Skriptum zum Praktikum Einführung in die Mathematik 2

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1 Skriptum zum Praktikum Einführung in die Mathematik Tobias Hell & Georg Spielberger Letzte Änderung:. Februar 0 Universität Innsbruck WS 00/

2 Inhaltsverzeichnis Präliminarien 4 Rechnen mit Potenzen und Wurzeln 6. Grundlegendes Beispiele Aufgaben Ungleichungen und Beträge 8 3. Grundlegendes Beispiele Aufgaben Komplexe Zahlen 3 4. Grundlegendes Beispiele Aufgaben Algebraische, rationale und Wurzelgleichungen 6 5. Beispiele Aufgaben Trigonometrische Funktionen 8 6. Grundlegendes Beispiele Aufgaben Exponential- und Logarithmusfunktionen 7. Grundlegendes Beispiele Aufgaben Folgen und Reihen 5 8. Grundlegendes Beispiele Aufgaben Grenzwerte und Stetigkeit 9

3 Inhaltsverzeichnis 3 9. Grundlegendes Beispiele Aufgaben Dierentialrechnung 3 0. Grundlegendes Beispiele Aufgaben Integralrechnung 34. Grundlegendes Beispiele Aufgaben Anwendungen zur Dierential- und Integralrechnung 37. Grundlegendes Aufgaben

4 Kapitel Präliminarien Betrag einer reellen Zahl Sei x R. Dann heiÿt x := { x, x 0 x, x < 0 der Betrag von x. Quadratische Gleichungen Seien p, q R. Wir betrachten die quadratische Gleichung x + px + q = 0. (.) Man nennt D := p 4q die Diskriminante der quadratischen Gleichung (.). Es können die folgenden drei Fälle auftreten: D = 0: Gleichung (.) besitzt eine reelle (doppelte) Lösung, nämlich x = x = p. D > 0: (.) hat zwei, voneinander verschiedene, reelle Lösungen. Diese lauten x = p p + 4 q und x = p p 4 q. D < 0: Es existiert keine reelle Lösung der Gleichung (.). Im Falle, dass D 0, gilt weiters (x x )(x x ) = x + px + q, (Zerlegung in Linearfaktoren) x + x = p und x x = q. (Satz von Vieta) 4

5 Präliminarien 5 Beweis: (a) Quadratisches Ergänzen von (.) führt auf ( x + p ) p (x 4 + q = 0 + p ) p = 4 q. Da ( x + p ) 0, besitzt die Gleichung nur dann eine reelle Lösung, falls die rechte Seite ebenfalls gröÿer gleich Null ist. Sei also D 0, so kann auf beiden Seiten der Gleichung die Quadratwurzel gezogen werden. Somit erhält man x + p p p = 4 q x = p ± 4 q. (b) Setzen wir für x und x ein, so ergibt sich x + x = p + p 4 q p p Genauso einfach sieht man, dass ( x x = p ) ( p + 4 q p ) p 4 q (c) Nun folgt direkt 4 q = p. ( ) = p p 4 4 q = q. (x x )(x x ) = x (x + x )x + x x = x + px + q.

6 Kapitel Rechnen mit Potenzen und Wurzeln. Grundlegendes Potenzfunktionen mit ganzzahligem Exponenten Sei a R und n N. Dann ist und für a 0 gilt a n = a... a }{{} n-mal a 0 =, a n = a n. Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten Es sei a > 0, m Z und n N. Analog deniert man Rechenregeln Seien a, b > 0 und r, s R. Dann gilt: a m/n = n a m = ( n a ) m. a r a s = a r+s ("Bei gleicher Basis addieren sich die Exponenten.") (a r ) s = a r s = (a s ) r a r b r = (a b) r. Beispiele Beispiel.. (Kürzen von Hochzahlen) Für x < 0 ist die reelle Quadratwurzel x deniert, jedoch nicht ( x). Insbesondere dürfen im Allgemeinen Exponenten nicht ohne weiteres gekürzt werden. Für x R und gerades n N gilt n x n = x. Bei ungeradem n entfällt der Betrag, dass man diesen jedoch bei geradem n keinesfalls vernachlässigen darf, sieht man anhand des Beispiels ( ) = =. 6

