 (letzte Zeile) Zeilenstufenform 4-5
22 (iii) 3 = k < n = 5, c 4 = : Zeilenstufenform 4-6
23 (iii) 3 = k < n = 5, c 4 = : x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = Zeilenstufenform 4-7
24 (iii) 3 = k < n = 5, c 4 = : c k+1 = = Dx = c lösbar x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = Zeilenstufenform 4-8
25 (iii) 3 = k < n = 5, c 4 = : x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = c k+1 = = Dx = c lösbar Rang D = 3 = n 2 = zwei linear unabhängige Lösungen v i des homogenen Systems Zeilenstufenform 4-9
26 (iii) 3 = k < n = 5, c 4 = : x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = c k+1 = = Dx = c lösbar Rang D = 3 = n 2 = zwei linear unabhängige Lösungen v i des homogenen Systems allgemeine Lösung: x = x s + α 1 v 1 + α 2 v 2, α j R mit x s einer speziellen Lösung des inhomogenen Systems Zeilenstufenform 4-1
27 Bestimmung von v i durch kanonische Wahl der nicht zu den Pivot-Spalten gehörigen Unbekannten und Berechnung der restlichen Unbekannten über das homogene System: (x 3 = 1, x 5 = ) v 1 = (x 3 =, x 5 = 1) v 2 = 1/4 1 7/ Zeilenstufenform 4-11
28 Bestimmung von v i durch kanonische Wahl der nicht zu den Pivot-Spalten gehörigen Unbekannten und Berechnung der restlichen Unbekannten über das homogene System: (x 3 = 1, x 5 = ) v 1 = (x 3 =, x 5 = 1) v 2 = 1/4 1 7/ Setzen von x 3 = x 5 = spezielle Lösung x s = (5/4, 6,, 2, ) t Zeilenstufenform 4-12
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