V4. VORKURSWISSEN: Funktionen

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1 Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik, WS V4. VORKURSWISSEN: Funktionen INHALT: V4. VORKURSWISSEN: Funktionen... V4.. Allgemeine Funktionseigenschaften... V4.. Funktionsübersicht Polynome (=ganz-rationale Funktionen) und gebrochen-rationale Funktionen Trigonometrische Funktionen Tangens- und Cotangensfunktion Arcusfunktionen Hyperbolische Funktionen... 5 V4.. Allgemeine Funktionseigenschaften Def D 4- Nullstelle einer Funktion Eine Funktion y = f() besitzt in 0 D eine Nullstelle, falls f( 0 ) = 0. In einer Nullstelle schneidet oder berührt der Funktionsgraph die -Achse. Beispiel: f() = (-) = 3 - Nullstelle bei =0 Nullstelle bei = Abbildung 4-: Funktionsverlauf der Funktion f() = (-) Die Funktion f() = (-) hat zwei Nullstellen und zwar 0 =0 und 0 = (siehe Diagramm). W. Konen 04V-VORKURS_Funk.doc Seite

2 Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik, WS Def D 4- Symmetrie: Gerade und ungerade Funktion Sei f() eine Funktion mit Definitionsbereich D derart, dass für alle D auch gilt. f() heißt gerade, falls gilt D : f () = f ( ) - D f() heißt ungerade, falls gilt D : f () = f ( ) Zur Namensgebung: "gerade", weil alle Polynome mit nur geraden Potenzen gerade Funktionen sind. "Symmetrie", weil eine gerade Funktion spiegelsymmetrisch zur y-achse ist und wei eine ungerade Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist Beispiele:.) y = ist eine gerade Funktion, weil wegen D = D ma = R für alle D auch (-)D (Bedingung S) und f( ) f( ) 0 (Bedingung G) erfüllt sind..) y = 3 ist eine ungerade Funktion, weil wegen D = D ma = R für alle D auch (-)D (Bedingung U) und f( ) f( ) ( ) (Bedingung U) erfüllt sind. Abbildung 4-: Beispiel einer geraden Funktion ( y = ) und einer ungeraden Funktion ( y = 3 ). W. Konen 04V-VORKURS_Funk.doc Seite

3 Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik, WS ) y = 3 - ist weder gerade noch ungerade (s. Abb. 4.). Zwar ist wegen D = D ma =R für alle D auch (-)D (Bedingung S), aber wegen f() - f(-) 0 und f() + f(-) 0 ist weder (G) noch (U) erfüllt. Beweis als Übung! Def D 4-3 Monotonie einer Funktion Gegeben sei eine Funktion y = f(), f : D Z, und, D seien beliebig. Dann heißt die Funktion f monoton steigend, falls < f( ) f( ) streng monoton steigend, falls < f( ) < f( ) monoton fallend, falls < f( ) f( ) streng monoton fallend, falls < f( ) > f( ) Bemerkung: Die Monotoniebedingungen sind schwächer als die der strengen Monotonie, d.h. (streng monoton steigend) (monoton steigend) und (streng monoton fallend) (monoton fallend) Abbildung 4-3: Beispiele für die Monotonie von Funktionen y = ist streng monoton steigend, y = streng monoton fallend und y = - für <0 streng monoton fallend und für >0 streng monoton steigend. W. Konen 04V-VORKURS_Funk.doc Seite 3

4 Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik, WS Def D 4-4 Periodizität einer Funktion Eine Funktion f : D Z, y = f() heißt periodisch mit der Periode p, falls für alle D (P) f ( ) = f ( + p ). Mit p ist auch ( k. p) mit kn eine Periode für f. Die kleinste Periode p>0 einer Funktion heißt primitive Periode von f. Typische Beispiele periodischer Funktionen sind die trigonometrischen Funktionen Sinus, Cosinus etc. (siehe Abschnitt 4..). Abbildung 4-4: Periodische Funktion Sinus mit (primitiver) Periode Wir greifen jetzt die Definition von injektiv, surjektiv und bijektiv für Abbildungen aus Kapitel auf und verwenden sie zukünftig im selben Sinne für Funktionen: Def D 4-5 Injektivität, Surjektivität, Bijektivität Eine Funktion f : D Z, y = f() heißt injektiv (umkehrbar), falls verschiedene Elemente von D auf verschiedene Elemente von Z abgebildet werden, kurz: f( ) f( ) für alle, D. Eine Funktion f : D Z, y = f() heißt surjektiv, falls jedes Element von Z das Bild eines Elementes aus D ist, kurz: f(d) = Z. W. Konen 04V-VORKURS_Funk.doc Seite 4