7 Rechnen mit Potenzen und Wurzeln 7 Beispiel.. Vereinfache den Ausdruck soweit wie möglich. ( 8 ab ) 3 ( 5a 3 b ) 4 ( 7 a 3 b 4 5a 3 ) = ( ) b Lösung: Um die Wohldeniertheit von ( ) zu gewährleisten, muss folgendes verlangt werden: a und b wohldeniert a, b 0 a und b treten mit positivem Exponenten im Nenner auf a, b 0 Insgesamt: a, b > 0 Zum Vereinfachen des Terms empehlt es sich, die konstanten Faktoren soweit wie möglich zu faktorisieren: ( 3 ab ) 3 ( 5a 3 b ) 4 ( ) = ( 3 3 a 3 b 4 5 a 3 ) = 36 3 a 3/ b a b 4 3 b 3 a 3 b a 6 = b.3 Aufgaben = 33 a 7/ b 0 a 9 b 5 = 08 a 9 b 5 Gib für folgende Ausdrücke sinnvolle Wertebereiche an und vereinfache soweit wie möglich: () c n x d n+x c n+x d n 3x xn+ y 3n+ x n+3 y n+ () x3 a y a+ ( (x + y) 5a+4 (x + y) a+ x a+ y (3) z 3 z z 4 z : 5 4 z 7 z 5 z3 z : y a+ ) x 3a+ (x + y) 3+3a

8 Kapitel 3 Ungleichungen und Beträge 3. Grundlegendes Elementare Umformungen von Ungleichungen Seien a, b, c R und d > 0. Dann gilt: a < b a + c < b + c a < b a d < b d a < b b < a (Bei Multiplikation mit einer negativen reellen Zahl dreht sich also das Ungleichheitszeichen um.) Diese und folgende Rechenregeln gelten analog für >, und. Allgemeiner gilt: Anwendung von monotonen Funktionen auf Ungleichungen Seien a, b D R und f : D R streng monoton wachsend. Dann gilt: a < b f(a) < f(b) Ist g : D R hingegen streng monoton fallend so ist a < b g(a) > g(b). Achtung: x x ist auf [0, ) streng monoton wachsend, jedoch streng monoton fallend auf (, 0] (vgl. Abbildung 3.), d.h. eine Ungleichung darf nur dann quadriert werden, wenn beide Seiten dasselbe Vorzeichen besitzen. Sind beide Seiten negativ, so muss beim Quadrieren das Ungleichheitszeichen umgedreht werden. 8

9 3 Ungleichungen und Beträge y = x 0 x Abbildung 3.: Standardparabel 3. Beispiele Beispiel 3.. (Multiplikation mit negativen reellen Zahlen) An folgendem einfachen Beispiel sieht man, dass das Ungleichheitszeichen bei Multiplikation mit einer negativen reellen Zahl umgedreht werden muss: x < 3 (3.) ist oensichtlich für x = erfüllt. Multipliziert man (3.) mit und drehte das Ungleichheitszeichen nicht um, so erhielte man x < 3, was oensichtlich für x = nicht erfüllt ist. Beispiel 3.. (Auösen von Beträgen) () Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung Lösung: Wir unterscheiden zwei Fälle: x.. Fall: x 0: x. Fall: x < 0: x x Somit lautet die Lösungsmenge der Ungleichung L = [, ]. Kurz können diese Überlegungen wie folgt geschrieben werden: x (x 0 x ) (x < 0 x ) x () x 4 x, ergibt sich durch das Ziehen der Quadratwurzel. Da beide Seiten der Ungleichung nicht negativ sind und x x auf [0, ) streng monoton wächst, ist dies zulässig.

10 3 Ungleichungen und Beträge 0 y = y = x 0 x 0 Abbildung 3.: Graphische Veranschaulichung der Lösung der Ungleichung x (3) Eine alternative Schreibweise für eine Fallunterscheidung bietet das nächste Beispiel: { { x 3 5, x 3 x x 5, x < 3 x 8, x 3 x, x < 3 x [, 3) [3, 8] = [, 8] = L Übung: Veranschauliche die Lösung graphisch. Beispiel 3.3. (Quadratische Ungleichungen) () Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung x x 6 < 0. Lösung: Man berechnet zuerst die Lösungen der quadratischen Gleichung x x 6 = 0, welche man mittels des Satzes von Vieta leicht als x =, 3 erkennt. Somit ist x x 6 < 0 (x + )(x 3) < 0, was genau dann der Fall ist, wenn x + und x 3 unterschiedliches Vorzeichen besitzen. Das kann nur passieren, wenn x zwischen den Nullstellen der nach oben geöneten Parabel x x 6 liegt. Daraus ergibt sich L = (, 3). Übung: Veranschauliche die Lösung graphisch. () Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung x + x 4.

