Übungsaufgaben Mathematik I Bachelor Informatik. a) Geben Sie eine rekursive Definition der Multiplikation der natürlichen Zahlen an.

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1 Fachhochschule Stralsund Fachbereich Elektrotechnik und Informatik Prof. Dr. W. Kampowsky Wintersemester 206/207 Übungsaufgaben Mathematik I Bachelor Informatik Aufgabe -0 a) Geben Sie eine rekursive Definition der Multiplikation der natürlichen Zahlen an. b) Geben Sie eine rekursive Definition des Potenzierens der natürlichen Zahlen an. Aufgabe -02 Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion: a) (2 n ) = n 2, für alle natürlichen Zahlen n =, 2, 3,..., b) n 3 n ist durch 6 teilbar, für alle natürlichen Zahlen n = 0,, 2,..., c) 2 n > n 2, für alle natürlichen Zahlen n 5. Aufgabe -03 a) Rechnen Sie 7 45 und 7 7 in einen Dezimalbruch um. b) Rechnen Sie 3.57 und in einen gemeinen Bruch um. Aufgabe -04 Lösen Sie folgende Rechenaufgaben im angegebenen Zahlsystem: a) ( ) 8 + ( ) 8, b) (23.422) 5 (32.044) 5, c) (53.34) 6 (23.2) 6, d) (AF F E) 6 : (2) 6, e) (00) 2 + () 2 + (00) 2 + (00) 2, f) (00000) 2 (00) 2, g) (0) 2 (0) 2, h) (0) 2 : (0) 2.

2 Aufgabe -05 Rechnen Sie um: a) (3AE4C) 6 ins Oktalsystem, b) ( 23) 8 0 ins Dreiersystem, c) (0.) 6 ins Dualsystem, d) (23.23) 4 ins Sechsersystem.

3 Aufgabe 2-0 Stellen Sie die Wertetabelle für die Formel (A (B C)) auf. Aufgabe 2-02 Ermitteln Sie für die folgenden Formeln der Aussagenlogik (möglichst einfache) gleichwertige Formeln, die nur die Junktoren und benutzen: a) A B C, b) P (Q R), c) A (( B C) A), d) P ((Q R) P ). Aufgabe 2-03 a) Formulieren Sie einen mathemathischen Beweis als direkten Beweis. b) Formulieren Sie einen mathemathischen Beweis als indirekten Beweis.

4 Aufgabe 3-0 Veranschaulichen Sie in Venn-Diagrammen die folgenden Mengenoperationen A B C, A B C, A (B C), A (B C) und A \ (B \ C) für drei beliebige, aber fixierte Mengen A, B, C. Aufgabe 3-02 Überprüfen Sie die folgenden Aussagen für Mengen: a) aus A B = A C folgt stets B = C, b) aus A B = A C folgt stets B = C, Aufgabe 3-03 Beweisen Sie die folgenden Gleichungen für Mengen: a) A B = A B, b) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C). Aufgabe 3-04 Bestimmen Sie den (größtmöglichen) Definitionsbereich und Wertebereich der folgenden Abbildungen. In welchem Definitionsbereich sind die Abbildungen injektiv? a) y = 5 x 5, b) y = 5 3 x 2, c) y = 9 x 2, d) y = x 6, e) y = 5 2 x, f) y = 3 x 3.

