Kapitel VI. Elementare Funktionen

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1 Kapitel VI Elementare Funktionen

2 Inhalt V.1 Rationale Funktionen Ganzrationale Funktionen Horner-Schema Gebrochenrationale Funktionen Partialbruchzerlegung VI.2 Potenz- und Wurzelfunktionen Definition und Eigenschaften VI.3 Exponential- und Logarithmusfunktionen Definition und Eigenschaften Allgemeine Potenz- und Exponentialfunktion VI.4 Trigonometrische Funktionen Definition und Eigenschaften Arcusfunktionen 2 / 46

3 Ganzrationale Funktionen Definition 1 Eine Funktion f : R Ñ R der Form f pxq a n x n ` a n 1 x n 1 `... ` a 1 x ` a 0 mit n P t0u Y N, a 0, a 1,..., a n 1, a n P R und a n 0 heißt ganzrationale Funktion oder Polynom vom Grad n ě 0. Die Zahlen a 0, a 1,..., a n 1, a n P R heißen Koeffizienten des Polynoms. Polynom vom Grad 0 = konstante Funktion Polynom vom Grad 1 = lineare Funktion Polynom vom Grad 2 = quadratische Funktion Polynom vom Grad 3 = kubische Funktion 4 / 46

4 Horner-Schema Gegeben sei ein Polynom f vom Grad n ě 0 : f pxq a n x n ` a n 1 x n 1 `... ` a 1 x ` a 0 Ziel: effektive Berechnung von f px 0 q für ein x 0 P R durch Reduktion der Anzahl durchzuführender Multiplikationen ñ Horner-Schema für f und x 0 : a n a n 1 a n 2... a 1 a 0 ` `... ` ` x 0 b n 1 x 0 b n 2 x 0... b 1 x 0 b 0 x 0 a n a n 1 ` b n 1 x 0 a n 2 ` b n 2 x 0... a 1 ` b 1 x 0 a 0 ` b 0 x 0 } } } } } b n 1 b n 2 b n 3... b 0 fpx 0 q 5 / 46

5 Was liefert uns das Horner-Schema? Beispiel... Satz 1 Für jedes Polynom f vom Grad n ě 1 und jeden Wert x 0 P R ist die folgende Faktorisierung möglich: f pxq px x 0 qpb n 1 x n 1 ` b n 2 x n 2 `... ` b 1 x ` b 0 q ` lomon f px 0 q, r Rest wobei die Koeffizienten b n 1, b n 2,... b 1, b 0 die Werte aus der letzten Zeile des Horner-Schemas in der Reihenfolge ihres Auftretens bezeichnet. 6 / 46

6 Nullstellenproblem Ist x 0 P R eine Nullstelle des Polynoms f, so liefert Satz 1 zusammen mit dem Horner-Schema die sog. Produktdarstellung von f in der Form: f pxq px x 0 q loooooooooooooooooooooooooomoooooooooooooooooooooooooon pb n 1 x n 1 ` b n 2 x n 2 `... ` b 1 x ` b 0 q, da Rest f px 0 q 0. Restpoylnom vom Grad n 1 Enstprechend kann auch für das Restpolynom ein Linearfaktor px x 1 q abgestalten werden, wobei x 1 P R Nullstelle des Restpolynoms und damit auch von f ist. Das Abspalten eines Linearfaktors von einem Polynom vom Grad n kann höchstens n mal durchgeführt werden. 7 / 46

7 Gegeben ist ein Polynom f vom Grad n ě 1 : f pxq a n x n ` a n 1 x n 1 `... ` a 1 x ` a 0 Satz 2 (1) Das Polynom f hat höchstens n verschiedene reelle Nullstellen. (2) Besitzt das Polynom n nicht notwendigerweise verschiedene Nullstellen x 01, x 02,..., x 0n, dann läßt sich f als Produkt aus n Linearfaktoren darstellen: f pxq a n px x 01 q px x 02 q... px x 0n q. Beispiel... 8 / 46

