Aufgabensammlung zur Klausurvorbereitung Wurzelausdrücke sind nicht auszurechnen, dafür soweit wie möglich zu vereinfachen!

Transkript

1 Mathematik I für BTzMT WS 017/18 Autor: Mario.Walther@eah-jena.de Aufgabensammlung zur Klausurvorbereitung Wurzelausdrücke sind nicht auszurechnen, dafür soweit wie möglich zu vereinfachen! Elementare Grundlagen Mengen, Zahlen, Gleichungen und Ungleichungen Aufgabe 1: Geben Sie die nachfolgenden Mengen in der aufzählenden Form wieder: a) tx P R : x is eine von 6 verschiedene, gerade, natürliche Zahl kleiner 10u b) tx P R : x ist eine Potenz mit der Basis 3, deren Exponent eine natürliche Zahl ă 5 istu c) tx P N : 3 ă x ď 7u d) tx P Z : 3 ď x ă 49u e) r 3 ; 10q X N f) tx P R : x 5x ` 6 0u gq tpx, yq : x P Z, y P Z x 3 ă 1, 0 ă y ď u Aufgabe : Bilden Sie für folgende Mengen jeweils die Mengen AXB, AYB, AzB und BzA und stellen Sie diese auf der Zahlengerade dar: a) A p 8 ; 4s, B p1 ; `8q b) A tx P R : x ď 5u, B tx P R : x 3 ď u Aufgabe 3: Bestimmen Sie die nachfolgenden Teilmengen von R und veranschaulichen Sie diese auf der Zahlengeraden. a) A tx P R : 4x 3 5u b) B tx P R : 4x 3 ą x 1 u c) C tx P R : 3x 5 x ` 1 u d) D tx P R : x ` 9x 9 ď u Aufgabe 4: a) Berechnen Sie ln c 1 ` 1 e 1 ln `e e. b) Bestimmen Sie alle x P R, die folgende Gleichung erfüllen: px 1q px ` 3q x 1. c) Bestimmen Sie alle Lösungen x P R der Gleichung: cos p3xq 0. 1 von 18

2 Aufgabe 5: a) Stellen Sie die Formel p 10 lg ˆU nach V um. V b) Geben Sie alle reellen Lösungen x der Gleichung sin px 1q 0 an. Aufgabe 6: a) Berechnen Sie ˆc e ln e 1 ` 1 ln pe 1q. b) Lösen Sie folgende Ungleichung für x P R : x ą 3. Aufgabe 7: a) Für welche reellen Zahlen x gilt: 3 ˇ x ˇ 5. b) Lösen Sie die folgende Ungleichung: ln p3xq ln pxq ě ln pxq. c) Lösen Sie die Gleichung 1 ` λe t 1 ` e t nach t auf und geben Sie an, für welche reellen λ diese Gleichung gilt. Aufgabe 8: Lösen Sie die folgenden Gleichungen bzw. Ungleichungen für x P R : a) x ` 1 ě. b) cos pxq 0. c) log 3 pxq 4. Aufgabe 9: U a) Stellen Sie die Formel E r ln pr 1 r q nach r um. Geben Sie hierzu zunächst an, in welcher Relation r 1 und r zueinander stehen müssen. b) Bestimmen Sie alle x P R, die folgende Gleichung erfüllen sin x 1? c) Für welche reellen Zahlen x P R gilt: ˇ 1 ă ˇ1 ` x ˇ. von 18

3 Aufgabe 10: a) Lösen Sie folgende Gleichung für x P R : b) Lösen Sie folgende Ungleichung für x P R : c) Lösen Sie folgende Gleichung nach n auf: d) Lösen Sie folgende Gleichung nach n auf: Aufgabe 11: a) Kürzen Sie folgenden Bruch lnpx 1q ` ln 3 lnpx 1q. x 3 x ą 0. K K 0 1 ` p n. 100 p1 q n q R Kq n`1. a 3 b 5 c 7 a 7 b 4 c b) Vereinfachen Sie soweit wie möglich und geben Sie an, für welche a, b, c P R der Ausdruck Gültigkeit besitzt:? a b 4 3? c 3 c) Lösen Sie die folgende Gleichung für x P R x ` 4 px x 6q. 3 von 18

