1 GRUNDLAGEN 1.4 Massvorsätze und Zehnerpotenzen

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1 GRUNDLAGEN.4 Massvorsätze und Zehnerpotenzen.4. Zehnerpotenzen Kommt in einem Produkt immer derselbe Faktor vor, so schreibt man das Produkt in der Potenzschreibweise. Zahlen in der Form 0 5 heissen Zehnerpotenzen =0 5 sprich: Zehn hoch Fünf Die Hochzahl (= Eponent) gibt an, wie viel Mal der Faktor 0 mit sich selbst multipliziert werden muss. Das ausgerechnete Produkt nennt man Potenzwert. Begriffe: Basis Eponent = Potenzwert z.b. 0 5 = Untenstehende Übersicht zeigt Zehnerpotenzen mit positiven und negativen Hochzahlen: 0 3 = Eins mit 3 Nullen 0 = Eins mit Nullen 0 = 0 0 Eins mit Null 0 0 = Eins mit 0 Nullen 0 = 0 0. Eins an der. Nachkommastelle 0 = 0 0 = 00 = Eins an der. Nachkommastelle 0 3 = = 000 = Eins an der 3. Nachkommastelle Bei Zehnerpotenzen gibt die positive Hochzahl die Anzahl der Nullen der Zahl an. Bei Zehnerpotenzen gibt die negative Hochzahl die Anzahl der Nachkommastellen an. Übung: ❶ Schreiben Sie die Zahlen mit Zehnerpotenzen. a) 0 000= b) 0.0= c) = 0 6 d) = 0 5 g) = e) 8 000= 8 000=8 0 3 h) = f) 0.07= 7 0.0=7 0 i) 0.007= Mathematik A3.0 c G. Lenherr

2 ALGEBRA.6 Ausmultiplizieren.6 Ausmultiplizieren Wird ein gesamter Summenterm multipliziert, spricht man von ausmultiplizieren. Beispiel: 3 (a+ b)=(a+ b)+(a+ b)+(a+ b)=3a+ 6b 3 (a+ b) Beispiel: Multiplizieren Sie folgende Terme. 6 (3+ 4y)=8+ 4y Man multipliziert eine Zahl mit einer Summe, indem man jeden Summanden mit der Zahl multipliziert. 3 (a+ b)=3 a+ 3 b=3a+ 6b ( a) (3b+ c)= 6ab 4ac ( 3a) ( 4b) (5+ y)=ab(5+ y)=60ab+ 4ab y Es ist auch möglich, zwei Summenterme miteinander zu multiplizieren. (a+b) (3c 4d) Zwei Summen werden miteinander multipliziert, indem man jeden Summanden der einen Summe mit jedem Summanden der anderen Summe multipliziert. (a+ b) (3c 4d)= a 3c+a ( 4d)+b 3c+ b ( 4d)= 3ac 4ad+ 6bc 8bd Beispiel: Multiplizieren Sie folgende Summenterme. ( + y)(a + b) = a + b + a y + b y Variabeln sind alphabetisch zu ordnen! (a b)(3c b)=3ac ab 6bc+ 4b Übung: ❶ Multiplizieren Sie die Summenterme aus. a) (3ab+ 7b)= 6ab+ 4b b)(5a+ 3)(4 6b)= 0a 30ab+ 8b= 0a 30ab 8b+ Aufgabe 79 c)(a c)(a c)= a 4ac ac+ c = a 5ac+ c d)(a+ b)(b 5a+e)= ab 5a + ae+ b 5ab+ be= 5a 4ab+ae+ b + be Mathematik A3.8 c G. Lenherr