11 3 Ungleichungen und Beträge Lösung: x + x 4 x + x 4. Fall: x R \ (, ): x + x 6 0 (x + 3)(x ) 0 x [ 3, ] L = [ 3, ] [, ]. Fall: x (, ): x + x + 0 x R L = (, ) L = L L = [ 3, ] Übung: Veranschauliche die Lösung graphisch. Beispiel 3.4. Bestimme Denitions- und Lösungsmenge der Ungleichung Lösung: D = R \ {, 3} 5 x x 3.. Fall: x (, 3): 5x 5 x 3x 3 x 3 3 L =. Fall: x R \ [, 3]: 5x 5 x x 3 3 L = (, ] ( 3, 3 3 L = L L = (, ) (3, 3 3 ] Übung: Veranschauliche die Lösung graphisch. ] Beispiel 3.5. Sei a R. Bestimme Denitions- und Lösungsmenge der Ungleichung Lösung: D = [, ) a < x.. Fall: a < 0: Die Ungleichung ist erfüllt, da x für alle x nicht negativ ist.. Fall: a 0: Da beide Seiten nicht negativ sind, darf quadriert werden: a < x x > a + { (a +, ), a 0 Die Lösungsmenge hängt also von a ab: L = [, ), a < 0

12 3 Ungleichungen und Beträge 3.3 Aufgaben Bestimme Denitions- und Lösungsmenge folgender Ungleichungen: () (x + 4)(6 x) 0 () x 3x 0 0 (3) x + > (4) 4x 8x + 3x (5) 3 x > 3 + x (6) x x (7) 3 6x x > (8) x x + (9) x < 36 x (0) x + x + < () x 6 x + 4 < x + 3 () x x < x

13 Kapitel 4 Komplexe Zahlen 4. Grundlegendes Denitionen Seien x, y R und z = x + iy C. Dann heiÿen Re z = x Realteil und Im z = y Imaginärteil von z, z = x + y Betrag von z, z = x iy die konjugierte komplexe Zahl zu z. Es gelten folgende Identitäten: Wichtige Identitäten i = z z = z e i ψ = cos ψ + i sin ψ, ψ R (Eulersche Formel) z = re i ϕ, wobei r = z und ϕ = arg H z (Polardarstellung einer komplexen Zahl) 4. Beispiele Beispiel 4.. (Brüche komplexer Zahlen, "Reellmachen" des Nenners) Schreibe z = 3i + i in eine komplexe Zahl mit reellem Nenner um. Lösung: Wir erweitern mit der zum Nenner konjugiert komplexen Zahl, also i, und erhalten z = 3i + i i i = 4 7i + i = i. 3

14 4 Komplexe Zahlen 4 Beispiel 4.. (Wurzelziehen im Komplexen - Kartesische Koordinaten) Bestimme zu z C alle w C, welche erfüllen, speziell für z = 3 + 4i. w = z Lösung: Sei z = x + iy und w = u + iv, wobei x, y, u, v R. Dann muss für w die Gleichung w = (u + iv) = u v + uvi erfüllen. Dies ist genau dann der Fall, wenn u v = x und uv = y.! = x + iy Wir nehmen y 0 an, denn ansonsten wäre z R, und erhalten aus der zweiten Gleichung u = y v und durch Einsetzen eine biquadratische Gleichung in v, nämlich Somit erhalten wir y 4v v = x 4v 4 + 4xv y = 0. v = ( x ± z ) und da z x, müssen wir uns für das positive Vorzeichen entscheiden, dann ist v 0 und v R. Schlieÿlich führt dies auf die zwei Lösungen w = u + v i, w = u + v i, wobei y z x u, = ± und v, = ±. ( z x) Speziell für z = 3 + 4i: w = + i = w. Beispiel 4.3. (Wurzelziehen im Komplexen - Polarkoordinaten) Bestimme wie im vorangegangen Beispiel zu z C alle w C, welche erfüllen, speziell für z = + 3i. w = z

15 4 Komplexe Zahlen 5 Lösung: Sei z = re i ϕ die Darstellung von z in Polarkoordinaten. Dann ist da e πi =. Speziell für z = + 3 i: w = re i ϕ/ und w = re i (ϕ/+π), r =, ϕ = arctan 3 = π/3 w = e i π/6 = 3 + i = w 4.3 Aufgaben Bestimme Re z, Im z, z und z für () z = 3 + 4i, () z = 3 + i, (3) z = + i i, (4) z = + 3 i 3 + i. Bestimme die Lösungsmenge folgender Gleichungen: (5) z = + i (6) z 4z + 5 = 0 (7) 4z 8z + 3 = 0 (8) ( + 5i)z + (4 + 8i)z + 4 4i = 0

