Antworten Vorbereitungsmaterial Sum of Us 2013

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1 Antworten Vorbereitungsmaterial Sum of Us 201 Grundbegriffe Rechnen mit Kongruenzen a) =,7. Also ganze Runden. b) 0,7 00 = 00 Meter. a) 000 (mod 00) 200 Meter. b) 000 (mod 00) 200 Meter. Aufgabe a) 200 (mod 00) 0 Meter. Also auf der Startlinie. b) 000 Meter entsprechen 12, Runden. Die Ziellinie liegt also 200 Meter hinter der Startlinie. Damit kann der Athlet schon 120 (mod 00) Meter zurückgelegt haben. Aufgabe a) 77 0 = 12,17 Minuten. Also 12 ganze Minuten. b) 77 (mod 0) 7 Sekunden. 1

2 Aufgabe a) 1 = ( ) + 2. b) 7 = c) = ( 2) +. d) (Ein Vielfaches von Fünf + 2) plus (Ein Vielfaches von Fünf + 2) = (Ein Vielfaches von Fünf + ). Aufgabe a) 20 = b) 1 = 12 ( 2) + 9. c) 00 = 12 ( 2) + 0. d) (Ein Vielfaches von Zwölf + 8) mal (Ein Vielfaches von Zwölf + 9) = Ein Vielfaches von Zwölf + 72 = Ein Vielfaches von Zwölf. Oder in mathematischer Schreibweise: 8 (mod 12) 9 (mod 12) = ( x) (9+12 y) = x+8 12 y+12 12xy = (9x+8y+12xy) = 12 (9x + 8y + 12xy + ) 0 (mod 12). Folgen a) 1, 1, 1, 1, 1, 1, 17, 17, 18, 18. b) = 12. a) Ja, dies ist eine arithmetische Folge. Die Konstante ist 10. b) = 0 ( ) = 112. Ja, Rennfahrer B gewinnt mit seiner Taktik gegen Rennfahrer A, denn 112 <

3 Aufgabe a) Du kommst auf die nächste Zahl der Folge, indem Du die vorherige mit multiplizierst. b) Du kommst auf die nächste Zahl der Folge, indem Du die vorherige mit multiplizierst. Aufgabe a) Einsetzen ergibt: erstes Glied 1 rn 1 r b) Einsetzen ergibt: erstes Glied 1 rn 1 r = = 102. = = 1, c) Einsetzen ergibt: erstes Glied 1 rn 1 r = = 1, d) Die Summe wird immer größer, da die Glieder der Folge stets größer werden. Aufgabe a) Einsetzen ergibt: erstes Glied 1 rn 1 r = 1 ( )10 1 b) Einsetzen ergibt: erstes Glied 1 rn 1 r = 1 ( )0 1 c) Einsetzen ergibt: erstes Glied 1 rn 1 r = 1 ( )100 1 =,99. =. =. d) Die Summe nähert sich an. Die Glieder der Folge werden verschwindend klein, da das Verhältnis kleiner als 1 ist.

4 Graphentheorie V = {1,2,,,}; E = { 1,2, 1,, 1,, 2,, 2,,,,, }. Aufgabe Nach der ersten Runde sind die Kanten,1, 2, und, außen vorgelassen worden. Eine mögliche Lösung ist diese: Für Übung Eins hast Du die folgenden Duos:,1, 2, und, ; Für Übung Zwei die folgenden:,2,,1 und, ; Für Übung Drei die folgenden:,,,2 und,1 ; Für Übung Vier die folgenden:,,, und 1,2 ; Für Übung Fünf die folgenden:,, 1, und 2,. Nach Übung Zwei bleibt folgender Graph übrig: Nach Übung Drei bleibt folgender Graph übrig:

5 Nach Übung Vier bleibt folgender Graph übrig: Nach Übung Fünf bleibt folgender Graph übrig: Aufgabe Wenn Du die Aufgabe richtig gelöst hast, entspricht die Menge F i den Duos, die in Übung i bei Aufgabe gemeinsam spielten. Aufgabe Der Weg, bei dem Pierre-Emerick Aubameyang am wenigsten Gewicht mitnehmen muss ist: A B C F D G. Wenn er diesen Weg wählt, schafft er es die Übung mit nur 1 kg zu beenden.