4 Komplexe Zahlen Aufgabe 1: Ermitteln Sie Real- und Imaginärteil sowie den Betrag der folgenden komplexen Zahl: z p1 ` iqp3 ` 5iqp1 iq 1 ` i p4 iqp1 6iq p iq. Aufgabe 13: a) Für welche λ, µ P R gilt b) Lösen Sie die Gleichung im Bereich der komplexen Zahlen. 8 λi µ i ` 3i P C 1 z i c) Skizzieren Sie in der komplexen Ebene alle komplexen Zahlen z P C, die sich in der Form z 1 ` e iϕ darstellen lassen. (Begründung nicht vergessen!) Aufgabe 14: a) Berechnen Sie wobei z 1 1 i und z e 1 πi ˆ z Im z 1 ` z b) Es sei z 1 i. Berechnen Sie im Bereich der komplexen Zahlen: iq z 1 z iiq z 0 c) Welche der beiden komplexen Zahlen z 1 ` i 1 i, z e 4i hat den größeren Betrag? Aufgabe 15: a) Stellen Sie die komplexe Zahl `i?3 8 in der Form a ` bi dar. b) Man löse im Bereich der komplexen Zahlen die Gleichung z z z. c) Stellen Sie die komplexen Zahlen z 8i in trigonometrischer und exponentieller Form dar. Berechnen Sie 3? z und geben sie das Ergebnis in der arithmetischen Form a ` bi an. 4 von 18

5 Aufgabe 16: Berechnen Sie mit Hilfe der Formel von Moivre p 1 `?3 iq 15 p1 iq 6. Aufgabe 17: Berechnen Sie die Quadratwurzeln der komplexen Zahl p 1 `?3 iq und stellen Sie diese in arithmetischer Form dar. Aufgabe 18: Stellen Sie die Lösungen der Gleichung z z ` 5 0 in der Gaußschen Zahlenebene dar. 5 von 18

6 Vektorrechnung Aufgabe 19: Gegeben sind die Punkte P 0 p, 1q und P 1 p, 3q der Ebene. Bestimmen Sie alle Punkte P px, yq der Ebene, die von P 0 und P 1 den gleichen Abstand haben, mit anderen Worten, für die } P #» 0 P } } P #» 1 P } gilt. Aufgabe 0: Wo liegt die Spitze S des Vektors, der im Punkt P p4,, 3q angreift, in Richtung auf Q p1,, 3q zeigt und die Länge 10 hat? Aufgabe 1: Gegeben seien die Punkte P p1,, 3q, Q p, 3, 1q und R p3,, 1q im R 3. Berechnen Sie den Flächeninhalt des durch die Punkte P, Q, R erzeugten Dreiecks. Aufgabe : Bestimmen Sie alle Punkte S auf der Geraden g, welche durch den Punkt P p, 1, 3q und den Richtungsvektor #» 1 a 1 festgelegt ist, sodass der Punkt S vom Ursprung den 1 Abstand d 3 haben. Dabei liegt ein Punkt S auf g, falls für den zugehörigen Ortsvektor #» OS gilt: #» OS OP #» ` λ #» a für ein λ P R. Aufgabe 3: 1 a) Bestimmen Sie alle Einheitsvektoren e, die zum Vektor u 1 senkrecht stehen. 1 b) Für welche λ, µ P R sind die beiden Vektoren u λ 0 und v 1 µ 3 orthogonal? 6 von 18

7 Aufgabe 4: Die Vektoren #» u und #» v schließen einen Winkel von 45 ein. Gesucht ist der Flächeninhalt des Dreiecks, das von den Vektoren #» u 3 #» v und 4 #» u `3 #» v aufgespannt wird, wenn } #» u } } #» v } 9 gilt. Aufgabe 5: Folgende Skizze beschreibt ein Dreieck: a) Berechnen Sie die Länge der Höhe h, ohne den Flächeninhalt des Dreiecks zu berechnen. (Hinweis: senkrechte Komponente) b) Berechnen Sie ϕ. (Hier genügt es, den Ausdruck für cospϕq zu bestimmen.) Aufgabe 6: Der Punkt P liege auf dem Vektor, der vom Ursprung O aus in Richtung des Punktes Q zeigt. Bestimmen Sie die Lage des Punktes P so, daß die Seitenflächen AP C und P BC senkrecht aufeinander stehen, wobei A p, 0, 0q, B p0, 1, 0q, C p0, 0, 3q und Q p1, 1, 0q sind. Berechnen Sie jeweils das Volumen der von den Punkten A, B, C und P aufgespannten dreiseitigen Pyramide. 7 von 18