5 Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik, WS Eine Funktion f : D Z, y = f() heißt bijektiv (-zu--abbildung), falls f injektiv und surjektiv ist. Beispiel / Übung: Prüfen Sie auf Injektivität und Surjektivität a) f : R R, f() = + b) f : R R 0, g() = Lösung: a) f ist injektiv, denn für alle, R gilt f( ) - f( ) = ( +) - ( +) = ( - ). Für R gilt somit f( ) f( ). f ist auch surjektiv, denn für jedes yr gibt es ein R, nämlich Auflösen von y=f() nach findet. y b) y=g() ist surjektiv, denn für jedes y0 gibt es ein, nämlich y, g ist NICHT injektiv, denn zum Beispiel ist g() = 4 = g(-)., wie man durch Die Eigenschaften "injektiv" und "surjektiv" sind mit der Lösbarkeit der Gleichung f()=y verknüpft. Im Falle reeller Funktionen: Die Gleichung f()=y hat für gegebenes y eine (mehrere) Lösungen, wenn die Horizontale in Höhe y einen (mehrere) Schnittpunkte mit dem Graphen von f() hat. Das ist in Abbildung 4-5 dargestellt: Bei der Funktion in (a) gibt es für jede Gerade mindestens einen Schnittpunkt, im eingezeichneten Fall sogar drei: (a) ist daher surjektiv, aber nicht injektiv. In (b) gibt es für jede Gerade höchstens einen Schnittpunkt, im eingezeichneten Fall aber keinen: Die Funktion ist injektiv, aber nicht surjektiv. Im Fall (c) schließlich hat jede Gerade genau einen Schnittpunkt, die Funktion in (c) ist bijektiv. (a) NICHT injektiv (b) NICHT surjektiv (c) injektiv + surjektiv = bijektiv [Teschl05, Bd., S. 6] Abbildung 4-5: Injektivität und Surjektivität Meist kann man Funktionen, die NICHT "X"-jektiv sind ("X" = in-, sur- oder bi-) durch passende Einschränkung des Definitionsbereichs und/oder des Wertebereiches "X"-jektiv machen. W. Konen 04V-VORKURS_Funk.doc Seite 5

6 Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik, WS V4.. Funktionsübersicht 4... Polynome (=ganz-rationale Funktionen) und gebrochenrationale Funktionen a b 0 0 a a b b Polynome (=ganz-rationale Funktionen) Rationale Funktionen m a m pm () n b q () n n mit a i,b i R und m,n N 0 gebrochen-rationale Funktionen n>0 echt-rational Nenner = (d.h. n=0) n>m n m Bsp.: 5 3 ln5 5 Definitionsbereich = R, stetig auf ganz R, keine Polstellen 5 kann Polstellen haben, lim f () lim f () 0 kann Polstellen haben a) 0 heißt k-fache Nullstelle von f(), falls sich der Faktor (- 0 ) k-mal aus p m () abspalten läßt (und ein Polynom übrig bleibt). b) 0 heißt k-fache Polstelle von f(), falls 0 k-fache Nullstelle von q n () ist. Beispiele: a) f( ) Die Funktion f hat eine einfache Nullstelle bei = und einen einfachen Pol bei = -. W. Konen 04V-VORKURS_Funk.doc Seite 6

7 Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik, WS b) Abbildung 4-6: Die Funktion f( ) Abbildung 4-7: Die Funktion f( ) 3 Die Funktion f hat eine doppelte Nullstelle bei = 0, einen zweifachen Pol bei = - und einen einfachen Pol bei = 3. W. Konen 04V-VORKURS_Funk.doc Seite 7

8 Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik, WS Trigonometrische Funktionen Wozu braucht man Trigonometrie? Anwendungsfelder trigonometrischer Funktionen sind außer in der Geometrie überall dort, wo Schwingungen oder periodische Abläufe zu beschreiben sind, z.b: - Wellen, Pendelbewegung - Wechselstromkreise etc. Bogenmaß In der ebenen Geometrie werden üblicherweise Winkel in Gradmaß gemessen (0 0 bis ). Die Einteilung in 360 Grad ist willkürlich (andere Einteilungen, z.b. in 400, gibt es auch). Mathematiker haben sich auf den Einheitskreis, der den "Universalumfang" hat, und das Bogenmaß geeinigt: Bogenmaß s Abbildung 4-8: Bogenmaß versus Gradmaß Zwischen Bogenmaß s und Gradmaß besteht die lineare Beziehung: 0 80 s bzw. mit = s Tabelle spezieller Winkel: s Drehsinn: positiv: Gegenuhrzeigersinn negativ: Uhrzeigersinn W. Konen 04V-VORKURS_Funk.doc Seite 8