6 Wahrscheinlichkeitsrechnung a) Die Wahrscheinlichkeit von ffggg oder fgfgg oder fggfg oder fgggf oder gffgg oder gf gf g oder gf ggf oder ggf f g oder ggf gf oder gggf f = 10 Wahrscheinlichkeit vonffggg = 10 0,7 0, 2 0,09. b) Wahrscheinlichkeit maximal einen Fehler zu machen = Wahrscheinlichkeit Null oder genau einen Fehler zu machen = Wahrscheinlichkeit Null Fehler zu machen + Wahrscheinlichkeit genau einen Fehler zu machen = 0,7 + 0,7 0, 0,28. c) Wahrscheinlichkeit am Wettbewerb teilnehmen zu dürfen und hierbei nur einen Fehler zu machen = (0,7 + 0,7 0,) (0, + 0, 0,) 0,12. a) 1) Betrachte die möglichen unentschiedenen Spielstände. 2) Berechne für jeden dieser Spielstände die Wahrscheinlichkeit. ) Addiere die Ergebnisse. 0-0 : 0,2 0, 0, : 0,8 0,2 0,7 0, 0, : ,8 2 0,2 0,7 2 0, 0,007 - : ,8 0,2 2 0,7 0, 2 0,0 - : 0,8 0,2 0,7 0, 0,18 - : 0,8 0,7 0,0 Summe 0,27 b) Nach fünf Elfmetern steht es noch Unentschieden. Nun wird abwechselnd je ein Elfmeter geschossen. Treffen beide bzw. trifft keiner, so steht es immer noch unentschieden. Dies geschieht mit Wahrscheinlichkeit p 2. Trifft Alemania Aachen bei einem Elfmeter und der SC Verl verschießt ihn, gewinnt Alemania Aachen. Dies geschieht mit Wahrscheinlichkeit p 1. Wenn der SC Verl trifft während Alemania Aachen verschießt, gewinnt der SC Verl. Dies geschieht mit Wahrscheinlichkeit p.

7 c) p 1 = Wahrscheinlichkeit, dassalemania Aachen trifft und der SC Verl verschießt = 0,8 0, = 0,2. p 2 = Wahrscheinlichkeit, dassbeide treffen oder beide den Elfmeter verschießen = 0,8 0,7 + 0,2 0, = 0,2. p = Wahrscheinlichkeit, dassder SC Verl trifft und Alemania Aachen verschießt = 0,7 0,2 = 0,1. d) Wahrscheinlichkeit, dass Alemania Aachen nach dem ersten Elfmeter gewonnen hat oder die Wahrscheinlichkeit, dass Alemania Aachen nach dem zweiten Elfmeter gewonnen hat oder nach dem dritten Elfmeter gewonnen hat oder... = 0,2 + 0,2 0,2 + 0,2 2 0,2 + 0,2 0, = 0,2 1 0,2 0,2. 7

8 Berechnung von Flugbahnen Aus dem Mathematikunterricht weißt Du, dass cos(α) = Ankathete Hypotenuse ; sin(α) = Gegenkathete Hypotenuse. Daraus folgt: v h (0) = 1 cos(0) 9, m/s; v v (0) = 1 sin(0) 11,9 m/s. Aus dem Mathematikunterricht weißt Du außerdem, dass tan(α) = Gegenkathete Ankathete. Daraus folgt: v v (0) = 20 tan(7) 1,07 m/s; Aufgabe v h (t) = v(0) cos(α) v v (t) = v(0) sin(α) gt Aufgabe Wir benutzen die folgenden Funktionen: s h (t) = v(0) cos(α 0 )t + c 1 (1) s v (t) = v(0) sin(α 0 )t gt2 + c 2 (2) Beachte, dass c 1 = 0 und c 2 = h 0. Du möchtest für Bastiaan, Willem und Olivier herausfinden, wann die Kugel auf die Erde fällt, also wann(2) gleich Null ist. Du erhältst für jeden der drei Kugelstoßer die Zeit t, die die Kugel in der Luft ist. Setzt Du diesen Wert t in die Gleichung (1) ein, weißt Du wie weit jeder einzelne die Kugel gestoßen hat. 8

9 Platz Name Stoßweite 1 Bastiaan 11,8 2 Olivier 11,1 Willem 10,9 Aufgabe Gegeben sind die folgenden beiden Gleichungen: s h (t) = 1 cos(α 0 )t () s v (t) = 0 = 1 sin(α 0 )t 9,81t2 + 1,89 () () ist eine quadratische Gleichung, die mit der ABC-Formel (Mitternachtsformel) zu lösen ist. Dann ergibt sich: t = 1 sin(α 0) ± (1 sin(α 0 )) 2 (,90) 1,89 9,81 () Ersetze das t in Gleichung () durch t = 1 sin(α 0)± (1 sin(α 0 )) 2 +7,0818 9,81. Dann erhältst Du: s h (t) = 1 cos(α 0 ) ( 1 sin(α 0) ± (1 sin(α 0 )) 2 + 7,0818 ) () 9,81 Bemerke, dass wir die Gleichung benutzen, bei der an der Stelle von ± ein steht. Dadurch wird der Bruch, und damit auch s h (t), so groß wie möglich. Denke kurz darüber nach, warum dies so ist. Jetzt möchtest Du wissen, für welchen Winkel α 0 s h (t) maximal ist, und welcher horizontale Abstand bei dem Winkel zurückgelegt wird. Gib die folgende Formel in deinen graphischen Taschenrechner ein, und wähle den Definitionsbereich [0,90] [0,0]: s h (t) = 1 cos(α 0 ) ( 1 sin(α 0) (1 sin(α 0 )) 2 + 7,0818 ) (7) 9,81 Die Option Maximum gibt Dir an, dass der Höhepunkt ungefähr bei (2,1; 19,02) liegt. Dies bedeutet, dass Stephanie ihre Kugel am besten in einem Winkel von 2,1 stoßen kann und damit eine Stoßweite von 19,02 m erreicht. Damit bricht sie den Weltrekord nicht. 9