8 Aufgabe 7: Ein rechteckiger Tisch der Breite b und der Länge l hat senkrecht zur Tischplatte montierte Tischbeine. Die Tischbeine haben die Längen h k (Siehe nachfolgend Skizze). Der Tisch stehe auf einer ebenen Fläche. Welche Länge h 4 muß das 4. Tischbein in Abhängigkeit von den anderen 3 Tischbeinen haben, damit der Tisch nicht wackelt? Aufgabe 8: Von einem Würfel mit der Kantenlänge 5 m wurde ein Teil abgetrennt, so dass eine ebene Schnittfläche entsteht (Maße siehe Skizze): a) Berechnen Sie mittels der Vektorrechnung den Flächeninhalt der Schnittfläche. b) Berechnen Sie mittels der Vektorrechnung das Volumen des abgetrennten Eckteils. Aufgabe 9: In der Ebene betrachte man das Dreieck ABC mit den Eckpunkten A p, 5q, B p4, 1q und C p6, 3q. Bestimmen Sie mittels Methoden der Vektorrechnung den Schnittpunkt S der beiden eingezeichnetem Seitenhalbierenden. 8 von 18

9 Aufgabe 30: Im Anschauungsraum seien die Punkte A p1,, 1q, B p, 1, 1q, C p 1, 3, zq und D p, y, q mit y, z P R gegeben. Bestimmen Sie y und z so, dass die folgenden zwei Bedingungen erfüllt sind: und iq die Fläche des von den drei Punkten A, B, C aufgespannten Parallelogramms ist 5? 3 iiq die Punkte A, B, C, D liegen in einer Ebene. Aufgabe 31: An einem Seil hängt eine Last, die eine Kraft #» L von 1000 N ausübt. Auf die Seile wirken die Zugkräfte #» F und #» G. Im statischen Gleichgewicht gilt: L #» F #» ` G. #» Berechnen Sie die Zugkräfte ˇ F #» ˇ und ˇ G #» ˇ Aufgabe 3: Die Vektoren #» u und #» v schließen einen Winkel von 3 π ein und haben die Längen } #» u } und } #» v }. Weiterhin seien die Vektoren #» a #» u ` λ #» v und #» b #» u 3λ #» v mit λ P R gegeben. a) Bestimmen Sie λ so, dass der Summenvektor der Vektoren #» a und #» b die Länge 4 hat. b) Bestimmen Sie } #» a ˆ #» b } in Abhängigkeit von λ. c) Zeigen Sie für λ 0, wenn ein Vektor #» w senkrecht auf #» a und #» b steht, so steht er auch senkrecht auf #» u und #» v. 9 von 18