5 Aufgabe 4-0 Bestimmen Sie alle reellen Zahlen x, für die gilt: a) + x 4, b) 3 2 x 2 = 5 2, c) 2 x 7 < 7 (x + 2) + 5 x + 2, d) x + x + 3 <. Aufgabe 4-02 Bringen Sie die folgenden Parabeln in die Scheitelpunktsform: a) y = 2 x 2 4 x + 3, b) y = 4 x x Aufgabe 4-03 Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel mit den folgenden Funktionseigenschaften: Nullstellen sind x = und x 2 = 5, die Ordinate des Scheitelpunktes ist y S = 8. Aufgabe 4-04 Die folgenden Polynomfunktionen besitzen mindestens eine ganzzahlige Nullstelle. Bestimmen Sie alle reelen Nullstellen. a) y = x 3 2 x 2 5 x + 6, b) y = 2 x 4 2 x 3 4 x + 8. Aufgabe 4-05 Bestimmen Sie den ganzen Teil, die Nullstellen, Definitionslücken und Polstellen der gebrochenrationalen Funktion: y = x3 3 x 2 +x+3 x x 3. Aufgabe 4-06 Eine gebrochenrationale Funktion besitzt die Nullstellen x N = 2, x N2 = 4 und x N3 = 4 sowie die Polstellen x P = und x P 2 =. Weitere Nullstellen und Pole liegen nicht vor. Wie lautet die Funktionsgleichung?

6 Aufgabe 4-07 Von einer Sinusschwingung der Form y(t) = A sin(ω t + φ) + B sind folgende Daten bekannt: Das. Maximum y max = 7 cm wird nach t = 3 s erreicht, das. Minimum y min = 3 cm wird nach t = 0 s erreicht. Bestimmen Sie A, ω, φ, B und skizzieren Sie den Funktionsverlauf. Aufgabe 4-08 Lösen Sie die folgenden Exponentialgleichungen und logarithmischen Gleichungen: a) e x2 2 x = 2 b) e x + 2 e x = 3 c) ln x +.5 ln x = ln(2 x) d) (lg x) 2 lg x = 2 Aufgabe 4-09 Eine Flüssigkeit mit der Anfangstemperatur T 0 wird durch ein Kühlmittel mit der konstanten Temperatur T gekühlt. Die Temperaturabnahme verläuft dabei exponentiell nach der Gleichung T (t) = (T 0 T ) e k t + T, wobei T (t) die Temperatur der Flüssigkeit zur Zeit t ist. In einem Versuch mit Öl werden bei einer Kühltemperatur von T = 20 C folgende Werte gemessen: Nach 50 min beträgt die Öltemperatur 85 C, nach 50 min dagegen nur noch 30 C. Bestimmen Sie T 0 und k und berechnen Sie anschließend, nach welcher Zeit t das Öl eine Temperatur von 60 C erreicht hatte. Skizzieren Sie den Temperaturverlauf T (t). Aufgabe 4-0 Die Form eines zwischen zwei gleich hohen Masten aufgehängten Seiles wird durch die sogenannte Kettenlinie y = a cosh x beschrieben. Dabei erweist sich a als Höhe des a tiefsten Seilpunktes über dem Koordinatenursprung x = 0. Ermitteln Sie den Durchhang des Seiles, wenn die Masten 50 m entfernt sind und a = 80 m ist. Die Hyperbelfunktion cosh x wird oft durch die Parabel + 0.5x 2 ersetzt. Wie groß ist der Durchhang des Seiles bei dieser Modellierung?

7 Aufgabe 5-0 Für die Funktion f(x) = 2 x 2 +, x D(f) = IR gilt die Grenzwertbeziehung lim x f(x) = 3 = f(). Ermitteln Sie in Bezug auf die ɛ-δ-definition für ɛ > 0 ein δ = δ(ɛ) > 0, so dass f(x) 3 < ɛ für alle x mit x < δ. Berechnen Sie für ɛ = ein solches δ = δ() zahlenmäßig. Aufgabe 5-02 Ermitteln Sie die folgenden Grenzwerte: x a) lim x 2 00 sin 50 x x, x x x 2 + x b) lim x, 2 x+e x x c) lim x +, 2 x+e x x d) lim n x, n IN. x Aufgabe 5-03 Berechnen Sie auf dem direkten Wege über den Grenzwert des Differenzenquotienten die. Ableitung der Funktion f(x) = x 3 und der Funktion f(x) = x n. Aufgabe 5-04 Differenzieren Sie die folgenden Funktionen y = f(x): a) y = 2 x a+, b) y = 4 x 3, c) y = x2 3 x, d) y = (4 x 3 2 x + )(x 2 2 x + 5), e) y = x 2 arcsin x, f) y = 2 x e x cos x, g) y = 5 x5 6 x 2 +, x 2 +2 x+ h) y = +cos x, sin x i) y = 2 cos(0 x π/3), j) y = 2 ln(x 3 2 x), k) y = (x x + 0) 2, l) y = x x cos x.