9 Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik, WS Def D 4-6 Sinus- und Cosinus-Funktion Der Sinus eines beliebigen Winkels R (im Bogenmaß) ist definiert als der y-abschnitt des zu gehörenden Punktes P auf dem Einheitskreis. Der Cosinus eines beliebigen Winkels R (im Bogenmaß) ist definiert als der -Abschnitt des zu gehörenden Punktes P auf dem Einheitskreis. y P = (cos, sin ), sin cos Abbildung 4-9: Darstellung von Sinus und Cosinus im Einheitskreis Satz S 4- Dreiecksbeziehungen Im rechtwinkligen Dreieck gelten folgende Beziehungen: g h a sin cos tan Bemerkung: Die längste Seite heißt Hypothenuse h, die dem Winkel gegenüberliegende Seite heißt Gegenkathete g, die am Winkel beginnende Seite heißt Ankathete a. Satz S 4- Eigenschaften von Sinus und Cosinus Im Folgenden sei kz eine ganze Zahl. Symmetrie: sin( ) = sin() cos( ) = cos() Periodizität: sin(+k) = sin() cos(+k) = cos() Nullstellen: bei =k für Sinus bei = +k für Cosinus W. Konen 04V-VORKURS_Funk.doc Seite 9

10 Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik, WS Beschränktheit: sin() cos() Trigonometrischer Pythagoras: sin () + cos () = Bemerkung: wir schreiben als Kurzform von ( sin() ) = sin. Satz S 4-3 Additionstheoreme sin( + ) = sin cos + cos sin cos( + ) = cos cos sin sin Aus den Additionstheoremen lassen sich nützliche Rechenregeln ableiten, z.b. sin () = sin cos cos() = cos - sin(+) = - sin () cos(+) = - cos () sin(+ ) = cos () cos(+ ) = - sin () Abbildung 4-0: Graphen der Sinus- und der Cosinus-Funktion Ü Beispielaufgabe: "Blutroter Sonnenuntergang am Äquator" Blutrot versinkt die Sonne am Äquator im Meer. Wir sitzen im leise schaukelnden Boot und blicken zurück auf die Küste im Osten, an der sich steil ein mächtiger Berg erhebt. Genau um 8:08 erreicht der Schatten der Dämmerung den Saum der Küste und genau 7 Minuten später, um 8:5, verlöscht der letzte Sonnenstrahl an der Spitze des Berges. Wie hoch ist der Berg? (Erdradius = 6000 km) Wie ändert sich die Lage, wenn wir uns auf dem 50. Breitengrad befinden? W. Konen 04V-VORKURS_Funk.doc Seite 0

11 Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik, WS [Lösung am Ende] Tangens- und Cotangensfunktion Wichtig ist eigentlich nur sin tan cos und Cotangens = Kehrwert des Tangens. Der Rest ergibt sich aus den Eigenschaften von Sinus und Cosinus. v Q = (, tan ) P = (cos, sin ) tan sin cos P 0 Q 0 u Abbildung 4-: Darstellung von Tangens mit Sinus und Cosinus am Einheitskreis Der Tangens wird, wie auch Sinus und Cosinus, am Einheitskreis definiert. Er ist hier die Länge der Gegenkathete, wenn die Ankathete die Länge hat. Aus der geometrischen Ähnlichkeit der Dreiecke OP 0 P und OQ 0 Q folgt sin cos tan. An der Skizze können wir weiterhin abschätzen, dass für (0, ) gilt: sin < < tan. Def D 4-7 Tangens- und Cotangens-Funktion Der Tangens eines beliebigen Winkels R (im Bogenmaß) ist definiert als tan : R \ { sin tan cos k; k Z} R Der Cotangens eines beliebigen Winkels R (im Bogenmaß) ist definiert als W. Konen 04V-VORKURS_Funk.doc Seite