10 Folgen und Funktionen Aufgabe 33: Gegeben sei die Folge pa n q npn mit a n 3n ` 1 für n P N. n ` 1 a) Bestimmen Sie die ersten 5 Glieder dieser Folge. b) Zeigen Sie, daß die Folge monoton steigend ist. c) Zeigen Sie, daß die Folge nach oben durch 3 beschränkt ist. d) Bestimmen Sie die kleinste Nummer n 0 P N, sodass für jedes n ě n 0 gilt a n 3 ď ε für ε 10, Was läßt sich hieraus verallgemeinernd über die Konvergenz der Folge aussagen. Aufgabe 34: Berechnen Sie, sofern möglich, den Grenzwert lim a n der Folge pa n q npn mit: nñ`8?? n ` 1 a) a n b) a n 3 n n3 ` n ` 1 n 3 c) a n 0, 5 n d) a n 1, 55 n n 6 ` 3n 5 e) a n f) a 0, 5n 5 ` 100n 4 n n ` 9n ` 5 ` 100 4? n9 ` 4n ` 1 n 5 ` 3n 4 ` 4n ` 7 g) a n h) a p3n ` 1q p4n 3 3n n p n ` p q nq4 n ` n ` 3q i) a n? n p? n ` `?n ˆ q j) a n 10 ` 1 10? 10 n k) a n n 5 n3 4? n l) a n n?? ` 5 n 9n ` ˆ m) a n 1 ` 1 n ˆ n) a n 1 ` 1 n n n o) a n 4n4 ` n 3 ` πn n ` n n π p) a n n n n ` ` Aufgabe 35: Begründen Sie kurz, warum die Folge pa n q npn mit a n p n ` p q n q n divergent ist. Aufgabe 36: Welche der folgenden Funktionen sind gerade, ungerade bzw. haben keine dieser Eigenschaften: a) fpxq x sinpxq b) fpxq e cospxq c) fpxq px 4q px ` 4q d) fpxq px5 ` 4x 3 ` xq sin pxq x cospxq Untersuchen Sie die Funktionen aus Teilaufgabe b) und c) hinsichtlich Periodizität. Geben Sie ggf. die kleinste Periode an. 10 von 18

11 Aufgabe 37: Bestimmen Sie für die folgenden reellen Funktionen den größtmöglichen Definitionsbereich und geben Sie den jeweiligen Wertebereich an. a) fpxq? x 1 b) fpxq ln p x q c) fpxq d) fpxq 1 x 1 e) fpxq x x ` 1 c x 4 x (Hinweis: Zur Bestimmung des Wertebereichs in Teilaufgabe e) gehe man von folgenden beiden Audrücken aus: px 1q ě 0 und px ` 1q ě 0.) Aufgabe 38: Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf (strenge) Monotonie und bestimmen Sie, falls möglich, die Umkehrfunktion. a) f : r ; `8q Ñ? mit fpxq? x b) f : r0 ; `8q Ñ? mit fpxq x?x c) f : p 1 ; `8q Ñ? mit fpxq x 1 x ` 1 (Hinweis: Für Teilaufgabe c) betrachte man den Ausdruck 1 x ` 1.) Aufgabe 39: Gegeben ist die Polynomfunktion fpxq x 4 ` 3x 3 x ` 5x 17. Berechnen Sie mit Hilfe des Horner-Schemas den Funktionswert f pq. Aufgabe 40: Für ein Polynom p 3. Grades ist folgendes unvollständige Horner-Schema gegeben: x a) Bestimmen Sie x 0 sowie den Wert des Polynoms an dieser Stelle. b) Bestimmen Sie die Linearfaktorzerlegung des Polynoms p. Aufgabe 41: Gegeben sei folgende gebrochenrationale Funktion fpxq x3 ` x x x 3 x a) Bestimmen Sie den Definitionsbereich von f. b) Bestimmen Sie Nullstellen und Polstellen von f. c) Untersuchen Sie das Verhalten von f in den Polstellen. d) Untersuchen Sie das Verhalten von f im Unendlichen.. 11 von 18