8 Aufgabe 5-05 Differenzieren Sie die folgenden Funktionen y = f(x) zweimal: a) y = e 0.8 t cos t, b) y = x2, +x 2 c) y = 4 x sin x. Aufgabe 5-06 Linearisieren Sie die folgenden Funktionen in der Umgebung von x 0 und skizzieren Sie die Originalfunktion und die linearisierte Funktion: a) y = + x 4, x 0 =, b) y = 3 ln( + 3 x 5 ), x 0 = 3. Aufgabe 5-07 Einer Kugel vom Radius R = 2 m ist ein senkrechter Kreiszylinder größten Volumens einzuschreiben. Ermitteln Sie Höhe, Radius und Volumen des Kreiszylinders. Aufgabe 5-08 Zwei Massepunkte A und B bewegen sich längs der beiden Koordinatenachsen gleichförmig mit den Geschwindigkeiten v A = 0.5 m/s bzw. v B = 0.6 m/s in Richtung Koordinatenursprung und darüber hinaus. Zu Beginn (t = 0 s) befinden sie sich bei x = 5 m bzw. y = 2 m. Nach welcher Zeit ist der Abstand zwischen A und B am geringsten? Aufgabe 5-09 Führen Sie eine Kurvendiskussion für die Funktion y = f(x) = x x 2 zu folgenden Punkten durch: a) Verhalten im Unendlichen, b) Verhalten an Polstellen, c) Nullstellen, d) Extremwerte, e) Wendepunkte, f) Monotonieverhalten, g) konvexes und konkaves Verhalten, h) Skizze der Funktion. = x x 2

9 Aufgabe 5-0 Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte: a) ln x lim 3 x 2 x 2 2 b) e lim 3 x +e 3 x 2 x 0, 5 x 2 c) lim x x 2 2 x+ Aufgabe 5- x 3 x 2 x+. Gesucht ist die Nullstelle der Funktion y = f(x) = sin x ln x. Berechnen Sie 3 Näherungen x i mit dem Newtonverfahren, wobei als Startwert x 0 = 2 zu verwenden ist. Vergleichen Sie die Güte der Näherungen durch die Funktionswerte f(x i ).

10 Aufgabe 6-0 Im Punkt P 0 = (, 3, ) ist ein Haken befestigt, von dem drei Seile s, s 2, s 3 nach den Punkten P = (2,, ) bzw. P 2 = ( 7, 4, 3) bzw. P 3 = (, 9, 2) gespannt sind. In den Seilen treten Zugkräfte mit den folgenden Beträgen auf: s : N, s 2 : N, s 3 : N. Wie groß ist die in P 0 angreifende Gesamtkraft? Aufgabe 6-02 Eine Kraft von 0 N wirkt vom Koordinatenursprung in Richtung der Raumdiagonalen eines Würfels, dessen Kanten auf den positiven Koordinatenachsen liegen. Berechnen Sie die Arbeit längs eines Weges von 20 m vom Koordinatenursprung in Richtung der Winkelhalbierenden zwischen der positiven x Achse und positiven y Achse. Aufgabe 6-03 Gegeben sind die Vektoren a = ( 3,, ) und b = (,, ). Ermitteln Sie einen Vektor c mit c a und <) ( c ; b ) = 30 o. Ermitteln Sie alle Vektoren c mit diesen Eigenschaften. Aufgabe 6-04 Gegeben sind die Punkte A = ( 2, 3, 0 ), B = ( 5,, 2 ) und C = (, 0, 6 ). a) Welchen Flächeninhalt hat das Dreieck mit den Eckpunkten A, B und C? b) Welches Volumen hat das Tetraeder mit den Eckpunkten O, A, B und C?