12 Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik, WS cot : R \ cot {k; cos sin k Z} R Tangens im rechtwinkligen Dreieck s. Satz S 4-. Satz S 4-4 Eigenschaften von Tangens und Cotangens Im Folgenden sei kz eine ganze Zahl. Symmetrie: tan( ) = tan() cot( ) = cot() Nullstellen: bei =k für Tangens bei = +k f. Cotangens Periodizität: tan(+k) = tan() cot(+k) = cot() Polstellen: tan bei = +k cot bei =k Abbildung 4-: Tangens- und Cotangensfunktion W. Konen 04V-VORKURS_Funk.doc Seite

13 Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik, WS Arcusfunktionen Monotonie Sinus und Cosinus sind als Funktionen auf R definiert, aber dort nicht monoton, also auch nicht umkehrbar. Schränkt man allerdings Sinus auf das Intervall (-, ) ein und Cosinus auf (0,), so sind beide Funktionen streng monoton und damit umkehrbar. Die Umkehr- funktionen werden als Arcussinus und Arcuscosinus bezeichnet. Tangens und Cotangens sind auf ihren maimalen Definitionsbereichen nicht monoton. Allerdings ist Tangens auf (-, ) streng monoton wachsend und Cotangens auf (0,) streng monoton fallend. Auf diesen Intervallen sind die Funktionen auch umkehrbar Die Umkehrfunktionen werden als Arcustangens und Arcuscotangens bezeichnet Def D 4-8 Arcusfunktionen Die Umkehrfunktionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens werden Arcusfunktionen genannt. Winkelfunktionen Arcusfunktion sin: [-, ] [-,], =sin y arcsin: [-,] [-, ], y=arcsin = sin - cos: [0,] [-,], =cos y arccos: [-,] [0,], y=arccos = cos - tan: [-, ] R, =tan y arctan: R [-, ], y=arctan = tan - cot: [0,] R, =cot y arccot: R [0,], y=arccot = cot - Hinweis: Schreibweise tan - nicht verwechseln mit /tan. Deshalb besser arctan oder atan verwenden!! Im Definitionsbereich gilt arcsin( sin y ) = y und sin( arcsin ) = und entsprechend auch für die übrigen Umkehrfunktionen. W. Konen 04V-VORKURS_Funk.doc Seite 3

14 Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik, WS Abb. 4.3: Sinus und Arcussinus Abb. 4.4: Cosinus und Arcuscosinus Abb. 4.5: Tangens und Arcustangens Abb. 4.6: Cotangens und Arcuscotangens Weitere Eigenschaften der Arcusfunktionen werden in den Übungen besprochen! Ü Übung: Bei einem Haus mit 0m Breite hat der Dachstuhl eine Giebelhöhe von 5m. Welchen Winkel schließt das Dach mit der Horizontalen ein? W. Konen 04V-VORKURS_Funk.doc Seite 4

15 Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik, WS Hyperbolische Funktionen Sinus hyperbolicus (sinh) und Cosinus hyperbolicus (cosh) sind definiert durch sinh() Sie erfüllen die Additionstheoreme e e und cosh() e e sinh( ) sinh( )cosh( ) cosh( )sinh( ) cosh( ) cosh( )cosh( ) sinh( )sinh( ) (Beweis in Übungen) Abbildung 4-7: Sinus hyperbolicus und Cosinus hyperbolicus Wieso in den Namen dieser Funktionen "Sinus" und "Cosinus" vorkommt, obwohl die Funktionen ja gar nicht periodisch sind, werden wir später verstehen, wenn wir zu kompleen Zahlen und kompleen Funktionen kommen. Lösung zu Aufgabe "Blutroter Sonnenuntergang am Äquator": Aus geeigneter Zeichnung liest man ab: R cos h R R h cos Es gilt Tag = 460 min =440 min. ( Tag) = (via Dreisatz) (7 min) = *7/440. Durch Einsetzen folgt h= m für Äquator. Für den 50. Breitengrad (b=50 0 ) ist R zu ersetzen durch R eff =R sin b (Abstand zur Erdachse, Bild!) und damit ist h=44.74 m. Hinweis auf später: wir werden mit dem Satz von Taylor in Kapitel 05-Differentialrechnung eine noch viel einfachere Faustformel "Höhe[m] = 57 * Zeit[min] zum Quadrat" kennenlernen. Lösung zur Aufgabe Hausdach: [Skizze machen] = arc tan (5/0) * 80/ = W. Konen 04V-VORKURS_Funk.doc Seite 5