3.1 Rationale Funktionen

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1 3.1 Rationale Funktionen EineFunktionf : R R der Formx P(x) Q(x) mit Polynomen P(x), Q(x) heißt rationale Funktion. Der maximale Definitionsbereich von f = P(x) Q(x) Sei x 0 R mit Q(x 0 ) = 0. Ferner sei ist D(f) = {x R Q(x) 0}. wobei also P(x) = (x x 0 ) k P (x), Q(x) = (x x 0 ) l Q (x), P (x 0 ) 0, Q (x 0 ) 0, P(x) Q(x) = (x x 0) k lp (x) Q (x). Ist k < l, dann ist x 0 eine Polstellevon P(x) Q(x). In der Nähe einer Polstellewerden die Funktionswerte sehr groß (oder sehr klein), weil bei Annäherung an x 0 der Wert von (x x 0 ) k l gegen ± geht, wohingegen der Ausdruck P (x) Q (x) für x-werte in der Nähe von x 0 nicht in die Nähe von 0 kommt! 13

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6 Ist k l, dann ist x 0 eine sogenannte hebbare Lücke. Zunächst einmal gehört x 0 nicht zum Definitionsbereich, weil ja Q(x 0 ) = 0 ist. Wir definieren aber einfach ( ) P 0 wenn k > l (x 0 ) = Q P (x 0 ) Q (x 0 ) wenn k = l Das ist möglich weil Q (x 0 ) 0 und k l ist. Beispiel 3.16 Für die Funktion f 1 (x) = P(x) Q(x) = (x 1) (x+) (x 1)(x+3) ist (für x 0 = 1) k > l und P(x) hat eine hebbare Definitionslücke. Der Q(x) Funktionswert für x 0 = 1 wird definiert als 0. 14

7 4 3 y x 1 Beachten Sie aber, dass die Funktion f(x) formal für x = 1 nicht definiert ist. Für f (x) = P(x) Q(x) = (x 1) (x+) (x 1) (x+3) ist (an der Stelle x 0 = 1) k = l und wieder hat P(x) dort eine hebbare Q(x) Definitionslücke. Der Funktionswert ist (per Definition) 3. Das folgende 16 Bild zeigt den Graph der Funktion f nur in der Nähe von x 0 = 0. 15

8 x y Wenn Sie einen größeren Abschnitt auf der x-achse betrachten, so sehen Sie eine Polstelle bei x = 3. 16

9 x y Ist nun f 3 (x) = P(x) Q(x) = (x 1) (x+) (x 1) 3 (x+3), so ist k < l (wieder für x 0 = 1) und die Funktion hat dort eine Polstelle. 17

10 4 3 y x 3 4 Beispiel 3.17 Ein typisches Beispiel für eine rationale Funktion ist die Stückkostenfunktion aus dem ersten Kapitel dieses Abschnitts. Allgemein ist die Kostenfunktion gegeben durch K(x) = k f +k v x mit den festen (monatlichen) Kosten k f des Unternehmens und den variablen Kostenk v,dieproproduziertemstückanfallen.dannistdiestückkostenfunktion S(x) = k f +k v x = k v + k f x x eine rationale Funktion mit einer Polstelle für x = 0. 18

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13 3. Trigonometrische Funktionen Vorbemerkung. Wir definieren die Winkelfunktionen bezogen auf die Bogenlänge x auf dem Einheitskreis, d.h. für x [0,π]. Alternativ werden die Argumente der Winkelfunktionen in Winkelgraden angegeben. Hier entspricht der Winkelgrad α = 360 o der Bogenlänge x = π, und Anteile am Vollkreiswinkel 360 o werden entsprechend in Anteile des Kreisumfangs umgerechnet: α = 360o entspricht x = π t t d.h. die Bogenlänge zum Winkel α ist x = π 180 α. (i) Sinus Als Winkelfunktion ist die Sinus-Funktion in folgender Weise definiert. Für einen Winkel α [0, π Gegenkathete ] ist sinα = Hypotenuse, wobei hier die (Längen der) Gegenkathete und Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck mit Scheitelwinkel α gemeint ist. Für α [ π,π] ist sinα = sin(π α). Für α [π,π] ist sinα = sin(α π). Ist x R, dann schreiben wir x = mπ +α mit m Z, α [0,π), und setzen sinx = sinα. Dadurch ist die Sinus-Funktion auf ganz R erklärt. Sie 19

