Kapitel VI. Elementare Funktionen

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1 Kapitel VI Elementare Funktionen

2 Inhalt V.1 Rationale Funktionen Ganzrationale Funktionen Horner-Schema Gebrochenrationale Funktionen VI.2 Potenz- und Wurzelfunktionen Definition und Eigenschaften VI.3 Exponential- und Logarithmusfunktionen Definition und Eigenschaften VI.4 Trigonometrische Funktionen Definition und Eigenschaften 2 / 19

3 Ganzrationale Funktionen Definition 1 Eine Funktion f : R Ñ R der Form f pxq a n x n ` a n 1 x n 1 `... ` a 1 x ` a 0 mit n P t0u Y N, a 0, a 1,..., a n 1, a n P R und a n 0 heißt ganzrationale Funktion oder Polynom vom Grad n ě 0. Die Zahlen a 0, a 1,..., a n 1, a n P R heißen Koeffizienten des Polynoms. Polynom vom Grad 0 = konstante Funktion Polynom vom Grad 1 = lineare Funktion Polynom vom Grad 2 = quadratische Funktion Polynom vom Grad 3 = kubische Funktion 4 / 19

4 Horner-Schema Gegeben sei ein Polynom f vom Grad n ě 0 : f pxq a n x n ` a n 1 x n 1 `... ` a 1 x ` a 0 Ziel: effektive Berechnung von f px 0 q für ein x 0 P R durch Reduktion der Anzahl durchzuführender Multiplikationen ñ Horner-Schema für f und x 0 : a n a n 1 a n 2... a 1 a 0 ` `... ` ` x 0 b n 1 x 0 b n 2 x 0... b 1 x 0 b 0 x 0 a n a n 1 ` b n 1 x 0 a n 2 ` b n 2 x 0... a 1 ` b 1 x 0 a 0 ` b 0 x 0 } } } } } b n 1 b n 2 b n 3... b 0 fpx 0 q 5 / 19

5 Was liefert uns das Horner-Schema? Beispiel... Satz 1 Für jedes Polynom f vom Grad n ě 1 und jeden Wert x 0 P R ist die folgende Faktorisierung möglich: f pxq px x 0 qpb n 1 x n 1 ` b n 2 x n 2 `... ` b 1 x ` b 0 q ` lomon f px 0 q, r Rest wobei die Koeffizienten b n 1, b n 2,... b 1, b 0 die Werte aus der letzten Zeile des Horner-Schemas in der Reihenfolge ihres Auftretens bezeichnet. 6 / 19

6 Nullstellenproblem Ist x 0 P R eine Nullstelle des Polynoms f, so liefert Satz 1 zusammen mit dem Horner-Schema die sog. Produktdarstellung von f in der Form: f pxq px x 0 q loooooooooooooooooooooooooomoooooooooooooooooooooooooon pb n 1 x n 1 ` b n 2 x n 2 `... ` b 1 x ` b 0 q, da Rest f px 0 q 0. Restpoylnom vom Grad ď n 1 Enstprechend kann auch für das Restpolynom ein Linearfaktor px x 1 q abgestalten werden, wobei x 1 P R Nullstelle des Restpolynoms und damit auch von f ist. Das Abspalten eines Linearfaktors von einem Polynom vom Grad n kann höchstens n mal durchgeführt werden. 7 / 19

7 Gegeben ist ein Polynom f vom Grad n ě 1 : f pxq a n x n ` a n 1 x n 1 `... ` a 1 x ` a 0 Satz 2 (1) Das Polynom f hat höchstens n verschiedene Nullstellen. (2) Besitzt das Polynom n nicht notwendigerweise verschiedene Nullstellen x 01, x 02,..., x 0n, dann läßt sich f als Produkt aus n Linearfaktoren darstellen: f pxq a n px x 01 q px x 02 q... px x 0n q. Beispiel... 8 / 19

8 Frage: Wie kann man eine Nullstelle für ein gegebenes Polynom erraten? Ausgangspunkt: Polynom f vom Grad n ě 1 mit ganzzahligen Koeffizienten, d. h.: f pxq a n x n ` a n 1 x n 1 `... ` a 1 x ` a 0, wobei a 0, a 1,..., a n 1, a n P Z. Satz 3 Sei f ein Polynom vom Grad n ě 1 mit ganzzahligen Koeffizienten. Falls f eine ganzahlige Nullstelle x 0 P Z besitzt, dann ist x 0 ein Teiler von a 0. Erraten Untersuche alle ganzahligen Teiler von a 0, ob diese als Kandidaten für eine Nullstelle in Frage kommen. 9 / 19

9 Gebrochenrationale Funktionen Definition 2 Unter einer (gebrochen) rationalen Funktion f verstehen wir den Quotienten zweier ganzrationaler Funktionen (bzw. Polynome): f pxq p mpxq q n pxq a mx m ` a m 1 x m 1 `... ` a 1 x ` a 0 b n x n ` b n 1 x n 1 `... ` b 1 x ` b 0 mit a m 0, b n 0. Der maximale Definitionsbereich ist D f tx P R : q n pxq 0u. Im Falle m ă n heißt f echt gebrochen, im Falle m ě n unecht gebrochen. Beispiel / 19

10 Nullstellen, Definitionslücken, Polstellen Gegeben ist ein rationale Funktion f pxq p mpxq q n pxq x 0 P R ist Nullstelle von f, falls p m px 0 q 0 und q n px 0 q 0 x 1 P R heißt Definitionslücke von f, falls q n px 1 q 0 eine Definitionslücke x 1 von f heißt hebbar, falls p m px 1 q 0 eine Definitionslücke x p von f heißt Pol(-stelle), falls p m px p q 0 11 / 19

11 Verhalten in den Polstellen Für eine Polstelle x p weist eine rationale Funktion f pxq p mpxq q n pxq folgendes Verhalten auf: lim f pxq 8 bzw. lim f pxq 8 xñx p xñx p` ñ der Graph der Funktion schmiegt sich asymptotisch an die in der Polstelle errichtete Parallele zur y Achse an. Beispiel / 19

12 Verhalten einer rationalen Funktion im Unendlichen Gegeben ist ein rationale Funktion f pxq p mpxq q n pxq (1) m ă n ñ lim f pxq 0 (ÝÑ Aysmptote 0) xñ 8 (2) m n ñ am lim f pxq xñ 8 b n (3) m ą n ñ lim f pxq 8 xñ 8 (ÝÑ Asymptote am b n q In diesem Fall schmiegt sich f einer Aysmptote ppxq an, welche mittels Polynomdivision bestimmt werden kann. Dabei wird die Funktion f in eine ganzrationale Funktion ppxq und eine echt gebrochenrationale Funktion r pxq zerlegt, d. h.: Beispiel... f pxq ppxq ` rpxq mit lim xñ 8 rpxq / 19

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