3 3 GLEICHUNGEN 3 Gleichungen 3. Auflösen von Gleichungen Sind zwei verschiedene Terme mit einem Gleichheitszeichen verbunden, so spricht man von einer Gleichung. 3+ }{{} 3+ = }{{} 5 Term Term }{{} Gleichung Eine Gleichung enthält in der Regel eine Variable - meistens. Es gilt, die Variable so zu bestimmen, dass die Gleichung erfüllt ist. Das Lösen einer Gleichung besteht nun darin, die Gleichung so umzuformen bis die gesuchte Variable alleine auf einer Seite steht. Dazu muss man sich die Gleichung als Balkenwaage vorstellen. Wird auf der einen Seite der Waage etwas verändert, muss auf der anderen Seite die gleiche Veränderung vorgenommen werden, sonst ist die Waage nicht mehr im Gleichgewicht. ausführliche Schreibweise: = 5 TU 4+ 3= =5 3 TU 4= : = 4 TU = 3 übliche Schreibweise: = 5 TU 4+ 3=5 3 4= : 4 = 3 Die Umformungsschritte dürfen die Lösung einer Gleichung nicht verändern. Die umgeformte Gleichung muss äquivalent (d.h. gleichwertig) zur vorhergehenden Gleichung sein. Aus diesem Grund nennt man diese Umformungen Äquivalenzumformungen. Äquivalenz- und Termumformungen (TU) schreibt man rechts neben der Gleichung an. Beim Lösen von Gleichungen dürfen folgende Äquivalenzumformungen gemacht werden:. auf beiden Seiten die gleiche Zahl addieren bzw. subtrahieren.. auf beiden Seiten mit der gleichen Zahl ( 0) multiplizieren bzw. dividieren. Mathematik A3 3. c G. Lenherr

4 4 GEOMETRIE 4. Trigonometrie Nachfolgend sind drei ähnliche Dreiecke gezeichnet. Diese haben alle gleiche Winkel jedoch unterschiedliche Seitenlängen..).) 3.) Hypotenuse Gegenkathete Übung: Ankathete a) Bestimmen Sie in jedem Dreieck das Seitenverhältnis Gegenkathete. Was fällt Ihnen auf? Hypotenuse GK H = cm 4 cm = 3 cm 6 cm = 4 cm 8 cm = 0.5 Unabhängig von der Dreiecksgrösse ist das Verhältnis immer gleich 0.5. Das Verhältnis GK H nennt man Sinus. Schreibweise: sin(30 )=0.5 b) Bestimmen Sie in jedem Dreieck das Seitenverhältnis Ankathete. Was fällt Ihnen auf? Hypotenuse AK H = 3.46 cm 4 cm = 5.9 cm 6 cm = 6.9 cm 8 cm Unabhängig von der Dreiecksgrösse ist das Verhältnis immer gleich Das Verhältnis AK H nennt man Cosinus. Schreibweise: cos(30 ) c) Bestimmen Sie in jedem Dreieck das Seitenverhältnis Gegenkathete. Was fällt Ihnen auf? Ankathete GK AK = cm 3.46 cm = 3 cm 5.9 cm = 4 cm 6.9 cm Unabhängig von der Dreiecksgrösse ist das Verhältnis immer gleich Das Verhältnis GK AK nennt man Tangens. Schreibweise: tan(30 ) Die Trigonometrie nutzt die Tatsache, dass die Seitenverhältnisse ähnlicher Dreiecke gleich sind. Dadurch ist die Möglichkeit gegeben, gesuchte Winkel durch Streckenverhältnisse auszudrücken. Man bezeichnet ein solches Streckenverhältnis als Winkelfunktion. Mathematik A3 4.4 c G. Lenherr