8 Frage: Wie kann man eine Nullstelle für ein gegebenes Polynom erraten? Ausgangspunkt: Polynom f vom Grad n ě 1 mit ganzzahligen Koeffizienten, d. h.: f pxq a n x n ` a n 1 x n 1 `... ` a 1 x ` a 0, wobei a 0, a 1,..., a n 1, a n P Z. Satz 3 Sei f ein Polynom vom Grad n ě 1 mit ganzzahligen Koeffizienten. Falls f eine ganzahlige Nullstelle x 0 P Z besitzt, dann ist x 0 ein Teiler von a 0. Erraten Untersuche alle ganzahligen Teiler von a 0, ob diese als Kandidaten für eine Nullstelle in Frage kommen. 9 / 46

9 Gebrochenrationale Funktionen Definition 2 Unter einer (gebrochen-)rationalen Funktion f verstehen wir den Quotienten zweier ganzrationaler Funktionen (bzw. Polynome): f pxq p mpxq q n pxq a mx m ` a m 1 x m 1 `... ` a 1 x ` a 0 b n x n ` b n 1 x n 1 `... ` b 1 x ` b 0 mit a m 0, b n 0. Der maximale Definitionsbereich ist D f : tx P R : q n pxq 0u. Im Falle m ă n heißt f echt gebrochen, im Falle m ě n unecht gebrochen. Beispiel / 46

10 Nullstellen, Definitionslücken, Polstellen Gegeben ist ein rationale Funktion f pxq p mpxq q n pxq x 0 P R ist Nullstelle von f, falls p m px 0 q 0 und q n px 0 q 0 x 1 P R heißt Definitionslücke von f, falls q n px 1 q 0 eine Definitionslücke x 1 von f heißt hebbar, falls p m px 1 q 0 eine Definitionslücke x p von f heißt Pol(-stelle), falls p m px p q 0 11 / 46

11 Verhalten in den Polstellen Für eine Polstelle x p weist eine rationale Funktion f pxq p mpxq q n pxq folgendes Verhalten auf: lim f pxq 8 bzw. lim f pxq 8 xñx p xñx p` ñ der Graph der Funktion schmiegt sich asymptotisch an die in der Polstelle errichtete Parallele zur y Achse an. Beispiel / 46

12 Verhalten einer rationalen Funktion im Unendlichen Gegeben ist ein rationale Funktion f pxq p mpxq q n pxq (1) m ă n ñ lim f pxq 0 (ÝÑ Aysmptote 0) xñ 8 (2) m n ñ lim m xñ 8 bm (3) m ą n ñ lim f pxq 8 xñ 8 Beispiel... (ÝÑ Asymptote a m bm q In diesem Fall schmiegt sich f einer Aysmptote ppxq an, welche mittels Polynomdivision bestimmt werden kann. Dabei wird die Funktion f in eine ganzrationale Funktion ppxq und eine echt gebrochenrationale Funktion r pxq zerlegt, d. h.: f pxq ppxq ` rpxq mit lim rpxq 0. xñ 8 13 / 46

13 Beispiel f pxq px 2qpx ` 1q x 3 x 2 x 2 x 3 x ` 2 ` 4 x 3 14 / 46

14 Partialbruchzerlegung Gegeben ist eine echt gebrochen rationale Funktion f pxq p mpxq q n pxq Darstellung von f als Summe sog. Partialbrüche 1. Zerlegung von q n pxq in Linearfaktoren (ggf. Nullstellen berechnen) 2. Partialbruchzerlegung: Zuordnung von Partialbrüchen jedem k fachen Linearfaktor px aq k von q n pxq (also a ist Nullstelle von q n pxq der Vielfachheit k): px aq k ù A 1 px aq 1 ` A 2 px aq 2 `... ` A k px aq k ñ f pxq p mpxq darstellbar als Summe aller Partialbrüche q n pxq 3. Bestimmung der in den Partialbrüchen auftretenden Konstanten durch Einsetzen spezieller x Werte (z. B. Nullstellen von q n pxq) 15 / 46