16 Kapitel 5 Algebraische, rationale und Wurzelgleichungen 5. Beispiele Beispiel 5.. (Biquadratische Gleichung) Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung über C. 4z 4 + 7z = 0 Lösung: Wir setzen u = z, lösen zuerst die quadratische Gleichung 4u + 7u = 0 und erhalten u = 4, u =. Wurzelziehen führt auf L = {,, i, } i. Beispiel 5.. (Rationale Gleichung) Bestimme die Denitions- und Lösungsmenge der Gleichung x 6x + 4 x + 9x 6 + x + 9x 4 = 6. ( ) Lösung: D = R \ { /3, /3} ( ) 3x 3 3x + 4x + 4 3x + 6x + 6 (3x + )(3x ) = (3x 3)(3x ) (4x + 4)(3x + ) + 6x + 6 = 9x 4 { x + 9x 8 = 0 x 8 3, } = L 4 Beispiel 5.3. (Wurzelgleichung) Bestimme Denitions- und Lösungsmenge der Gleichung 4x + x + 4 = x 3. 6

17 5 Algebraische, rationale und Wurzelgleichungen 7 Lösung: 4x + 0 x 4, x x 4, x 3 0 x 3 D = [3, ) Für x 3 ist 4x + x + 4 und somit sind beide Seiten der Gleichung nicht negativ. Quadrieren erhält somit die Lösungsmenge der Gleichung und führt auf 4x + + x + 4 (4x + )(x + 4) = x 3 x + 4 = (4x + )(x + 4). Wiederum sind beide Seiten der Gleichung für x 3 nicht negativ und erneutes Quadrieren liefert L = {} 4x + 6x + 6 = 4x + 7x + 4 x =. 5. Aufgaben Bestimme die Lösungsmenge folgender biquadratischer Gleichungen über C: () x 4 + x = 0 () x 4 + 5x + 3 = 0 Bestimme Denitions- und Lösungsmenge folgender Gleichungen: (3) (5) x + + x = 4x 3 (4) x = x + 4 4x x 4x + 3 = (6) 6 + x = 0 4x x

18 Kapitel 6 Trigonometrische Funktionen 6. Grundlegendes Aus dem Satz von Pythagoras folgt für α R, dass sin α + cos α =. Additionstheoreme für Sinus und Cosinus und Folgerungen Seien α, β R. Dann gilt: sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos(α ± β) = cos α cos β sin α sin β sin(α) = sin α cos α cos(α) = cos α sin α sin α = ( cos(α)) cos α = ( + cos(α)) Periodizität und Parität Sei α R und k Z. sin(α + kπ) = sin α, cos(α + kπ) = cos α sin( α) = sin α cos( α) = cos α (sin und cos sind π-periodisch) (sin ist eine ungerade Funktion) (cos ist eine gerade Funktion) Spezielle Phasenverschiebungen Sei α R. sin ( α + π ) = cos α sin (α + π) = sin α cos ( α π ) = sin α cos (α + π) = cos α 8

19 6 Trigonometrische Funktionen 9 Denition von Tangens und Cotangens Sei α R \ {π/ + kπ : k Z} und β R \ {kπ : k Z}. tan α = sin α cos α cot β = cos β sin β Additionstheoreme für Tangens und Cotangens tan(α ± β) = tan α ± tan β tan α tan β cot(α ± β) = tan α tan β tan α ± tan β α 0 π 6 π 4 π 3 π sin α 0 cos α 3 tan α 0 cot α / / Tabelle 6.: Spezielle Werte der trigonometrischen Funktionen 6. Beispiele Beispiel 6.. Man zeige cos (5π + α) + cos ( 7π α ) =. Lösung: ( ) 3π LHS = [cos ist π-periodisch] = cos (π + α) + cos α = [cos(β + π) = cos β] = ( = cos α + cos π ) [ ( π ) ] α = cos β = sin β = cos α + sin α = = [Pythagoras] = = RHS Bemerkung: LHS steht für left-hand side, RHS für right-hand side, also für die linke bzw. rechte Seite der Gleichung.