5 5 GRAFISCHE DARSTELLUNGEN 5.3 Lineare Darstellung 5.3 Lineare Darstellung Eine lineare Funktion hat die allgemeine Funktionsgleichung: y= f()= m + q In dieser Funktionsgleichung bedeuten: y = die abhängige Variable = die unabhängige Variable m= die Steigung (ist eine beliebige Zahl - auch negativ) q = der y-achsenabschnitt (ist eine beliebige Zahl) Die Funktion y= f()=+ 3 soll in einem Koordinatensystem dargestellt werden. Dies soll mithilfe einer Wertetabelle erfolgen. Wir bestimmen die zugehörigen y-werte, indem wir beliebige Werte für in den Term rechts des Gleichheitszeichens einsetzen. Wertetabelle: y= + 3 Darstellung der Funktion: y y= y = q In diesem Fall hat die Steigung den Wert m= und der y-achsenabschnitt hat den Wert q= q=3 m= Jede Funktion mit der allgemeinen Funktionsgleichung y= m + q hat als Graph eine Gerade mit der Steigung m und dem y-achsenabschnitt q. Die Steigung m einer Geraden kann positiv oder negativ sein. Ist der Wert der Steigung positiv, so steigt die Gerade. D.h. nimmt der -Wert um zu, so nimmt der Funktionswert y um m zu. Ist der Wert der Steigung negativ, so fällt die Gerade. D.h. nimmt der -Wert um zu, so nimmt der Funktionswert y um m ab. Auf Bergstrassen sieht man vor Steigungsstrecken oft Warnschilder mit einer Angabe der Steigung in Prozent. Der Wert 6 % bedeutet, dass man pro m, den man geradeaus fahren würde, eben auch gleichzeitig 0.6 m nach oben fährt. Das Verhältnis von nach oben zu geradeaus beträgt dann 0.6 m = 0.6=6 %. m Mathematik A3 5.4 c G. Lenherr

6 GRUNDLAGEN Aufgabensammlung.7 Umstellen von einfachen Formeln 59. Aufgabe Stellen Sie die Formeln nach den gesuchten Variablen um. Alle diese Formeln werden Sie im ersten Lehrjahr in den Fächern Elektrotechnik und erweiterte Fachtechnik antreffen. a) P= U I U=? b) W= m g h h=? c) A= d π 4 d=? d) R= ρ l A ρ=? A=? e) J= I A I=? A=? f) P=I R I=? R=? g) Q=m c ϑ ϑ=? m=? h) P= n 3600 c t c=? n=? i) s= a t a=? t=? j) R=R 0 α ϑ α=? R 0 =? k) P= U R U=? R=? l) v=v 0 + a t a=? v 0 =? m) R= R =? n) R=R (+α ϑ) α=? R + R + R Aufgabe Suchen Sie alle falschen Umformungen und kreuzen Sie diese an. Korrigieren Sie! a) P= F s t F= P t s s= P t F t= P F s b) Z = R + X Z= R+ X Z= R + X R= Z + X c) U= U 0 R i I R i = U U 0 I I= U U 0 R i R i = U 0 U I d) W= C U U= W C C= W U U= W C Mathematik A3 A.4 c G. Lenherr

7 cm cm 5. m 4 GEOMETRIE Aufgabensammlung 45. Aufgabe Bestimmen Sie den Blechbedarf in dm für die skizzierte Abdeckung Aufgabe In ein rundes Bohrloch mit einem Durchmesser von mm soll ein quadratischer Bolzen einführt werden. Welche Kantenlänge darf der Bolzen höchstens haben? 47. Aufgabe a a Ein Kupferlochband von 45.4 cm Länge hat 38 Löcher von je mm Abstand. Die Löcher haben einen Durchmesser von je 6.5 mm. 48. Aufgabe Wie gross sind die zwei Endabstände a? Berechnen Sie für jedes Teilstück a) bis e) die Anzahl Briden. Die Endabstände müssen 5 cm gross sein und die Bridenabstände dürfen maimal 60 cm betragen. a) 7.4 m b) 4.6 m d). m c).4 m e) 4.3 m 49. Aufgabe Die Radien eines Kreisringes betragen R = 6 cm und r = 4 cm. a) Wie gross ist der Flächeninhalt des Kreisringes? b) Wie gross ist der Radius eines Kreises zu wählen, wenn dieser zum Kreisring flächengleich sein soll? 50. Aufgabe Gegeben ist eine symmetrische und quadratische Deckenbeleuchtung. Wie gross ist die grau mattierte Fläche, durch die Licht abgegeben wird? Mathematik A3 A 4.3 c G. Lenherr