15 Bemerkung: Besitzt das Nennerpolynom q n pxq einen k fachen quadratischen Faktor px 2 ` ax ` bq k (da bspw. q n pxq komplexe Nullstellen besitzt), so ist folgender Partialbruchansatz günstig: px 2`ax`bq k ù A 1x ` B 1 px 2 ` ax ` bq ` A2x ` B 2 `...` Akx ` B k 1 px 2 ` ax ` bq2 px 2 ` ax ` bq k Beispiel / 46

16 Potenz- und Wurzelfunktionen Definition und Eigenschaften Definition 3 Es sei n P N. Die Polynomfunktion f : R Ñ R mit f pxq x n heißt Potenzfunktion mit Exponenten n (bzw. n te Potenzfunktion). n gerade n ungerade 18 / 46

17 n gerade W f f prq R` x 0 0 ist Nullstelle von f f p 1q f p1q 1 f ist gerade Funktion lim f pxq `8 xñ 8 f pxq `8 lim xñ`8 f ist stetige Funktion auf R f ist nicht monoton auf R f ist aber streng monoton steigend auf R` ñ f ist umkehrbar auf R` n ungerade W f f prq R x 0 0 ist Nullstelle von f f p 1q 1, f p1q 1 f ist ungerade Funktion lim f pxq 8, xñ 8 f pxq `8 lim xñ`8 f ist stetige Funktion auf R f ist streng monoton steigend auf R ñ f ist umkehrbar auf R 19 / 46

18 Definition 4 Die Umkehrfunktion f 1 : R` Ñ R` zur n ten Potenzfunktion f auf R` mit f 1 pxq : x? 1 n : n x heißt n te Wurzelfunktion. n gerade n ungerade 20 / 46

19 Bemerkung Für n ungerade ist die Potenzfunktion f pxq x n sogar streng monoton wachsend auf ganz R. Daher existiert für ungerade n die Umkehrfunktion f 1 : R Ñ R : f 1 pxq : x 1 n für x P R. 21 / 46

20 Potenzfunktion mit rationalem Exponenten Definition 5 Seien m P Z und n P N. Eine Funktion f : p0 ; `8q Ñ p0 ; `8q mit f pxq : x m n : n? x m heißt Potenzfunktion mit rationalem Exponent. 22 / 46

21 Exponential- und Logarithmusfunktionen Definition und Eigenschaften Bekannt: ˆ lim 1 ` 1 n nñ`8 n : e 2, Verallgemeinerung: Für jedes x P R existiert der Grenzwert lim 1 ` x n : e x nñ`8 n Definition 6 Die Funktion exp : R Ñ R mit exppxq : e x heißt Exponentialfunktion (zur Basis e). 24 / 46

22 Eigenschaften von exppxq D exp R, W exp expprq R ą0 expp0q 1, expp1q e exp besitzt keine Nullstellen lim xñ 8 exppxq 0 lim xñ`8 exppxq `8 exp ist stetig auf D exp exp ist streng monoton steigend auf D exp 25 / 46

23 Eigenschaften von f pxq expp xq D f R, W f R ą0 f p0q 1, f p 1q e f besitzt keine Nullstellen lim f pxq `8 xñ 8 lim f pxq 0 xñ`8 f ist stetig auf D f f ist streng monoton fallend auf D f 26 / 46

24 Bemerkung 1. Die Funktion f a pxq : exppaxq mit a ą 0 verhält sich qualitativ wie die Exponentialfunktion exppxq. 2. Die Funktion f a pxq : expp axq mit a ą 0 verhält sich qualitativ wie die Exponentialfunktion expp xq. 27 / 46

25 Logarithmusfunktion exp : R Ñ R ą0 ist streng monoton steigend ñ exp ist umkehrbar Definition 7 Die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion heißt natürliche Logarithmus-Funktion. Schreibweise: ln : R ą0 Ñ R mit x ÞÑ lnpxq D ln R ą0, W ln R Nullstelle: x 0 1 lim lnpxq `8 xñ`8 lnpxq 8 lim xñ0` ln ist stetig und streng monoton steigend auf D ln 28 / 46