11 Aufgabe 6-05 Welche Lage besitzen die folgenden Geradenpaare g, h zueinander? Bestimmen Sie gegebenenfalls Abstand, Schnittpunkt und Schnittwinkel. a) g : durch P = ( 3, 4, 6 ) und P 2 = (, 2, 4 ), h : durch P 3 = ( 3, 7, 2 ) und P 4 = ( 5, 5, 6 ). b) g : r(t) = r + t a = h : s(t) = s + t b = t + t c) g : durch P = (, 2, 0 ) mit dem Richtungsvektor a = ( 2, 0, 5 ), h : durch P 2 = ( 6, 0, 3 ) mit dem Richtungsvektor b = (, 2, 3 ). Aufgabe 6-06,. Liegen die vier Punkte P = (,, ), P 2 = ( 3, 2, 0 ), P 3 = ( 4,, 5 ) und P 4 = ( 2, 4, 2 ) in einer Ebene? Aufgabe 6-07 Gegeben sei die Ebene e durch die Gleichung x + 2 y + 72 z = 2. a) Bestimmen Sie drei Geraden, die (echt) parallel zur Ebene e sind und den Punkt P = ( 3, 2, 0 ) enthalten. b) Welchen Abstand haben die drei Geraden zur Ebene e? c) Bestimmen Sie den Durchstoßungspunkt und den Neigungswinkel der Geraden g : r(t) = zur Ebenen e t 0 0

12 Aufgabe 6-08 Gegeben sind die Ebenen e : 3 x + 7 y + z = 3 und e 2 : r(s, t) = + s 0 + t a) Ermitteln Sie eine Parameterdarstellung von e und eine parameterfreie Darstellung von e 2. b) Bestimmen Sie die Lage beider Ebenen zueinander. Bestimmen Sie gegebenenfalls Abstand, Schnittgerade und Schnittwinkel. Aufgabe 6-09 Durch den Schnittpunkt S der Ebenen e : 2 x + y z = 2, e 2 : x 3 y + z = und e 3 : x + y + z = 3 soll parallel zur Ebene e 4 : x + y + 2 z = 0 eine Ebene e gelegt werden, deren Gleichung gesucht ist. Aufgabe 6-0 Berechnen Sie die Matrizen A und B: a A = a 3 a 32 0, B = a 4 a 42 a 43 b b 2 b 3 b 4 0 b 22 b 23 b b 33 b b 44, die die Matrizengleichung A B = C erfüllen, wobei C =

13 Aufgabe 6- Drehen Sie das Quadrat mit den Eckpunkten A = (, ), B = (2, ), C = (2, 2) und D = (, 2) um 37 o im Uhrzeigersinn um den Drehpunkt S = (, 2). Wie lauten die Eckpunkte des gedrehten Quadrates? Skizzieren Sie das gegebene Quadrat und das gedrehte Quadrat. Aufgabe 6-2 Ein Tetraeder soll auf die Bildschirmebene parallel projiziert werden. Das Tetraeder ist durch die Matrix seiner Eckpunktkoordinaten gegeben: P = Bestimmen Sie die Koordinaten der Bildpunkte a) nach einer Drehung um β x = 5 o um die x-achse, b) nach einer weiteren Drehung um β y = 20 o um die y-achse und zeichnen Sie das Bild jeweils nach der Parallelprojektion. Aufgabe 6-3 Das in Aufgabe 6-2 gegebene Tetradeder soll auf die Bildschirmebene zentralprojiziert werden. Bestimmen Sie die Koordinaten der Bildpunkte und zeichnen Sie das Bild nach der Zentralprojektion a) vom Augenpunkt A = ( 0, 0, 0 ), b) vom Augenpunkt A = ( 4, 3, 2 ).