12 Aufgabe 4: Bestimmen Sie ohne Verwendung der Regel von l Hospital folgende Grenzwerte: a) limpx 3 4x x 4 ` 6x ` q b) lim xñ1 xñ x ` 4 px ` 4q px 4q 36 4x d) lim e) lim xñ0 8x xñ3 x ` x 15 x g) lim xñ`8 x 4x ` 1 x h) lim xñ`8 1 ` x x x c) lim xñ0 x 3 ` 5x f) lim xñ1 1 x 1?x Aufgabe 43: Zeigen Sie, daß die Funktion $ & 4x für x ă 1 fpxq 1 für x 1 % x 1 für x ą 1 x 1 an der Stelle x 0 1 unstetig ist. Wie müsste der Funktionswert an der Unstetigkeitsstelle abgeändert werden, damit f auf dem gesamten Definitionsbereich stetig wird. Aufgabe 44: Lösen Sie die folgenden Exponentialgleichungen: a) e x x 1 b) e x ` e x 3 (Hinweis: In b) führe man die Substitution e x y durch.) Aufgabe 45: Betrachten Sie die folgende logarithmische Gleichung: 1 ˆ5 lgpx 3q ` lg 1 lg `? x ` 3 Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich dieser Gleichung an und lösen Sie diese. Aufgabe 46: Betrachten Sie die Funktion f : R Ñ W f mit fpxq e x 1 px P Rq. a) Geben Sie den kleinstmöglichen Wertebereich W f von f an. b) Zeigen Sie, daß die Funktion umkehrbar ist. Bestimmen Sie sowohl rechnerisch als auch grafisch die Umkehrfunktion f 1. c) Sei gpxq ln p? e x q für x P Rzt0u. Begründen Sie, warum der Definitionsbereich der Funktion g eine Definitionslücke aufweist. Bestimmen Sie f g und g f sowie f 1 f und f f 1 und geben Sie jeweils deren Definitionsbereiche an. 1 von 18

13 Lösungen Aufgabe 1: a) t, 4, 8u b) t3, 9, 7, 81u c) t4, 5, 6, 7u d) t 6, 5, 4, 3,,, 3, 4, 5, 6u e) t1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9u f) t, 3u g) tp3, q, p3, 1q, p3, 1q, p3, qu Aufgabe : a) A X B p1 ; 4s, A Y B R, AzB p 8 ; 1s, BzA p4 ; `8q b) A X B B r1 ; 5s, A Y B A r 5 ; 5s, AzB r 5 ; 1q, BzA H Aufgabe 3: a) A 1, ( b) B p1 ; `8q c) C 4 5, 6( d) D p 8 ; 1s Y 7 ; `8 Aufgabe 4: a) 1 b) L t 4, 1u c) L π 6 ` k 3 π : k P Z( Aufgabe 5: a) V U 10 p 10 b) L 1 ` k π : k P Z( Aufgabe 6: a) 1 b) L p 8 ; 1q Y p5 ; `8q Rzr 1 ; 5s Aufgabe 7: a) L 1, 3( b) L `0 ; 3 3 c) t lnpλ q, λ ą Aufgabe 8: a) L p 8 ; 3s Y r1 ; `8q Rzp 3 ; 1q b) L π c) L t81u 4 ` k π : k P Z( Aufgabe 9: a) r ă r 1 und r 1 r 1, r r 1 e U r E b) L π ` 4kπ : k P Z( Y 3π ` 4kπ : k P Z( c) L p 8 ; 4q Y p0 ; `8q Rzr 4 ; 0s Aufgabe 10: a) L tu px 1 ist wegen Definition von ln nicht zulässigq b) L p 1 ; 0q Y p1 ; `8q c) n lnpkq lnpk 0q ln `1 ` p d) n 100 lnprq lnpk q ` Rq lnpqq 13 von 18

14 Aufgabe 11: a) bc 6 a 4 b) a b c a, b P R, c P r0 ; `8q c) L t, 1u Aufgabe 1: Repzq 8, Impzq 6 5 5, z Aufgabe 13: a) λ µ 1 b) z P " 1?? 1 i,? 1 ` 1 *? i c) z P C liegt auf einem Keis mit Mittelpunkt M p1, 0q und Radius r. Aufgabe 14: a) 1 b) iq 1 ` i iiq c) z 1 c 5 ă z Aufgabe 15: a) 18 ` 18?3 i b) z 0 oder z e iϕ ˆ ˆ3π ˆ3π c) z 8e i 3π 8 cos ` i sin ñ 3. Wurzeln: z 0 i, z 1?3 i, z? 3 i 14 von 18

