Lösung zur Übung 1. In einem Würfel der Kantenlänge a wird ein Methanmolekül so platziert, dass das Kohlenstoffatom. r = a 2. d = 2 a (3) 2 = 2 a (4)
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- Hetty Eberhardt
- vor 7 Jahren
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1 Lösung zur Übung 1 Aufgabe 1 In einem Würfel der Kantenlänge a wird ein Methanmolekül so platziert, dass das Kohlenstoffatom im Zentrum des Würfels liegt. Wie groß ist der Tangens des halben H-C-H Bindungswinkels? Abbildung 1: Zeichnung von Methan (CH ) im Würfel mit Kantenlänge a. Wir definieren: r a (1) Der Satz des Pythagoras liefert die Länge von d d a () d a (3) Wir benötigen aber laut Zeichnung nur d d a () 1 a a (5) 1
2 Damit können wir nun den halben Bindungswinkel α berechnen. Der Tangens von α ist gegeben durch das Verhältnis der Länge der Gegenkathete d zur Länge der Ankathete r a. tan(α) d r (6) a a (7) arctan (8) α 5.7 (9)
3 Aufgabe Zeigen sie a) sin(3α) 3 sin(α) sin 3 (α) Lösung mittels Additionstheoreme Diese Aufgabe betrachten wir am besten von der linken Seite aus. Hierfür schreiben wir den Sinus zunächst etwas um. sin(3α) sin(α + α) (10) Nun verwenden wir zum ersten mal das Additionstheorem. sin(α) cos( α) + sin( α) cos(α) (11) sin(α) cos(α + α) + sin(α + α) cos(α) (1) Auch hier können wir wieder die Additionstheoreme für den Kosinus und den Sinus verwenden. Jetzt lösen wir die Klammern auf. sin(α)[cos(α) cos(α) sin(α) sin(α)] + [sin(α) cos(α) + sin(α) cos(α)] cos(α) (13) sin(α) [ cos (α) sin (α) ] + [ sin(α) cos(α)] cos(α) (1) sin(α) cos (α) sin 3 (α) + sin(α) cos (α) (15) Nun benutzen wir den Ausdruck sin (α) + cos (α) 1 in der Form cos (α) 1 sin (α). sin(α) [1 sin (α) ] sin 3 (α) + sin(α) [1 sin (α) ] (16) sin(α) sin 3 (α) sin 3 (α) + sin(α) sin 3 (α) (17) 3 sin(α) sin 3 (α) (18) Wir mussten also nur ein wenig umformen und die Additionstheoremen für den Sinus und Kosinus verwenden um zum gesuchten Ergebniss zu kommen.:) 3
4 b) cos(α) 1 tan (α) 1 + tan (α) Lösung Da auf der rechten Seite ein Bruch steht, ist es zweckmäßig, den Bruch als Ausgangssituation zu betrachten. Diese Aufgabe wird daher von der rechten Seite gelöst. Im ersten Schritt schreiben wir den Tangens als Quotient von Sinus und Kosinus. 1 tan (α) 1 + tan (α) 1 sin (α) cos (α) 1 + sin (α) cos (α) (19) Der Bruch ist dadurch zwar etwas voluminöser, aber wir sind dem Ziel schon sehr nahe. Im folgenden Schritt schreiben wir die 1 in einer etwas anderen Form. 1 cos (α) cos (α) cos (α) cos (α) sin (α) cos (α) cos (α) cos (α) + sin (α) cos (α) cos (α) sin (α) cos (α) cos (α)+sin (α)) cos (α) cos (α) sin (α) cos (α) + sin (α)) (0) (1) () Der Nenner entspricht Eins und kann daher weggelassen werden. cos (α) sin (α) (3) Wenden wir das Additionstheoreme mal andersherum an, erhalten wir den gesuchten Ausdruck. cos( α) () Es ist also nicht bei jeder Aufgabe sinnvoll auf der linken Seite zu beginnen.
5 Aufgabe 3 Berechnen Sie die Werte von sin(15 ) und sin(135 ) über passende Additionstheoreme. Was man grundsätzlich Wissen sollte Im Grund muss man wissen, dass der Sinus das Verhältnis aus Gegenkathete und Hypotenuse darstellt und der Kosinus den Quotienten aus Ankathete und Hypotenuse. Alleine aus dieser Kenntnis wissen wir, dass wir sowohl den Sinus als auch den Kosinus für 90 und 0 wissen. Ein paar weitere Winkel können wir uns mittels einer kleinen Tabelle zusätzlich merken. Tabelle 1: Ein paar Winkel. Damit ihr euch zumindest diese Winkel einfach merken könnt haben wir immer nur den Zähler geändert. Winkel Sinus Kosinus Lösung für sin(15 ) Jetzt kennen wir ein paar Winkel und können mit diesen und den Additionstheoremen auch weitere bestimmen. In der ersten Aufgaben soll der sin(15 ) bestimmt werden. Diesen stellen wir folgendermaßen dar. sin(15 ) sin(5 30 ) (5) Wie angekündigt benutzen wir nun eines der Additionstheoreme. sin(5 30 ) sin(5 ) cos(30 ) sin(30 ) cos(5 ) (6) Diese Winkel kennen wir (siehe Tab.1) [ ] 6 (7) (8) (9) Dieser Ausdruck muss nicht weiter vereinfacht werden!!! 5
6 Lösung für sin(135 ) Das gleiche Spielchen wie oben. sin(135 ) sin( ) (30) Gleiche Vorgehensweise sin( ) sin(5 ) cos(90 ) + sin(90 ) cos(5 ) (31) Diese Winkel kennen wir (siehe Tab.1) Auch diesen Ausdruck müssen wir nicht weiter vereinfachen!! (3) (33) (3) (35) 6
7 Aufgabe Zeigen Sie unter Verwendung der Additionstheoreme: Zunächst substituieren wir: cos(α) + cos(β) cos( α + β ) cos( α β ) α x + y (36) β x y (37) (38) α + β x (39) α β y (0) Nun setzen wir die Ergebnisse aus Gl. 36 und Gl. 37 in die Ausgangsgleichung ein und erhalten: cos(x + y) + cos(x y) cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) + cos(x) cos(y) + sin(x) sin(y) (1) cos(x) cos(y) () Nun substituieren wir mit Gl. 36 und Gl. 37 zurück und erhalten: cos( α + β ) cos( α β ) (3) CC-BY-SA 3.0 Mario Krieg / Martin Labus 7
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