20 6 Trigonometrische Funktionen 0 Beispiel 6.. Bestimme die Denitionsmenge folgender trigonometrischer Gleichung und veriziere diese: tan α Lösung: D = R \ {π/ + kπ : k Z} = tan α tan α LHS = sin α cos α = sin α cos α cos α sin α = tan α tan α Beispiel 6.3. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung Lösung: L = {kπ : k Z} sin(α) = sin α. ( ) = RHS ( ) sin α cos α = sin α sin α = 0 cos α = α = kπ α = kπ α = kπ, k Z Beispiel 6.4. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung sin α = cot α. ( ) Lösung: D = R \ {kπ : k Z} ( ) sin α cos α = cos α sin α cos α = 0 α sin = α = (k + )π sin α = α = (k + )π α = π + kπ α = π + kπ, k Z L = {(k + )π : k Z} { π + kπ : k Z} Beispiel 6.5. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung cos α + 3 = sin α + 5 cos α. Lösung: Verwendung von sin α = cos α liefert ( cos α 5 cos α + = 0 (cos α ) cos α ) = 0 α = π 3 + kπ α = π 3 + kπ, k Z, da für α R gilt, dass cos α. Somit ist L = { π 3, π 3 } + πz.

21 6 Trigonometrische Funktionen 6.3 Aufgaben Man bestimme den Denitionsbereich folgender Gleichungen und veriziere diese: ( ) 5π ( α ) ( () cos + α + 4 sin + 5π cos 3 π α ) ( = 4 sin 3 α ) ( α + 3π sin + 7π () sin α = cos(α) (3) cos α = + cos(α) ) (4) sin α = tan α + tan α tan α + tan β (6) tan(α + β) = tan α tan β (5) cos α = tan α + tan α (7) tan α = cos α sin α Bestimme die Denitions- und Lösungsmenge folgender trigonometrischer Gleichungen: (8) sin α = (0) sin α + cot α = sin α (9) sin(α) tan α = 3 () cos α + ( + 3 3) sin α = +

22 Kapitel 7 Exponential- und Logarithmusfunktionen 7. Grundlegendes Sei a > 0. Dann heiÿt R (0, ): x a x Exponentialfunktion zur Basis a. Es gelten die üblichen Rechenregeln für das Rechnen mit Potenzen. Für a ist die Exponentialfunktion zur Basis a bijektiv. Die Umkehrfunktion log a : (0, ) R: x log a (x) heiÿt Logarithmusfunktion zur Basis a. Zur Basis e bzw. 0 schreibt man ln := log := log e (Logarithmus naturalis) und lg := log 0. Rechenregeln für Logarithmusfunktionen Seien a > 0 mit a, x, y > 0 und α R. Dann gilt: log a (x α ) = α log a x log a (xy) = log a x + log a y log a x y = log a x log a y 7. Beispiele Beispiel 7.. (Umrechnen von Logarithmen) Seien a, b > 0 mit a b und x > 0. Unter Verwendung der Identität x = b log b x erhält man log a x = log a (b log b x) = log a b log b x. Logarithmusfunktionen zu verschiedenen Basen unterscheiden sich also nur durch eine multiplikative Konstante.

23 7 Exponential- und Logarithmusfunktionen 3 Beispiel 7.. Seien a > 0 mit a und x y > 0. Bei der Verwendung der Logarithmusregeln ist Vorsicht geboten: log a (xy) = log a xy = log a ( x y ) = log a x + log a y Beispiel 7.3. Vereinfache 3 e 6 ln. Lösung: 3 e 6 ln = e 6 3 ln = e ln = e ln 4 = 4 Beispiel 7.4. Bestimme den Gültigkeitsbereich von x, y und vereinfache anschlieÿend soweit wie möglich: log x3 y. Lösung: x3 ist für y 0 deniert. Damit auch log x3 wohldeniert ist, muss verlangt y y werden, dass x3 > 0. Dies ist genau dann der Fall, wenn x > 0 ist. Somit ergibt sich für y den Gültigkeitsbereich: x > 0, y 0. Vereinfachen: Beispiel 7.5. (Exponentialgleichungen) log x3 y = log x3 log y = 3 log x log y () Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichung Lösung: 9 x 3 x 3 = 0. (3 x ) 3 x 3 = 0 (3 x + )(3 x 3) = 0 x =, da {x R: 3 x = } =. Daher ist L = {}. () Bestimme Denitions- und Lösungsmenge der Gleichung Lösung: D = (0, ) x x = x. { x x = x x>0 x log x = log x x, } = L

24 7 Exponential- und Logarithmusfunktionen 4 Beispiel 7.6. (Logarithmische Gleichung) Bestimme Denitions- und Lösungsmenge folgender Gleichungen: log(x + ) + log(3x 4) = log(4x 4) Lösung: x + > 0 x >, 3x 4 > 0 x > 4 3, 4x 4 > 0 x > D = ( 4 3, ) log(x + ) + log(3x 4) = log(x + ) + log(x ) L = {} log(3x 4) = log(x ) 3x 4 = x x = 7.3 Aufgaben Vereinfache: () 5 0 lg 3 () e 3 ln 3 Bestimme den Gültigkeitsbereich von x, y und vereinfache: (3) log 3 9x 4 y 6 (4) ln x y Bestimme Denitions- und Lösungsmenge: (5) a ( a x 3) x+ = a 3x+5 (a x ) x 6 für a (0, ) (6) 4 x x + = 0 (7) log(x 3 (x )) + 3 log x = log( x) (8) lg x + 3 lg x 4 =