15 Aufgabe 16: 1 i 4096 i Aufgabe 17: z 0 1 `?3 i, z 1 1?3 i Aufgabe 18: z 1 1 ` i, z 1 i Aufgabe 19: P P "ˆ x 1 x * : x P R Aufgabe 0: S p, 6, 3q Aufgabe 1: F P QR? 3 Aufgabe : S 1 ` 1, 8, und S p1,, q Aufgabe 3: a) #» e 1 a px ` xz ` z q b) λ 6, µ P R beliebig x x ` z mit x, z P R z Aufgabe 4: A 115? 4 Aufgabe 5: a) h 7? 5 b) cospϕq 1 5? Aufgabe 6: P p0, 0, 0q ñ V 1 bzw. P ˆ7 16, 7 16, 0 ñ V 49 3 Aufgabe 7: h 4 h 1 h ` h 3 Aufgabe 8: a) F? 34 m b) V 8 m 3 Aufgabe 9: S p4, 3q 15 von 18

16 Aufgabe 30: Die 4 Punkte liegen in einer Ebene, wenn die zugehörigen Vektoren komplanar sind, also keinen Spat aufspannen. ñ y 6, z bzw. y 7, z Aufgabe 31: 500 N bzw.? N Aufgabe 3: a) λ bzw. λ 0. b) } #» a ˆ #» b } 10? 3 λ Aufgabe 33: a) a 1, a 7 3, a 3 5, a , a b) a n`1 a n... c) a n... 3 n ` 1 ď 3 pn ` qpn ` 1q ě 0 d) n für ε 10, n für ε 10 4 ; Die Folge konvergiert gegen 3 Aufgabe 34: a) 0 b) c) 0 d) best. div. gegen ` 8 e) best. div. gegen ` 8 f) 0 1 g) h) 0 i) best. div. gegen ` 8 18 j) k) 5 l)? m) e n) e o) π p) 1 best. div. = bestimmt divergent Aufgabe 35: Es ist a n 1`p 1q n und demzufolge springt die Folge abwechselnd zwischen 0 und. Daher kann Sie nicht konvergieren und ist unbestimmt divergent. 16 von 18

17 Aufgabe 36: a) gerade b) gerade und periodisch mit Periode π c) ungerade, nicht periodisch d) ungerade Aufgabe 37: a) D f Rzp 1 ; 1q, W f R` : r0 ; `8q b) D f Rzt0u, W f R c) D f r ; `8qztu, W f R`ztu d) D f Rzt 1, 1u, W f Rzp 1 ; 0s e) D f R, W f r 1 ; 1 s Aufgabe 38: a) f : r ; `8q Ñ R` : r0 ; `8q ist streng monoton steigend; die Umkehrfunktion f 1 : R` Ñ r ; `8q lautet f 1 pxq x ` für x P R` b) f : R` Ñ R` ist streng monoton steigend; die Umkehrfunktion f 1 : R` Ñ R` lautet f 1 pxq x {3 3? x c) f : p 1 ; `8q Ñ p 8 ; 1q ist streng monoton steigend; die Umkehrfunktion f 1 : p 8 ; 1q Ñ p 1 ; `8q lautet f 1 pxq 1 ` x für x P p 8 ; 1q 1 x für x P R` Aufgabe 39: fpq 45 Aufgabe 40: a) x 0 ñ fpx 0 q 1, x 0 ñ fpx 0 q 0 b) ppxq px qpx ` 3qpx 1q Aufgabe 41: a) D f Rzt 1, 0, 1u b) Nullstelle: x 0, Polstelle: x p 1 c) lim fpxq 8, lim xñ 1 d) lim fpxq lim fpxq 1 xñ 8 xñ`8 fpxq `8 xñ 1 ` Aufgabe 4: a) 5 b) 0 c) 5 d) e) 3 f) g) 1 h) 0 17 von 18

18 Aufgabe 43: Man untersuche jeweils den links- und rechtsseitigen Grenzwert von f an der Stelle x 0 1 und stelle fest, dass beide Grenzwerte zwar übereinstimmen aber ungleich f p1q sind. Abänderung: fp1q. Aufgabe 44: a) L t0, u b) L t0, lnpqu Aufgabe 45: D f p3 ; `8q, L t5u Aufgabe 46: a) W f R ą0 p0 ; `8q ˆ? e b) f 1 ln x c) pf gqpxq x mit x P Rzt0u, pg fqpxq x ` lnp4q 1 mit x P R pf f 1 qpxq x mit x P R, pf 1 fqpxq x mit x P R ą0 18 von 18