26 Allgemeine Potenz- und Exponentialfunktion Zusammenspiel von Exponential- und Logarithmusfunktion Definition 8 p1q Die Funktion f : R ą0 Ñ R ą0 mit f pxq x α : exppα lnpxqq e α lnpxq, x P R ą0 heißt allgemeine Potenzfunktion mit Exponent α P R. p2q Die Funktion f : R Ñ R ą0 mit f pxq a x : exppx lnpaqq e x lnpaq, x P R heißt allgemeine Exponentialfunktion zur Basis a ą / 46

27 Beispiel Skizzieren Sie das Schaubild folgender Funktionen: f pxq x?2 für x P R ą0 gpxq ˆ1 2 x für x P R 30 / 46

28 Tigonometrische Funktionen Wiederholung Winkelfunktionen finden Anwendung in Physik und Technik zur Beschreibung periodischer Vorgänge, wie z. B. Wechselspannung, Biosignale... Bekanntes aus der Schulmathematik Für 0 ă α ă 90 gilt: sinpαq Gegenkathete Hypotenuse cospαq Ankathete Hypotenuse tanpαq Gegenkathete Ankathete b c a c b a sinpαq cospαq 32 / 46

29 Winkel- und Bogenmaß Idee: Erweiterung der Definition auf Winkel α ą 90 und α ă 0 α Winkelmaß (in Grad ( )) x Bogenmaß des Winkels α (in Radiant) Länge des Kreisbogens, der dem Winkel α gegenüberliegt α 360 x 2π π 3 x 0 2 π 2 π 2π α s c x ist positiv, falls α gegen den Uhrzeigersinn und negativ, wenn α im Uhrzeigersinn gemessen wird. 33 / 46

30 Für jedes Bogenmaß x P r0 ; 2πs sind die Zuordnungen eindeutig: x ÞÑ s : sinpxq und x ÞÑ c : cospxq Bemerkung: Die Beziehung zwischen Winkel und Bogenmaß gilt auch für Winkel ą 360 (entspricht einem Bogenmaß ą 2π) und ă 0 (entspricht einem Bogenmaß ă 0); in diesem Fall muss man den Kreis mehrfach im Uhrzeigersinn bzw. entgegen den Uhrzeigersinn durchlaufen. Bspw. entspricht dem Bogenmaß 3π das Gradmaß 540. Vereinbarung: Winkel werden von jetzt an in Bogenmaß gemessen und dieses Bogenmaß x kann eine beliebige reelle Zahl sein. 34 / 46

31 Winkelfunktionen Definition 9 Die auf R definierten Funktionen x ÞÑ sinpxq : s bzw. x ÞÑ cospxq : c für Winkel x in Bogenmaß heißen Sinus- bzw. Cosinusfunktion. Die Funktionen heißt Tangensfunktion x ÞÑ tanpxq : s c sinpxq, falls cospxq 0 cospxq und x ÞÑ cotpxq : c s cospxq, falls sinpxq 0 sinpxq heißt Cotangensfunktion. 35 / 46

32 Schaubild der Sinus- und Cosinusfunktion 36 / 46

33 Eigenschaften der Sinus- und Cosinusfunktion Eigenschaften von f fpxq sinpxq fpxq cospxq Definitionsbereich Werteberich Periode R r 1 ; 1s p 2π Symmetrie ungerade gerade π Nullstellen k π 2 ` k π rel. Maxima pf pxq 1q ` k 2π k 2π rel. Minima pf pxq 1q 3 2 π 2 π ` k 2π π ` k 2π 37 / 46

34 Wichtige trigonometrische Formeln Satz 4 Für x, y P R gelten die folgenden Regeln (Additionstheoreme): piq sinpx ` yq sinpxq cospyq ` cospxq sinpyq piiq cospx ` yq cospxq cospyq sinpxq sinpyq Folgerung: Für x P R gilt: Satz von Pythagoras sin 2 pxq ` cos 2 pxq psinpxqq 2 ` pcospxqq 2 1 Phasenverschiebung sinpxq cos `x π cospxq sin `x ` π 2 2 Winkelverdopplung sinp2xq 2 sinpxq cospxq cosp2xq cos 2 pxq sin 2 pxq sin 2 pxq 1 p1 cosp2xqq 2 cos2 pxq 1 p1 ` cosp2xqq 2 38 / 46