25 Kapitel 8 Folgen und Reihen 8. Grundlegendes Grenzwertsätze Seien (a n ) n N und (b n ) n N konvergente Folgen mit α R. Dann gilt: lim α a n = α lim a n = α a n n lim (a n ± b n ) = lim a n ± lim b n = a ± b n n n ( ) ( ) lim (a n b n ) = lim a n lim b n = a b n n n a n lim = lim n a n = a n b n lim n b n b lim a n = a und n Im letzten Punkt muss natürlich gelten, dass b n 0 für alle n N und b 0. lim b n = b und n Folgendarstellung und Reihendarstellung von e x Sei x R. Dann gilt: ( e x = lim + x ) n x n = n n n! n=0 Geometrische Reihe Sei q R mit q <. Dann ist j=0 q j = q. 5

26 8 Folgen und Reihen 6 8. Beispiele Beispiel 8.. Bestimme den Grenzwert der Folge Lösung: a n = 3n4 + n + 4n 4 + n 3 + 5n. lim a n n = lim n 4 n n 4 + n + 5 = 3 4 n 3 Beispiel 8.. Bestimme den Grenzwert der Folge b n = n + n n. Lösung: Verwendung der algebraischen Identität a b = (a b)(a + b) führt auf b n = n + n n n + n + n = n n + n + n = + n + für n. Beispiel 8.3. Bestimme den Grenzwert der Folge ( ) n + n c n =. n Lösung: lim c n = lim n n = [n n + ] = lim n Beispiel 8.4. Untersuche ob die Reihe ( ) n + n ( = lim + ) n = n n n ( + n) n ( lim + ) = e n n }{{} = j= 3j = ( ) 8j konvergiert und berechne im Falle der Konvergenz den Reihenwert. Lösung: ( ) = j= 8 j 8 j = 8 j j=

27 8 Folgen und Reihen 7 Die Reihe ist konvergent, da /8 <. Berechnung des Reihenwertes: ( ) = j=0 8 j+ = 8 j=0 8 j = 8 8 = 7 Beispiel 8.5. Bestimme für welche x, y R die Reihe ( ) j x 3j j= konvergiert. Berechne sodann den Reihenwert. Lösung: j= ( ) j x 3j y j = y j ( x 3 j= Die Reihe konvergiert genau dann, wenn x 3 y < x 3 < y. Berechnung des Reihenwerts: y ) j ( ) x 3 j = ( ) x 3 j+ = x6 ( x 3 j= y j=0 y = x6 y 4 y 4 j=0 = + x3 y y ) j = x 6 y (y + x 3 ) 8.3 Aufgaben Untersuche die jeweilige Folge auf Konvergenz und berechne, falls möglich, den Grenzwert. () a n = 4n4 + 7n 7 3n n 4 () b n = 3n + n 3 + n (3) c n = n 3 + n 3 n 3 (4) d n = 3 n + 3 n ( (5) e n = 3 ) n 3 + ( n ) n 4n + 4 (6) f n = n n + n +

28 8 Folgen und Reihen 8 Untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz und berechne, falls möglich, den Reihenwert. (7) j= ( ) j 3j 4 j (8) j= ( ) 3j 6 j Bestimme für welche x, y R die folgenden Reihen konvergieren und bestimme sodann den Reihenwert. ( ) x j ( 3 ) x + y j (9) (0) ( ) 4j x y j= j=0

29 Kapitel 9 Grenzwerte und Stetigkeit 9. Grundlegendes Sei f : D R R eine in x D stetige Funktion. Dann gilt für alle Folgen (x n ) n N, x n D, mit lim n x n = x, dass ( ) lim f (x n) = f lim x n = f(x). n n Im Fall der Stetigkeit können also Grenzwert und Funktionsauswertung vertauscht werden. Wichtige Grenzwerte sin x lim x 0 x = lim e x = x 0 x 9. Beispiele Beispiel 9.. Bestimme den Grenzwert Lösung: x 9 lim x 3 x 3. x 9 lim x 3 x 3 = lim (x 3)(x + 3) = lim(x + 3) = 6 x 3 x 3 x 3 Bemerkung: Die Funktion x x 9 x 3 besitzt demnach in x = 3 eine hebbare Singularität, d.h. sie kann dort stetig fortgesetzt werden, und zwar zu x x + 3. Beispiel 9.. Bestimme den Grenzwert Lösung: Variante : ( ) = cos x lim x 0 x = ( ). [ cos x = sin x ] sin x = lim x 0 x = ( sin x ) lim x 0 x = 9