14 ist periodisch mit Periode π, d.h. sin(x + π) = sin(x). Ihr Wertebereich ist W(sin) = {y R : 1 y 1} = [ 1,1]. π/ α Gegenkathete Hypothenuse α Ankathete Diese Skizze zeigt noch einmal die Größen, die bei der Definition der trigonometrischen Funktionen eine Rolle spielen. (ii) Cosinus: Als Winkelfunktion ist die Cosinus-Funktion in folgender Weise definiert. Für einen Winkel α [0, π Ankathete ] ist cosα =, wobei hier die (Länge Hypotenuse der) Ankathete bzw. Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck mit Scheitelwinkel α gemeint ist. Für α [ π,π] ist cosα = cos(π α). Für α [π,π] ist cosα = cos(α π). 130

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16 x Abbildung : Graphen von sinx (rot) und cosx (blau) Ist x R, dann schreiben wir x = mπ +α mit m Z, α [0,π), und setzen cosx = cosα. Auch die Cosinus-Funktion ist periodisch mit Periode π. Ihr Wertebereich ist ebenfalls W(cos) = [ 1,1]. Es gilt sin(x+ π ) = cosx und sin(x) = cos(x π ) Das bedeutet, dass der Graph der Sinus-Funktion aus dem Graphen der Cosinus-Funktion durch Verschiebung um π/ nach rechts entsteht. 131

17 (iii) Tangens: Als Winkelfunktion ist die Tangens-Funktion für einen Winkel α [0, π ) definiert als tanα = Gegenkathete Ankathete wobei hier die (Längen der) Gegenkathete und Ankathete in einem rechtwinkligen Dreieck mit Scheitelwinkel α gemeint ist. Es ist also tanα = sinα cosα Wie vorher wird tan fortgesetzt, diesmal allerdings nur auf den Definitionsbereich D = {x R : x π +m π, m Z}, und es ist tan : D R, tanx = sinx cosx. Als Wertebereich ergibt sich W(tan) = R. Der Tangens ist auf den Intervallen ( π +zπ, π +zπ), z Z, streng monoton wachsend. (iv) Cotangens: Diese Funktion ist auf D = {x R x m π, m Z} definiert durch cotx = cosx sinx. Als Wertebereich ergibt sich W(cot) = R. Der Cotangens ist streng monoton fallend auf den Intervallen (zπ,π +zπ), z Z. 13

18 10 8 y x Abbildung 3: Graphen von tanx (rot) und cotx (blau) Im folgendenbildsinddie Graphen für den Tangensrotund den Cotangens blau eingezeichnet. 133

19 Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen 1. Einige spezielle Werte sind 0 π/6 π/4 π/3 π/ sin cos tan cot

20 . Periodizität: sin(x+π) = sinx, cos(x+π) = cosx 3. Symmetrie: sin( x) = sinx, cos( x) = cosx (sin ist eine ungerade und cos eine gerade Funktion.) 4. Satz des Pythagoras: sin x+cos x =

21 5. Additionstheoreme: sin(x+y) = sinx cosy +cosx siny cos(x+y) = cosx cosy sinx siny 6. Die trigonometrische Funktion tan ist streng monoton steigend auf ( π/, π/) und die Funktion cot ist streng monoton fallend auf (0/π) (und den entsprechend verschobenen Intervallen). 136

22 7. Verschiebungen um π/ und π: sin(x+ π ) = cos(x) cos(x π ) = sin(x) sin(x+π) = sin(x) cos(x+π) = cos(x) tan(x+π) = tan(x) tan(x+ π ) = cot(x) cot(x+ π ) = tan(x) cot(x+π) = cot(x) tan(x) = 1 cot(x). 137

23 4 Folgen und Stetigkeit 4.1 Folgen Eine Folge ist eine durchnummerierte Zusammenfassung von reellen Zahlen. Sie wird geschrieben als a = (a 1,a,a 3,...) = (a n ) n N. Es ist also a n R. Der Index n gibt an, an welcher Stelle in der Folge die Zahl a n steht. Beispiel Mit a n = n ist a = (a n ) = (1,4,9,16,...) die Folge der Quadratzahlen in N.. Mit b n = 1 n ist b = (b n) n N = (1, 1, 1 3, 1,...) die Folge der sogenannten 4 Hauptbrüche in Q. 3. Mit c n = ( 1) n ist c = (c n ) n N = ( 1,1, 1,1, 1,...). 4. Mit d n = n ist d = (d n ) n N = (,4,8,16,3,64,18,...) die Folge der Zweierpotenzen. 138