35 Allgemeine Sinus- bzw. Cosinsufunktion Die allgemeine Sinusfunktion ist gegeben durch f pxq a sinpbx ` cq ` d a sin b x ` c b ` d a b c maximale Amplitude bewirkt eine Änderung der Periode p 2π b Anfangsphase, Verschiebung entlang der x Achse c b Phasenverschiebung (im Falle d 0) d Verschiebung entlang der y Achse Für die allg. Cosinusfunktion f pxq a cospbx ` cq ` d gilt Ähnliches. 39 / 46

36 Eigenschaften der Tangens- und Cotangensfunktion Eigenschaften von f fpxq tanpxq fpxq cotpxq Definitionsbereich Rzt π 2 Werteberich Periode Symmetrie ` k π : k P Zu Rztk π : k P Zu R p π ungerade π Nullstellen k π 2 ` k π π Polstellen 2 ` k π k π 40 / 46

37 Arcusfunktionen Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen tanpϕq 12 m 100 m 0, 12 Frage: Wie groß ist ϕ? Problem: Die Winkelfunktionen sind nicht auf dem gesamten Definitionsbereich streng monoton. Idee: Man schränkt den Definitionsbereich der Winkelfunktionen geeignet ein, so dass sich die Funktionen dort wie streng monotone Funktionen verhalten. Die nachfolgend gewählten Einschränkungen der Definitionsbereiche liefern jeweils den Hauptwert ( wesentlicher Teil ) der Winkelfunktionen. 41 / 46

38 Die Sinusfunktion sin : π 2 ; π ı 2 Arcussinusfunktion Ñ r 1; 1s ist auf π 2 ; π 2 streng monoton steigend. Die Umkehrfunktion zur Sinusfunktion heißt Arcussinusfunktion: arcsin : r 1; 1s Ñ Nullstelle: x 0 0 ungerade π 2 ; π ı 2 streng monoton steigend 42 / 46

39 Die Cosinusfunktion Arcuscosinusfunktion cos : r0; πs Ñ r 1; 1s ist auf r0; πs streng monoton fallend. Die Umkehrfunktion zur Cosinusfunktion heißt Arcuscosinusfunktion: arccos : r 1; 1s Ñ r0; πs Nullstelle: x 0 1 arccosp0q π 2 streng monoton fallend 43 / 46

40 Die Tangensfunktion tan : π 2 ; π Ñ R 2 Arcustangensfunktion ist auf ` π 2 ; π 2 streng monoton steigend. Die Umkehrfunktion zur Tangensfunktion heißt Arcustangensfunktion: arctan : R Ñ π 2 ; π 2 Nullstelle: x 0 0 ungerade streng monoton steigend Asymptote bei y π 2 44 / 46

41 Die Tangensfunktion Arcuscotangensfunktion cot : p0; πq Ñ R ist auf p0; πq streng monoton fallend. Die Umkehrfunktion zur Cotangensfunktion heißt Arcuscotangensfunktion: arccot : R Ñ p0; πq Nullstelle: keine arccotp0q π 2 streng monoton fallend Asymptote bei y 0 und y π 45 / 46

42 Beziehungen zwischen den Arcusfunktionen arccospxq π 2 arcsinpxq für 1 ď x ď 1 x arcsinpxq tan 1 ă x ă 1? 1 x 2 arccotpxq π 2 arctanpxq für x P R Satz : Stetigkeit elementarer Funktionen Die in diesem Kapitel VI behandelten elementaren Funktionen Polynom- und gebrochen rationale Funktionen Potenz- und Wurzelfunktionen Exponential- und Logarithmusfunktionen allgemeine Potenz- und allgemeine Exponentialfunktionen trigonometrische Funktionen und Arcusfunktionen sind auf ihrem jeweiligen Definitionsbereich stetig. 46 / 46