30 9 Grenzwerte und Stetigkeit 30 Variante : = [z z stetig] = ( sin x ) lim x 0 x = cos x ( ) = lim x 0 x ( + cos x) = lim sin x x 0 x lim x 0 + cos x = 9.3 Aufgaben Berechne folgende Grenzwerte: () x 3 7 lim x 3 x 3 (3) cos x lim x 0 x () x 8 lim x 8 3 x (4) x lim x ln x Bestimme jeweils den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert an den angegebenen Stellen. (5) f (x) = x + (7) g (x) = x bei x = (6) f (x) = e x+ bei x = bei x =, (8) g (x) = e x bei x =,

31 Kapitel 0 Differentialrechnung 0. Grundlegendes Dierentiationsregeln Seien f und g dierenzierbare Funktionen und sei λ R. Dann gilt: (f + λ g) = f + λ g (f g) = f g + f g (Linearität) (Produktregel) ( f g ) = f g f g g (Quotientenregel) f ( g(x) ) = f ( g(x) ) g (x) (Kettenregel) (Für die Quotientenregel muss natürlich g(x) 0 erfüllt sein. Die Kettenregel gilt nur, falls die Hintereinanderausführung existiert.) Ableitung elementarer Funktionen Sei λ R \ {0}. d dx xλ = λ x λ d dx e x = e x d dx sin x = cos x d dx cos x = sin x 0. Beispiele Beispiel 0.. (Produktregel) Dierenziere f(z) = z e z sin z. Lösung: Anwendung der Produktregel liefert f (z) = ze z sin z + f(z) + z e z cos z = ze z (( + z) sin z + z cos z). 3

32 0 Dierentialrechnung 3 Beispiel 0.. (Quotientenregel) Berechne die Ableitung von tan x. Lösung: d dx tan x = d dx Beispiel 0.3. (Kettenregel) Dierenziere ( ) sin x = [Quotientenregel] = cos x + sin x cos x cos = x cos x = + tan x g(y) = sin e tan y5. Lösung: Durch dreimaliges Anwenden der Kettenregel erhalten wir ( g (y) = cos e tan y5) e tan y5 ( + tan y 5 ) 5y 4. Beispiel 0.4. (Ableitung der Umkehrfunktion) () Sei f : D R B R bijektiv und dierenzierbar. Weiters sei f (x) 0 für alle x D. Dann ist auch f auf B dierenzierbar. Wir bestimmen die Ableitung von f wie folgt: Für y B ist x(y) = f (y) f(x(y)) = y. Implizites Dierenzieren nach y (Anwendung der Kettenregel) ergibt Da f (x(y)) 0 gilt weiters f (x(y)) x (y) =. x (y) = f (x(y)). Durch Einsetzen von x(y) = f (y) erhalten wir die Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion: ( f ) (y) = f (f (y)) () Bestimme die Ableitung von ln x. Lösung: Anwendung der oben geschilderten Vorgehensweise auf ln x für x 0: y(x) = ln x e y(x) = x. Da ( x ) = sign x für x 0, führt implizites Dierenzieren nach x auf e y(x) y (x) = sign x (ln x ) = sign x x = x.

33 0 Dierentialrechnung Aufgaben Bestimme jeweils die Ableitung der angegebenen Funktion. (Es braucht nicht untersucht zu werden, wo die Funktionen deniert bzw. dierenzierbar sind.) () f (k) = 4k x, x 0 () f (z) = sin z (3) f 3 (x) = x 3 e x tan x (4) f 4 (x) = n x, n N (5) f 5 (x) = sinh x := ( e x e x) (6) f 6 (x) = cosh x := b (7) f 7 (a) = cot a (8) f 8 (b) = sin 4 b (9) f 9 (a) = sinh e a3 / (0) g (c) = cos c + c 3 e sin c c3 () g (x) = arcsin x () g 3 (x) = arccos x (3) g 4 (x) = arctan x (4) g 5 (x) = arsinh x (5) g 6 (x) = arcosh x (6) g 7 (x) = artanh x ( e x + e x) (7) g 8 (x) = a x, a > 0 (8) g 9 (x) = log a x, a > 0, a (9) h (z) = (sin z) cos z (tan u)tan u (0) h (u) = (tan u)

34 Kapitel Integralrechnung. Grundlegendes Im Folgenden steht c für eine reelle Konstante. Integrationsregeln Seien f L, g L, f S und (f S g S ) g S integrierbar, g S, f P und g P dierenzierbar und λ R. Dann gilt: ( ) f L (x) + λ g L (x) dx = f L (x)dx + λ g L (x)dx (Linearität) ( f S gs (x) ) g S(x)dx = f S (z)dz z=gs (x) f P (x) g P (x)dx = f P (x) g P (x) f P (x) g P (x)dx (Substitutionsregel) (Partielle Integration) Stammfunktionen elementarer Funktionen Sei λ R \ { }. x λ dx = xλ+ λ + + c sin xdx = cos x + c e x dx = e x + c cos xdx = sin x + c. Beispiele Beispiel.. (Substitution) () Berechne x sin(x 3 )dx. 34

35 Integralrechnung 35 Lösung: x sin(x 3 )dx = [ x 3 = u, 3x dx = du ] = 3 sin u du = = 3 cos u + c = 3 cos x3 + c () Berechne e tan x cos x dx. Lösung: [ e tan x cos x dx = tan x = z, ] dx cos x = dz = e z dz = e z + c = e tan x + c (3) Berechne 4 e 4 ln x + x dx. Lösung: 4 e 4 ln x + dx = [u = 4 ln x +, du = 4x ] x dx = = u du = u 3 8 = u= 6 Beispiel.. (Partielle Integration) () Berechne ze z dz. Lösung: ze z dz = [partielle Integration] = ze z e z dz = e z (z ) + c () Berechne ln x dx. Lösung: ln x dx = [partiell] = x ln x x dx = x(ln x ) + c x

36 Integralrechnung 36 (3) Berechne ln x x dx. Lösung: Partielle Integration liefert x ln x x= + x dx = ln x x= = ( ln )..3 Aufgaben Berechne die folgenden bestimmten und unbestimmten Integrale. () (3) (5) (7) (9) () π 0 π 3 0 c dy () y 3 b 0 t sin t dt (4) arcsin a da (6) u cos(3u) du (8) a x dx, a > 0, b, c R (0) 3 x 9 x dx () + π 0 π 0 sin x dx cos x dx arctan b db ln( + w ) dw sin(z) sin z sin z + cos z dz e x sin x dx

37 Kapitel Anwendungen zur Differential- und Integralrechnung. Grundlegendes Anwendungen zur Dierentialrechnung Sei f : D R R in a D dierenzierbar. Dann ist die Tangente t a an den Graphen von f im Punkt x = a gegeben durch Für α = (t, x-achse) gilt tan(α) = f (a). t a (x) = f(a) + f (a)(x a). Anwendungen zur Integralrechnung Rotationskörper: Das Volumen des Drehkörpers, welcher durch Rotation des Graphen der integrierbaren Funktion f : [a, b] R 0 um die x-achse entsteht, ist bei Rotation um die y-achse V x = π b a f (x) dx, V y = π b a xf(x) dx. Bogenlänge: Sei f nun zusätzlich dierenzierbar. Die Bogenlänge des Graphen von f ist durch gegeben. s = b a + f (x) dx Manteläche: Die Manteläche des Drehkörpers, welcher durch Rotation des Graphen von f um die x-achse entsteht, ist M = π b a f(x) + f (x) dx. 37

38 Anwendungen zur Dierential- und Integralrechnung 38. Aufgaben () Bestimme die Tangente an den Graphen der Funktion f (x) = x ln x im Punkt x = e. () Bestimme die Tangenten mit Steigung 3 an den Graphen der Funktion f (x) = x x. (3) Bestimme jene x 0, für welche die Tangente bei x = x 0 an den Graphen von f 3 (x) = x x die x-achse unter einem Winkel von 35 schneidet. (4) Berechne das Volumen des Drehkörpers, welcher durch Rotation des Graphen der Funktion [ f 4 : 0, π ] R: x tan x 4 um die x-achse entsteht. (5) Berechne das Volumen des Drehkörpers, welcher durch Rotation des Graphen der Funktion um die y-achse entsteht. f 5 : [0, π] R: x sin x (6) Berechne die Bogenlänge des Graphen der Funktion f 6 (x) = 3 x3, 0 x. (7) Berechne die Manteläche des Drehkörpers, welcher durch Rotation des Graphen der Funktion f 7 (x) = cos x, 0 x π, um die x-achse entsteht.